空間直角坐標系同步練習 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

課時精練6空間直角坐標系一、基礎鞏固選擇題每小題5分，共25分1.點A(－2，3，－4)關于坐標平面Oxz對稱點A′的坐標為()(－2，－3，－4) (2，－3，4)(－2，－3，4) (2，3，－4)2.已知i，j，k分別是空間直角坐標系Oxyz中x軸、y軸、z軸的正方向上的單位向量，且eq\o(OB,\s\up6(→))＝－i＋j－k，則點B的坐標是()(－1，1，－1) (－i，j，－k)(1，－1，－1) 不確定3.如圖，在長方體OABC－O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，點P是B1C1的中點，則點P的坐標為()(3，5，4) eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5，4)) eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,2)，2))4.已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空間向量的一個單位正交基底，則點A的坐標為()(12，14，10) (10，12，14)(14，10，12) (4，2，3)5.已知點B的坐標是(－1，2，1)，則|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝()eq\r(6) 6 eq\r(5) 56.在空間直角坐標系中，已知點P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，過點P作平面Oyz的垂線PQ，則垂足Q的坐標為________.7.已知三棱錐P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分別是PC，AC的中點，建立如圖所示的坐標系Bxyz，則向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標為________.8.已知點A的坐標為(－1，3，0)，點B的坐標為(0，1，1)，則cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝________.9.(10分)已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為2的正方體，E，F(xiàn)分別為BB1和DC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系，試寫出eq\o(DB1,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))的坐標.10.(10分)如圖所示，過正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的邊長為2，OP＝2，連接AP，BP，CP，DP，M，N分別是AB，BC的中點，以O為原點，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(OM,\s\up6(→))，\o(ON,\s\up6(→))，\f(1,2)\o(OP,\s\up6(→))))為單位正交基底建立空間直角坐標系.若E，F(xiàn)分別為PA，PB的中點，求點A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標.二、綜合運用選擇題每小題5分，共10分11.若p＝xa＋yb＋zc，則稱(x，y，z)為p在基底{a，b，c}下的坐標.若一向量p在基底{a，b，c}下的坐標為(1，2，3)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為()eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，3)) eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(1,2)，\f(3,2))) eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)，3))12.(多選)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直線DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸、建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是()點B1的坐標為(4，5，3)點C1關于點B對稱的點為(5，8，－3)點A關于直線BD1對稱的點為(0，5，3)點C關于平面ABB1A1對稱的點為(8，5，0)13.(15分)已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點，并且PA＝AD＝1，試建立適當?shù)目臻g直角坐標系并寫出向量eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))的坐標.三、創(chuàng)新拓展14.(15分)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足為E，求點E的坐標.參考答案1.A[點A的坐標中橫、豎坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即得A′的坐標為(－2，－3，－4).]2.A[由空間直角坐標系中點的坐標的定義可知點B的坐標為(－1，1，－1).]3.C[由題圖知，點P在x軸、y軸、z軸上的射影分別為P1，P2，P3，它們在坐標軸上的坐標分別是eq\f(3,2)，5，4，故點P的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5，4)).]4.A[eq\o(OA,\s\up6(→))＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10).]5.A[由B點坐標是(－1，2，1)，得eq\o(OB,\s\up6(→))＝－i＋2j＋k，故|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝1＋4＋1＝6，故|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(6).]6.(0，eq\r(2)，eq\r(3))[由于垂足在平面Oyz上，所以縱坐標、豎坐標不變，橫坐標為0.]7.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2)))[eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)i－eq\f(1,2)k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).]8.eq\f(3\r(5),10)[由題設知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，3，0)＝－i＋3j，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，1，1)＝j＋k，故|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(（－i＋3j）2)＝eq\r(10)，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(（j＋k）2)＝eq\r(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－i＋3j)·(j＋k)＝3.所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(3,\r(10)×\r(2))＝eq\f(3\r(5),10).]9.解eq\o(DB1,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝2i＋2j＋2k＝(2，2，2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up6(→))＝2i＋2j＋eq\f(1,2)×2k＝2i＋2j＋k＝(2，2，1)，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×2j＝j＝(0，1，0).10.解由題意知，點B的坐標為(1，1，0).由點A與點B關于x軸對稱，得A(1，－1，0)，由點C與點B關于y軸對稱，得C(－1，1，0)，由點D與點C關于x軸對稱，得D(－1，－1，0).又P(0，0，2)，E為AP的中點，F(xiàn)為PB的中點，所以由中點坐標公式可得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).11.B[設p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為(x，y，z)，則p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝2，,z＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\f(1,2)，,z＝3，))故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3)).]12.ACD[根據(jù)題意知，點B1的坐標為(4，5，3)，選項A正確；B的坐標為(4，5，0)，C1的坐標為(0，5，3)，故點C1關于點B對稱的點為(8，5，－3)，選項B錯誤；在長方體中AD1＝BC1＝eq\r(AD2＋AAeq\o\al(2,1))＝5＝AB，所以四邊形ABC1D1為正方形，AC1與BD1垂直且平分，即點A關于直線BD1對稱的點為C1(0，5，3)，選項C正確；點C關于平面ABB1A1對稱的點為(8，5，0)，選項D正確.]13.解如圖所示，因為PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可設eq\o(DA,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，eq\o(AP,\s\up6(→))＝e3，以{e1，e2，e3}為基底建立空間直角坐標系Axyz.因為eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)e2＋e3＋eq\f(1,2)(－e3－e1＋e2)＝－eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e3，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，1，0).14.解如圖，以點D為原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，B1(2，4，2)，A(2，0，0)，C(0，4，0).設點E的坐標