人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊《課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題（第1課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題（第1課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．利用軸對稱解決最短路徑的問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟化歸思想．2．在將實(shí)際問題抽象成幾何圖形的過程中，提高分析問題、解決問題的能力，滲透數(shù)學(xué)建模的思想．教學(xué)重點(diǎn)利用軸對稱解決最短路徑的問題．教學(xué)難點(diǎn)如何利用軸對稱將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問題．教學(xué)過程知識(shí)回顧【問題】1．從A地到B地有三條路可供選擇，哪條路距離最短？【提示】可以利用“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”來解決問題．【問題】2．在灌溉時(shí)需要把河AB中的水引到C處，如何挖渠能使渠道最短？【提示】可以利用“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”來解決問題．【師生活動(dòng)】教師提出問題，學(xué)生作答．【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)已研究過的一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，為引出本節(jié)課的課題“將軍飲馬問題”作鋪墊．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？【師生活動(dòng)】教師提問：如圖，如果把河邊l近似地看成一條直線，C為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么上面的問題可以轉(zhuǎn)化為什么？學(xué)生回答：可以轉(zhuǎn)化為“當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小”．【思考】1．如圖，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一點(diǎn)C，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？【師生活動(dòng)】教師提示，學(xué)生獨(dú)立思考，畫圖分析，并嘗試回答．【答案】連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)C，這個(gè)交點(diǎn)C即為所求．【思考】2．如圖，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一點(diǎn)C，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？【師生活動(dòng)】教師提示：如果能把點(diǎn)B移到l的另一側(cè)B′處，同時(shí)對直線l上的任一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長度相等，就可以把問題轉(zhuǎn)化為“思考1”的情況，從而使問題得到解決．學(xué)生獨(dú)立思考后，嘗試畫圖，尋求符合條件的點(diǎn)，然后小組交流，學(xué)生代表匯報(bào)交流結(jié)果，師生共同補(bǔ)充．得出：只要作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，就可以滿足CB＝CB′，再利用“思考1”中的方法，連接AB′，則AB′與直線l的交點(diǎn)即為所求．【答案】作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′交直線l于點(diǎn)C；（3）則點(diǎn)C即為所求的點(diǎn)．【設(shè)計(jì)意圖】通過搭建臺(tái)階，為學(xué)生探究問題提供“腳手架”，將“同側(cè)”難于解決的問題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”容易解決的問題，滲透轉(zhuǎn)化思想．【思考】3．觀看動(dòng)圖，思考如何證明AC＋CB最短．【師生活動(dòng)】師生共同分析，然后學(xué)生說明證明過程，教師板書．【答案】已知：如圖，點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，連接AB′交直線l于點(diǎn)C，連接BC，在直線l上任取一點(diǎn)C′（異于點(diǎn)C），連接AC′，BC′，B′C′．求證：AC＋CB＜AC′＋C′B．證明：由軸對稱的性質(zhì)知，CB＝CB′，BC′＝B′C′，∴AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．由兩點(diǎn)之間，線段最短可得，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋CB′＜AC′＋C′B′．即AC＋CB＜AC′＋C′B．即AC＋CB最短．【新知】兩點(diǎn)在直線異側(cè)的最短距離：如圖，當(dāng)點(diǎn)A，B位于直線l的異側(cè)時(shí)，連接AB，與直線l的交點(diǎn)C，即為直線l上到點(diǎn)A、點(diǎn)B距離之和最短的點(diǎn)．兩點(diǎn)在直線同側(cè)的最短距離：如圖，當(dāng)點(diǎn)A，B位于直線l的同側(cè)時(shí)，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線l的交點(diǎn)C，即為直線l上到點(diǎn)A、點(diǎn)B距離之和最短的點(diǎn)．【設(shè)計(jì)意圖】通過證明得出新知，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)作法的正確性，提高邏輯思維能力．二、典例精講【例題】如圖，A，B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A，B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)．【師生活動(dòng)】教師提問，學(xué)生分析解題思路，并相互補(bǔ)充，然后獨(dú)立完成畫圖．【答案】作法（方法一）：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′交直線a于點(diǎn)C；（3）則點(diǎn)C即為所求的點(diǎn)．作法（方法二）：（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)A′；（2）連接BA′交直線a于點(diǎn)C；（3）則點(diǎn)C即為所求的點(diǎn)．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法．