2024年中考數(shù)學(xué)《幾何綜合》培優(yōu)拔高專項(xiàng)復(fù)習(xí)講義及解析

中考數(shù)學(xué)《幾何綜合》培優(yōu)拔高專項(xiàng)復(fù)習(xí)講義及解析

1.如圖，△ABC是等邊三角形，D,E分別是AC,BC邊上的點(diǎn)，且AD=CE,連接8。，AE相交于點(diǎn)?

(1)/瓦芭的度數(shù)是;

(2)如果世=工，那么"=；

AC2BF

(3)如果改=工時(shí)，請(qǐng)用含〃的式子表示AF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

ACn

DA

2.如圖，ZBAD=k90°,CAB=AD,CB=CD,一個(gè)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與BA,D4交于

點(diǎn)M,N,與BA,D4的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,F,連接AC.

(1)在/fCE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)/尸CA=/ECA時(shí)，如圖1,求證：AE=AF-,

(2)在/fCE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)乙FCAW/ECA時(shí)，如圖2,如果/8=30°,CB=2,用等式表示線段AE,

A歹之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

3.已知：如圖，矩形ABC。中，AB>AD.

(1)以點(diǎn)A為圓心，A8為半徑作弧，交DC于點(diǎn)E,且AE=AB,聯(lián)結(jié)AE,BE,請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并判斷乙4￡8

與/CEB的數(shù)量關(guān)系；

(2)在(1)的條件下，設(shè).=EC,q里試用等式表示a與6間的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

4.已知：△42。和關(guān)于直線80對(duì)稱(點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C),點(diǎn)E,歹分別是線段BC和線段20上的點(diǎn),

且點(diǎn)尸在線段EC的垂直平分線上，連接Ab,AE,AE交BD于點(diǎn)G.

(1)如圖1,求證：ZEAF=ZABD；

(2)如圖2,當(dāng)A8=A。時(shí)，M是線段AG上一點(diǎn)，連接BM,ED,MF,MB的延長(zhǎng)線交即于點(diǎn)N,ZMBF

=^ZBAF,試探究和8V之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

23

5.以A8為直徑作半圓。，AB=10,點(diǎn)C是該半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC,并延長(zhǎng)8C至點(diǎn)￡>,使。C=8C,過(guò)

點(diǎn)。作。ELA8于點(diǎn)E、交AC于點(diǎn)/，連接。足

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，求NBAC的度數(shù)；

(2)如圖②，當(dāng)DE=8時(shí)，求線段即的長(zhǎng)；

(3)在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若點(diǎn)E始終在線段上，是否存在以點(diǎn)￡、。、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?

若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段?！甑拈L(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.如圖①，P為Z\ABC內(nèi)一點(diǎn),連接力、PB、PC,在△RIB、APBC和△必C中，如果存在一個(gè)三角形與AABC

相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn).

(1)如圖②，已知Rt^ABC中，ZACB=90°,ZABOZA,CD是AB上的中線，過(guò)點(diǎn)8作8E_L.CZ),垂

足為E.試說(shuō)明E是△ABC的自相似點(diǎn)；

(2)在△ABC中，ZA<ZB<ZC.

①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)尸(寫出作法并保留作圖痕跡)；

②若AABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

7.在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,CO_LAB于點(diǎn)。，點(diǎn)￡■為AC邊上一點(diǎn)，連接BE交CD于點(diǎn)尸，過(guò)

點(diǎn)E作EG±BE交AB于點(diǎn)G,

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，線段EP與EG的數(shù)量關(guān)系是

（2）如圖2,當(dāng)支=工，探究線段￡尸與EG的數(shù)量關(guān)系并且證明；

AE2

8.如圖，已知點(diǎn)尸是邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且PB=3,BF1BP,垂足是8.請(qǐng)?jiān)谏渚€BP上找一點(diǎn)M,

使以點(diǎn)8、M、C為頂點(diǎn)的三角形與△48P相似.（請(qǐng)注意：全等圖形是相似圖形的特例）

參考答案與試題解析

1.如圖，△ABC是等邊三角形，D,E分別是AC,BC邊上的點(diǎn)，且AO=CE,連接BO,AE相交于點(diǎn)尺

⑴/BFE的度數(shù)是60°

如果世，那么空=

(2)=!1

AC2BF

如果改=工

(3).時(shí)，請(qǐng)用含〃的式子表示A后8月的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)易證△A3。/△ACE,可得根據(jù)外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和即可解題.

(2)如圖1中，當(dāng)圖=工時(shí)，由題意可知：AD=CD,BE=CE.利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;

AC2

(3)設(shè)Af=x,BF=y,AB=BC=AC=n.AD=CE=1,由△ABOgZ\CAE,推出BD=AE,設(shè)8D=AE=ni,

利用相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)系式即可解決問(wèn)題;

【解答】解：(1)???△ABC是等邊三角形,

：.AB=AC,ZBAD=ZC=60°,

在△A3。和"CE中，

fAB=AC

<ZBAD=ZC>

AD=CE

:.△ABDWAACE(SAS)

：.ZDAF=ZABD,

：.ZBFE=ZABD+ZBAF=ZDAF+ZBAF=/BAD=60°,

故答案為：60°.

由題意可知：AD=CD,BE=CE.

圖1

：△ABC是等邊三角形，BE=EC,AD^CD,

/.ZBAE=—ZBAC=^X60°=30°,ZABD—ZABC=30°,

222

:./FAB=/FBA,

：.FA=FB,

故答案為1.

(3)設(shè)BF=y,AB^BC=AC=n.AD=CE=l,

:AABD咨ACAE,

：.BD=AE,ZDAF=ZABD,設(shè)BO=AE=nj,

ZADF=ZBDA,

AADF^ABDA,

.AF=_AD

"AB麗，

①，

nm

'：ZFBE=ZCBD,ZBFE=ZC=60°,

.,.△BFES^BCD,

.BF=BE

"BCBD"

??.X=22Z1②，

nin

①+②得到：工=1一，

yn-1

.AF=1

"BFn7?,

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

2.如圖，ZBAD=90°,AB=AD,CB=CD,一個(gè)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與R4,D4交于

點(diǎn)M,N,與BA,ZM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,F,連接AC.

(1)在/fCE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)/尸C4=/ECA時(shí)，如圖1,求證：AE=AF；

(2)在/BCE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，如圖2,如果48=30°,CB=2,用等式表示線段AE,

AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)首先證明△ABC名△AOC(SSS),推出/R4C=/DAC=45°,推出乙E4C=/EAC=135°,再證

明△ACF烏/XACECASA)即可解決問(wèn)題；

(2)由△ACf's△&￡(7,推出尤="，可得AC2=AE?Af,求出AC即可解決問(wèn)題；

AEAC

【解答】(1)證明：'：AB=AD,CB=CD,AC=AC,

：.AABC^AADC(SSS),

：.ZBAC=ZDAC=45°,

：.ZFAC=ZEAC=135°,

'：ZFCA=ZECA,

：.AACF^AACE(ASA),

：.AE^AF.

(2)證明：作CG_LAB于G.

VBC=2,48=30°,

：.CG=^-BC=],

2

'：AG=AC=1,

'.AC=42,

VZFAC=ZEAC=135°,

：.ZACF+ZF=45°,

VZACF+ZACE=45a,

：.ZF=ZACE,

：.AACF^AAEC,

.AC=AF

"AEAC'

：.AC2=AE'AF,

：.AE-AF=2.

E

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角

形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

3.已知：如圖，矩形4BCD中，AB>AD.

(1)以點(diǎn)A為圓心，為半徑作弧，交。C于點(diǎn)E,且聯(lián)結(jié)AE,BE,請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并判斷匹

與/CEB的數(shù)量關(guān)系;

(2)在(1)的條件下，設(shè)°="；,6=理，試用等式表示a與b間的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

BEAB

【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)作過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)R根據(jù)4B=AE可知8歹=18￡,由/AfB=/C=90°,ZABE=ZCEB,得

2

出△ABbs△BEC,再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖b

'：AE=AB,

：.NAEB=/CEB.

(2)a=—b.

2

證明：如圖2,作過(guò)點(diǎn)A作Ab,BE于點(diǎn)R

'：AB^AE,

:.BF=LBE,

2

VZAFB=ZC=90°,NABE=/CEB,

：.AABFs4BEC

.EC=BF

"BEAB'

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)求解是解答此題的

關(guān)鍵.

4.已知：△A3。和△C8。關(guān)于直線8。對(duì)稱(點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C),點(diǎn)E,歹分別是線段8C和線段8。上的點(diǎn),

且點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上，連接AFAE,AE交BD于點(diǎn)G.

(1)如圖1,求證：ZEAF=ZABD；

(2)如圖2,當(dāng)時(shí)，M是線段AG上一點(diǎn)，連接ED,MF,1的延長(zhǎng)線交ED于點(diǎn)N,ZMBF

=^ZBAF,AF^^AD,試探究和AV之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

23

【分析】(1)如圖1,連接在i、FC,構(gòu)建全等三角形(SAS),則易證FA=FC；根

據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等量代換可知在=硒，Z1=ZBAF,則/5=/6.然后由四邊形內(nèi)角和是360。、三角

形內(nèi)角和定理求得/5+/6=/3+/4,則/5=/4,即/￡4歹=/480；

(2)FM/FN.理由如下：由△AFGs/XBfA,易得/AGP=所以結(jié)合已知條件和圖形得到

2

ZBMG.易證△AGf's2\DG4,則對(duì)應(yīng)邊成比例：「=」門=空.

AGGDAD

設(shè)GF=2a(a>0),AG=3a,則GO=2a,FD=^-a-,利用平行線(BE//AD)截線段成比例易得幽=幽，則

22GDAG

三=也=2.沒(méi)EG=2k(k>0),所以8G=MG=3左.如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作交AE于點(diǎn)0.則醫(yī)=處

BGGD3QEFD

噴緇又由世〃皿易證嘴譚二方

所以FM=—FN.

2

2

【解答】(1)證明：如圖1,連接FE、FC.

:點(diǎn)尸在線段EC的垂直平分線上,

：.FE=FC,

.*.Z1=Z2.

,/^ABD和△CB。關(guān)于直線BD對(duì)稱(點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C),

：.AB=CB,Z4=Z3,

;在AAB歹與中，

'AB=CB

-Z4=Z3.

BF=BF

.'.△ABF這4CBF(SAS),

：.ZBAF=Z2,FA=FC,

：.FE=FA,Z1=ZBAF,

：.Z5=Z6.

VZ1+ZBEF=18O°,

：.ZBAF+ZBEF=l?,0o

"：ZBAF+ZBEF+ZAFE+ZABE=360°,

：.ZAFE+ZABE=ISO°.

又,.?/AFE+/5+N6=180°,

/.Z5+Z6=Z3+Z4,

AZ5=Z4,即/EAP=NA8O；

(2)FM=—FN.理由如下：

2

如圖2,由(1)知，ZEAF=ZABD.

又：ZAFB=ZGFA,

：.△AFGs^BFA,

：.ZAGF=ZBAF.

又?:ZMBF=^ZBAF,

2

：.ZMBF=—ZAGF.

2

'：ZAGF=ZMBG+ZBMG,

：.ZMBG=ZBMG,

：.BG=MG.

'：AB=AD,

：.ZADB=ZABD=ZEAF.

又,.?/PGA=NAG。，

AAGF^ADGA,

?GF=AG=AF

??而GDAD'

\'AF^^AD,

3

.GF=AG=2

?'AGGD3"

設(shè)G尸=2。(a>0),AG=3a,

GD=^~a,

2

5

：.FD=—a

2

'：ZCBD=ZABD,ZABD=ZADB,

：.ZCBD=ZADB,

：.BE//AD,

.BG=EG

"GDAG'

?EG_=AG=2

"BGGD3"

設(shè).EG=2k(%>0),

：.BG=MG=3k.

如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作尸?！ㄍ?gt;交AE于點(diǎn)Q.則醫(yī)=竺=各■="!

QEFD5a5

2

：.GQ=^QE,

：.GQ=—EG=—k,MQ=3k+^-k=~-k.

9999

■:FQ〃ED,

.MF=MQ=1

??麗QE'2f

：.FM=—FN.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和

是360度等知識(shí)點(diǎn).難度較大，綜合性較強(qiáng).

5.以A8為直徑作半圓O,AB=10,點(diǎn)C是該半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC,并延長(zhǎng)BC至點(diǎn)。，使。C=BC,過(guò)

點(diǎn)。作DELA8于點(diǎn)E、交AC于點(diǎn)憶連接。足

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，求/BAC的度數(shù)；

（2）如圖②，當(dāng)DE=8時(shí)，求線段所的長(zhǎng)；

（3）在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若點(diǎn)E始終在線段上，是否存在以點(diǎn)E、0、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?

若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段0E的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）連接OC.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)可得△08C是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

和直角三角形兩銳角互余即可得到NA4c的度數(shù)；

（2）連接D4.根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得A8=AO=10,根據(jù)勾股定理和線段的和差關(guān)系可得AE和BE的長(zhǎng),

通過(guò)A4證明△AMSADEB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到EF的長(zhǎng)；

（3）分兩種情況：①當(dāng)交點(diǎn)E在。、A之間時(shí)；②當(dāng)交點(diǎn)￡在O、B之間時(shí)；討論即可求得線段0E的長(zhǎng).

【解答】解：（1）連接0C.

?；C為DB中點(diǎn)，

OC=BC=OB,

AOBC是等邊三角形，

AZB=60°,

'：AB為直徑，

AZACB=90°,

：.ZBAC=30°；

(2)連接DA.

VAC垂直平分BD,

?.?￡)￡=8,DELAB,

.*.AE=6,

：.BE=4,

VZFAE+ZAFE=90°,NCFD+NCDF=90°,

：.ZCDF=ZEAF,

VZAEF=ZDEB=90°,

，AAEFsADEB,

.EF=AE

"EBDE'

：.EF=3；

(3)①當(dāng)交點(diǎn)E在。、A之間時(shí)，

若NEOF=NBAC,此時(shí)膽

ACBC

.?.—AE二—EF，

ACBC

.OEAE

"AC^AC，

OE=AE,

則OE=1

2

若NEOF=NABC,此時(shí)墮JL,

BCAC

?.?-A-E-二-E-F-,

EFOE

則OE=$；

3

②當(dāng)交點(diǎn)E在。、8之間時(shí)，0￡=-15+5仍7

_4

綜上所述，OE=S或5或15+5?7.

234

【點(diǎn)評(píng)】考查了圓的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂直平

分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

6.如圖①，尸為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接B4、PB、PC,在△RIB、△P2C和△必C中，如果存在一個(gè)三角形與AABC

相似，那么就稱P為△A8C的自相似點(diǎn).

(1)如圖②，已知Rt^ABC中，ZACB=9Q°,ZABOZA,C3是A8上的中線，過(guò)點(diǎn)8作BE_LCA,垂

足為E.試說(shuō)明E是AABC的自相似點(diǎn);

(2)在△ABC中，ZA<ZB<ZC.

①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)尸（寫出作法并保留作圖痕跡）;

②若AABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

①③

【分析】（1）根據(jù)已知條件得出以及NBCE=NABC,得出△BCEs△43c,即可得出結(jié)論;

（2）①根據(jù)作一角等于已知角即可得出AABC的自相似點(diǎn);

②根據(jù)ZBCP=ZABC=Z2ZPBC=2ZA,ZACB=2ZBCP=4ZA,即可得出各內(nèi)角的度數(shù).

【解答】解：（1）在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CD是AB上的中線,

：.CD^—AB,

2

:.CD=BD,

：.ZBCE=ZABC,

'：BE±CD,：.ZBEC=90°,

ZBEC=ZACB,

:.△BCEsAABC,

是△ABC的自相似點(diǎn)；

（2）①如圖所示，

作法：①在/ABC內(nèi)，作NCBD=NA,

②在/ACB內(nèi)，作ZABC,BD交CE于點(diǎn)P,

則尸為△ABC的自相似點(diǎn)；

②?.?尸是△ABC的內(nèi)心，AZPBC=1.ZABC,ZPCB=1.ZACB,

22

：AABC的內(nèi)心尸是該三角形的自相似點(diǎn)，

/.ZPBC=ZA,ZBCP=ZABC=2ZPBC=2ZA,ZACB=2ZBCP=4ZA,

：.ZA+2ZA+4ZA=180°,

.Z="J

7

該三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)為：皿一，迎一，皿一.

777

①②

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定以及三角形的內(nèi)心作法和作一角等于已知角，此題綜合性較強(qiáng)，注意

從已知分析獲取正確的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

7.在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,CO_LAB于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE交CD于點(diǎn)尸，過(guò)

點(diǎn)E作EG上BE交AB于點(diǎn)G,

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，線段與EG的數(shù)量關(guān)系是EF=EG；

(2)如圖2,當(dāng)更小，探究線段所與EG的數(shù)量關(guān)系并且證明；

AE2

EG-n-

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的證明方法利用ASA得出必修/XEGN,即可得出跳'=EG；

(2)根據(jù)已知首先求出/ENG=//EM,再得出凡即可得出△￡FMS2\￡GN,再利用相似三角

形的性質(zhì)得出答案即可.

【解答】解：(1)證明：如圖1,過(guò)E作于"，ENLCD于N,

VZACB=9Q°,AC=BC,

：.ZA=ZABC=45a,

：.AD=CD,

:點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，CDLAB,ENLDC,

：.EN=—AD,

2

：.EM=—CD,

2

：.EN=EM,

〈NG即=90°,ZMEN=90°,

???NNEF=NGEM,

rZNEF=ZGEM

???<EN=EM，

ZENF=ZEMG

:AEGM沿AEFN,(.ASA)

：.EG=EF

⑵里二

EG2

證明如圖(2)：過(guò)點(diǎn)E作EAf_LC￡＞于點(diǎn)M,作EALLAB于點(diǎn)N,

ZENA=ZCME=ZEMF=90°.

.,CO_L4B于點(diǎn)。，

\ZCDA=9Q°.

".EM//AD.ZA=ZCEM.

MEMCSAANE.CE_

AEAN

：EM//AD,:./NEM=90.即Nl+/2=90°.

JEG1.BE,.,.Z3+Z2=90°,

\ZMEF=ZGEN.

MEFMSAEGN.;.E