四川省眉山市2025屆高三數(shù)學適應(yīng)性考試試題理含解析

PAGE26-四川省眉山市2025屆高三數(shù)學適應(yīng)性考試試題理（含解析）留意事項：試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共4頁，滿分150分．考試時間120分鐘．考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無效．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1.已知是虛數(shù)單位，且，則實數(shù)分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡得，進而得，解方程求得即可.【詳解】解：因為，所以，所以解得：.故選：A.【點睛】本題主要考查復數(shù)的乘法運算、復數(shù)相等，考查學生的計算實力，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)全集，集合,,則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合或，先求解，再由集合能夠求出答案.【詳解】因為全集,集合或，所以，所以，故選B.【點睛】本題主要考查了集合的混合運算，屬于基礎(chǔ)題，其中解答中精確計算集合和集合的交集、補集的運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力.3.2024年以來，世界經(jīng)濟和貿(mào)易增長放緩，中美經(jīng)貿(mào)摩擦影響持續(xù)顯現(xiàn)，我國對外貿(mào)易仍舊表現(xiàn)出很強的韌性.今年以來，商務(wù)部會同各省市全面實行穩(wěn)外貿(mào)決策部署，出臺了一系列政策舉措，全力營造法治化?國際化?便利化的營商環(huán)境，不斷提高貿(mào)易便利化水平，外貿(mào)穩(wěn)規(guī)模?提質(zhì)量?轉(zhuǎn)動力取得階段性成效，進出口保持穩(wěn)中提質(zhì)的發(fā)展勢頭，如圖是某省近五年進出口狀況統(tǒng)計圖，下列描述錯誤的是（）A.這五年，2015年出口額最少 B.這五年，出口總額比進口總額多C.這五年，出口增速前四年逐年下降 D.這五年，2024年進口增速最快【答案】C【解析】【分析】依據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，利用統(tǒng)計學問逐一推斷即可.【詳解】對A項，由圖可知，這五年，2015年出口額最少，故A正確；對B項，由圖可知，2015年出口額小于進口額，但2024年到2024年每年的出口額都大于進口額，總體來看，這五年，出口總額比進口總額多，故B正確；對C項，由圖可知，2015年至2024年出口增速上升，故C錯誤；對D項，由圖可知，2015年至2024年期間，2024年進口增速最快，故D正確；故選：C【點睛】本題主要考查了依據(jù)條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖解決實際問題，屬于中檔題.4.五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽.假如把這五個音階全用上，排成一個5個音階的音序，從全部的這些音序中隨機抽出一個音序，則這個音序中宮、羽不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把這五個音階全用上，排成一個5個音階的音序，基本領(lǐng)件總數(shù)，其中宮、羽不相鄰的基本領(lǐng)件有，由此可求出所求概率.【詳解】解：中國古樂中的五聲音階依次為：官、商、角、微、羽，把這五個音階全用上，排成一個5個音階的音序，基本領(lǐng)件總數(shù)，其中宮、羽不相鄰的基本領(lǐng)件有，則從全部的這些音序中隨機抽出一個音序，這個音序中宮、羽不相鄰的概率為，故選：C【點睛】此題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等學問，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.5.下列結(jié)論中錯誤的是（）A.若角的終邊過點，則B.若是其次象限角，則為第一或第三象限角C.若扇形周長為6，半徑為2，則其中心角的大小為1弧度D.若，則【答案】A【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的定義、象限角的概念、圓心角的弧度制概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可得答案；【詳解】對A，，則，故A錯誤；對B，，，為第一或第三象限角，故B正確；對C，，故C正確；對D，，故D正確；故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義、象限角的概念、圓心角的弧度制概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查對概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)f（x）的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先推斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合選項中函數(shù)圖象的對稱性，先解除不符合題意的，然后結(jié)合特別點函數(shù)值的正負即可推斷.【詳解】因為f（﹣x）f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，解除選項A，C，又f（2），因為，所以，所以f（2）＜0，解除選項D.故選：B.【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.7.矩形中，，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由矩形的對角線相互平分且相等即球心到四個頂點的距離相等推出球心為AC的中點，即可求出球的半徑，代入體積公式即可得解.【詳解】因為矩形對角線相互平分且相等，依據(jù)外接球性質(zhì)易知外接球球心到四個頂點的距離相等，所以球心在對角線AC上，且球的半徑為AC長度的一半，即，所以.故選：C【點睛】本題考查球與幾何體的切、接問題，二面角的概念，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)()，將的圖象上全部點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象上全部點向右平行移動個單位長度，得到的圖象，則以下關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A.若，是的零點，則是的整數(shù)倍B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.點是函數(shù)圖象的對稱中心D.是函數(shù)圖象的對稱軸【答案】D【解析】【分析】依據(jù)協(xié)助角公式化簡解析式，再依據(jù)三角函數(shù)平移改變可得函數(shù)的解析式：由正弦函數(shù)的周期性和零點定義可推斷A，由正弦函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間可推斷B，由正弦函數(shù)的對稱中心及對稱軸可推斷C、D.【詳解】函數(shù)，由協(xié)助角公式化簡可得，將的圖象上全部點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象上全部點向右平行移動個單位長度，得到，則，對于A，函數(shù)的最小正周期為，若，是的零點，則是的倍數(shù)，所以A錯誤；對于B，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，解得，當時，，而，所以函數(shù)在區(qū)間上不為單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，函數(shù)的對稱中心為，解得，當時，解得，不合題意，所以C錯誤；對于D，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，函數(shù)的對稱軸滿意，解得，當時，，故D正確.綜上所述，正確的為D，故選：D.【點睛】本題考查了協(xié)助角公式化簡三角函數(shù)式，三角函數(shù)圖象平移變換求解析式，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9.已知正方體棱長為4，P是中點，過點作平面滿意平面，則平面與正方體的截面周長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出平面為平面，再依據(jù)正方體的棱長為4，即可得答案；【詳解】取AD的中點M，AB的中點N，連結(jié)PD，則平面PCD，CP，又MN面，PCMNPC面，即平面為面，，截面的周長為，故選：A.【點睛】本題考查空間中平面的作法、線面垂直判定定理與性質(zhì)定理的運用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象實力、運算求解實力.10.如圖所示，為的外心，，，為鈍角，為邊的中點，則的值為（）A. B.12 C.6 D.5【答案】D【解析】【分析】取的中點，且為的外心，可知，所求，由數(shù)量積的定義可得，代值即可．【詳解】如圖所示，取的中點，且為的外心，可知，∵是邊的中點，∴.，由數(shù)量積的定義可得，而，故；同理可得，故.故選D．【點睛】本題考查向量數(shù)量積的運算，數(shù)形結(jié)合并嫻熟應(yīng)用數(shù)量積的定義是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．11.已知函數(shù)對定義域內(nèi)的隨意都有=，且當時其導函數(shù)滿意若則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：依據(jù)題意，由于函數(shù)對定義域內(nèi)的隨意都有=，可知函數(shù)關(guān)于x=2對稱，同時依據(jù)條件時，有那么說明白當，當x>2時，遞增，當x<2時單調(diào)遞減，則可知函數(shù)的單調(diào)性，同時結(jié)合，那么可知，故選C.考點：函數(shù)的單調(diào)性點評：解決的關(guān)鍵是對于函數(shù)的單調(diào)性的判定以及周期性的運用，屬于基礎(chǔ)題．12.點F為拋物線的焦點，過F的直線交拋物線C于兩點（點A在第一象限），過A、B分別作拋物線C的準線的垂線段，垂足分別為M、N，若，則直線的斜率為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】令，依據(jù)拋物線焦點弦的性質(zhì)可得，可得，由勾股定理可得，再依據(jù)等面積法求出，即可求出拋物線的焦點坐標與點坐標，最終利用斜率公式計算可得；【詳解】解：如圖令，易知：．．因為所以拋物線方程為，焦點坐標，（舍去），所以故選：D【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，焦點弦的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】先計算，再計算，即可得答案；【詳解】，，，故答案為：.【點睛】本題考查依據(jù)分段函數(shù)求函數(shù)值，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.14.按如圖所示的程序框圖運算,若輸入x=20,則輸出的k=______.【答案】3【解析】【詳解】依據(jù)題意可知，起始量為k=0,第一次得到：k=1,x=39;其次次：k=2,x=77;第三次：k=3,x=153,此時不符合條件，則終止循環(huán)得到的k的值為3.故答案為:3.考點：本試題考查了框圖的學問．【點睛】解決該試題的關(guān)鍵是利用已知中的條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)，解決變量的求值問題，留意循環(huán)結(jié)構(gòu)的終止條件，也就是最終一步何時停止，這一點是易錯點，屬于基礎(chǔ)題．15.如圖，已知橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，若，則該橢圓的離心率是.【答案】【解析】【詳解】16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，若有最大值，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理求得，結(jié)合協(xié)助角公式以及三角函數(shù)的最值，求得的取值范圍.【詳解】由于，所以.由正弦定理得，所以，所以.當時，沒有最大值.所以.則.其中，要使有最大值，則可以等于，由于，所以，所以，即，解得.所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查協(xié)助角公式，屬于難題.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.一次考試中，五名同學的數(shù)學、物理成果如下表所示：學生數(shù)學（x分）8991939597物理（y分）8789899293（1）求出這些數(shù)據(jù)回來直線方程；（2）要從4名數(shù)學成果在90分以上同學中選2人參與一項活動，以X表示選中的同學的物理成果高于90分的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望的值．附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）利用最小二乘法公式，先求出，再利用回來直線經(jīng)過樣本點中心，即可得答案；（2）隨機變量X的可能取值為0，1，2．利用古典概率模型求出隨機變量的分布列，進而求得期望.【詳解】解：（1），，，，，．故這些數(shù)據(jù)的回來方程是：．（2）隨機變量X的可能取值為0，1，2．；；．故X的分布列為：X012p．【點睛】本題考查最小二乘法求回來直線方程、離散型隨機變量的分布列及期望，考查邏輯推理實力、運算求解實力，求解時留意概率模型的選擇.18.如圖，為圓的直徑，點在圓上，，矩形所在的平面與圓所以的平面相互垂直，已知.（1）求證：平面平面；（2）當?shù)拈L為何值時，平面與平面所成的銳二面角的大小為？【答案】（1）見解析（2）當?shù)拈L為時，平面與平面所成的銳二面角大小為.【解析】【試題分析】（1）先運用面面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，再運用線面垂直的判定定理證明線面垂直，最終運用面面垂直的判定定理分析推證；（2）依據(jù)題設(shè)條件建立空間直角坐標系，再運用向量的坐標形式的有關(guān)運算及數(shù)量積公式分析求解：解：（1）平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴，又∵為圓的直徑，∴，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）設(shè)中點為，以為坐標原點，、、方向分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標系（如圖）.設(shè)，則點的坐標為，則，又，∴.設(shè)平面的法向量為，則，即令，解得.∴.由（1）可知平面，取平面的一個法向量為∴，即，解得因此，當?shù)拈L為時，平面與平面所成的銳二面角大小為.點睛：立體幾何是中學數(shù)學中的傳統(tǒng)而典型的內(nèi)容之一，也高考重點考查的考點和熱點．這類問題的設(shè)置一般有兩類：其一是線面位置關(guān)系的判定；其二是有關(guān)幾何體的體積面積以及角度距離的求解與計算等問題．求解第一問時，先運用線面垂直的判定定理證明線面垂直，再運用面面垂直的判定定理分析推證從而使得問題獲證；解答其次問時，先依據(jù)題設(shè)條件建立空間直角坐標系，再運用向量的有關(guān)學問及數(shù)量積公式建立方程進行探求從而使得問題獲解．19.已知，數(shù)列滿意，數(shù)列滿意；又知數(shù)列中，，且對隨意正整數(shù)，．（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；（2）將數(shù)列中的第項，第項，第項，…，第項，刪去后，剩余的項按從小到大的依次排成新數(shù)列，求數(shù)列的前2024項和．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題中條件可干脆求和計算出，然后令，則，可求出；（2）結(jié)合（1）可知，將數(shù)列中的第3項，第6項，第9項，…，刪去后，可構(gòu)成新數(shù)列，然后利用奇偶分求法或相鄰并項法或利用的前項和，均可求出數(shù)列的前2024項和.【詳解】（1），，又數(shù)列中，，且對隨意正整數(shù)，，令，則，數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，故將數(shù)列中的第3項，第6項，第9項，…，刪去后構(gòu)成新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和為.法1：中的奇數(shù)項與偶數(shù)項仍成等比數(shù)列，其首項分別是，，公比均是8，則.法2：.法3：.【點睛】本題主要考查數(shù)列求和，考查學生的分析理解實力，屬于中檔題.解決數(shù)列求和問題，須要駕馭常用的求和方法，比如錯位相減法，裂項相消法，相鄰并項法等.20.已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，短軸長為．（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓交于、兩點，、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為．①求四邊形面積的最大值；②設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，推斷的值是否為常數(shù)，并說明理由．【答案】（1）；（2）①；②是常數(shù)，理由詳見解析．【解析】【分析】（1）由題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出的值，即可得出橢圓的標準方程；（2）①求得點、，可得出，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結(jié)合四邊形的面積公式以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得四邊形面積的最大值；②求得、的表達式，代入韋達定理可求得為定值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為．由題意可得，解得，因此，橢圓的標準方程為；（2）①由（1）可求得點、的坐標為、，則，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，得，，可得.四邊形的面積，故當時，；②由題意知，直線的斜率，直線的斜率，則，由①知，，可得.所以的值為常數(shù)．【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中四邊形面積最值以及斜率之和定值問題的求解，考查韋達定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查計算實力，屬于難題.21.已知函數(shù)（1）若函數(shù)區(qū)間上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，不等式，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：（，為自然對數(shù)的底數(shù)，……）．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）由函數(shù)定義域為，，得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得到為的極值點，再由區(qū)間上存在極值點得到關(guān)于的不等式組，求得的取值范圍即可；（2）把轉(zhuǎn)化為，令，進而轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)求得即可；（3）由（2）得，即，令，得，令，得到個式子，對這個式子進行累加后，依據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即階層的定義即可得到結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以為的唯一極值點.因為，函數(shù)區(qū)間上存在極值點，所以應(yīng)滿意，解得：，故所求實數(shù)的取值范圍為.（2）當時，不等式化為：，即.令，由題意，在恒成立,所以只需.，令，則，當且僅當時取等號，所以在上單調(diào)遞增，所以因此，在上單調(diào)遞增，因此，，即實數(shù)的取值范圍為；（3）由（2）知，當時，不等式在上恒成立，即，整理得：令，則有分別令，則有，…，將這n個不等式