第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（培優(yōu)課構造函數(shù)法的應用）課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

培優(yōu)課?構造函數(shù)法的應用第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用人教A版

數(shù)學選擇性必修第二冊課程標準1.了解導數(shù)中幾種常見的構造函數(shù)的形式.2.會根據(jù)具體要求通過構造函數(shù)解決一些簡單的問題.重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一構造函數(shù)比較大小【例1】

(1)(多選題)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),且f'(x)<f(x)對任意的x∈R恒成立,則(

)A.f(ln2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0)C.f(ln2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)AB(

)A.a<c<b B.a<b<cC.c<a<b D.c<b<aAex≥x+1,當且僅當x=0時等號成立,得b=e0.1>0.1+1=1.1=c.由ln

x≤x-1,當且僅當x=1時等號成立,得a=1+ln

1.1<1+1.1-1=1.1=c,所以b>c>a.故選A.規(guī)律方法

解決此類問題的關鍵是弄清代數(shù)式的結構特點,根據(jù)代數(shù)式的共性特點構造函數(shù),利用導數(shù)和單調性比較大小.變式訓練1已知a=0.1,b=ln1.1,c=,則a,b,c的大小關系是(

)A.c>b>a B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>cD探究點二構造函數(shù)證明不等式【例2】

已知函數(shù)f(x)=ax2+2lnx.(1)討論f(x)的單調性;當x∈(0,1)時,g'(x)>0;當x∈(1,+∞)時,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.故當x>0時,g(x)≤g(1)=0.規(guī)律方法

證明f(x)>g(x)的一般方法是證明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用單調性),可構造出一個函數(shù)(可以移項,使右邊為零,將移項后的左式設為函數(shù)),并利用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調性,再根據(jù)函數(shù)的單調性,證明要證的不等式.變式訓練2[2024北京高三階段練習]已知函數(shù)

.(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)已知m,n是正整數(shù),且1<m<n,證明:(1+m)n>(1+n)m.①當a≤-1時,f'(x)<0在(-1,+∞)上恒成立,f(x)的單調遞減區(qū)間為(-1,+∞),無單調遞增區(qū)間.②當a>-1時,令f'(x)>0,解得-1<x<a,令f'(x)<0,解得x>a,所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(-1,a),單調遞減區(qū)間為(a,+∞).綜上,當a≤-1時,f(x)的單調遞減區(qū)間為(-1,+∞),無單調遞增區(qū)間;當a>-1時,f(x)的單調遞增區(qū)間為(-1,a),單調遞減區(qū)間為(a,+∞).(2)證明

兩邊同時取對數(shù),證明不等式成立等價于證明nln(1+m)>mln(n+1),g(x)<g(0)=0,所以h'(x)<0,所以h(x)在(0,+∞)上單調遞減.探究點三構造函數(shù)解不等式【例3】

[2024福建漳州高二期末]已知函數(shù)f'(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù),f(1)=,對任意實數(shù)都有f(x)-f'(x)>0,則不等式f(x)<ex-2的解集為

.

(1,+∞)因為F(x)為R上的減函數(shù),所以x>1,所以不等式f(x)<ex-2的解集為(1,+∞).規(guī)律方法

用單調性解不等式時常見的構造函數(shù)技巧方法求解此類題目的關鍵是構造新函數(shù),研究新函數(shù)的單調性及其導函數(shù)的結構形式,因此熟悉以下結論可以達到事半功倍的效果.(1)對于f'(x)>g'(x),構造h(x)=f(x)-g(x),更一般地,遇到f'(x)>a(a≠0),即導函數(shù)大于某個非零常數(shù)(若a=0,則無須構造),則可構造h(x)=f(x)-ax.(2)對于f

'(x)+g'(x)>0,構造h(x)=f(x)+g(x).(3)對于f'(x)+f(x)>0,構造h(x)=exf(x).變式訓練3已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,π),其導函數(shù)是f'(x).若f'(x)sinx-f(x)cosx>0恒成立,則關于x的不等式

的解集為

.

本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)幾種常見的構造形式.(2)掌握由導函數(shù)的結構形式構造原函數(shù).2.方法歸納:構造法.3.常見誤區(qū):(1)不能正確構造出符合題意的函數(shù);(2)代數(shù)式變形時容易出現(xiàn)不等價現(xiàn)象.學以致用·隨堂檢測促達標123451.已知f(x)是定義在(0,+∞)上的可導函數(shù),且滿足xf'(x)+f(x)<0,對任意的正數(shù)a,b,若a<b,則必有(

)A.bf(b)<af(a) B.bf(a)<af(b)C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)A解析

設g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),則g'(x)=xf'(x)+f(x)<0,∴g(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).∵a<b,∴g(a)>g(b),即af(a)>bf(b),故選A.123452.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(2)=1,且f(x)的導函數(shù)f'(x)<1,則f(x)>x-1的解集為(

)A.{x|-2<x<2} B.{x|x<2}C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x>2}B解析

令g(x)=f(x)-(x-1),則g'(x)=f'(x)-1<0,所以g(x)在R上是減函數(shù).又f(2)=1,所以g(2)=f(2)-(2-1)=0.由f(x)>x-1,得g(x)>0,解得x<2.12345123454.已知x>0,比較x與ln(1+x)的大小,結果為

.

x>ln(x+1)解析

由不等式ln

x≤x-1,當且僅當x=1時取等號,得當x>0時,ln(x+1)<x+1-1=x.123455.已知a,b為實數(shù),且b>a>e,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),求證:ab>ba.證明

∵b>a>e,∴要證ab>ba,只需證bln

a>