2024年高考考前20天終極沖刺攻略（新高考新題型專用）1

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤第④二．幾種數(shù)列求和的常用主意（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分離求和后相加減．（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以互相抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（3）錯(cuò)位相減法：倘若一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．（4）倒序相加法：倘若一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．三．常見的裂項(xiàng)技巧堆積裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）堆積裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）堆積裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）堆積裂項(xiàng)模型4：對數(shù)型堆積裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則典例1【2023年新高考1卷】記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充足條件但不是須要條件B．甲是乙的須要條件但不是充足條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充足條件也不是乙的須要條件【答案】C【解析】主意1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充足條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的須要條件，所以甲是乙的充要條件，C準(zhǔn)確.主意2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充足條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的須要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C典例2【2023年新高考全國Ⅱ卷】記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【解析】主意一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．主意二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．典例3【2023年年新高考全國Ⅰ卷】某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)常常會(huì)沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；倘若對折次，那么______.【答案】①.5②.【解析】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）因?yàn)槊看螌χ蟮膱D形的面積都減小為本來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，按照（1）的過程和結(jié)論，預(yù)測為種（證實(shí)從略），故得預(yù)測，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.典例4【2023年年新高考全國Ⅱ卷】設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，，，所以，，A選項(xiàng)準(zhǔn)確；對于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)準(zhǔn)確；對于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)準(zhǔn)確.故選：ACD.預(yù)測1（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列，，則（

）A．32 B．27 C．22 D．17預(yù)測2（2024·河北廊坊·模擬預(yù)測）已知，且數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充足不須要條件 B．須要不充足條件C．充要條件 D．既不充足又不須要條件預(yù)測3（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，則（

）A．36 B．24 C．18 D．32預(yù)測4（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，下列說法準(zhǔn)確的有（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng) D．若是數(shù)列中的項(xiàng)，則的值可能為6預(yù)測5（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題，其中準(zhǔn)確的有（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列押題1：已知遞增等比數(shù)列的公比為，且滿意，下列情況可能準(zhǔn)確的是（

）A． B． C． D．押題2：滿意，，的數(shù)列稱為盧卡斯數(shù)列，則（

）A．存在非零實(shí)數(shù)t，使得為等差數(shù)列B．存在非零實(shí)數(shù)t，使得為等比數(shù)列C．D．押題3：已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列為單調(diào)數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為單調(diào)數(shù)列押題4：已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則．押題5：已知公比為q的等比數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同，且滿意，．若，則的概率為名校預(yù)測預(yù)測1：答案C【詳解】因?yàn)?，，得到，所以，得到，故選：C.預(yù)測2：答案B【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，因?yàn)椴坏扔?，所以，若時(shí)，無法得出，所以“”不是“”的充足條件；若“”，則，所以“”是“”的須要條件.所以“”是“”的須要不充足條件.故選：B預(yù)測3：答案B【詳解】等差數(shù)列中，由，得，所以.故選：B預(yù)測4：答案ABD【詳解】對A，，故A準(zhǔn)確；對B，當(dāng)時(shí)，公差，此時(shí)，故B準(zhǔn)確；對C，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，即是數(shù)列中的項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對D，當(dāng)時(shí)，，又，故D準(zhǔn)確.故選：ABD預(yù)測5：答案ABD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，所以，對于A，由，則，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，故A準(zhǔn)確；對于B，由，所以，則，所以數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列，故B準(zhǔn)確；對于C，由，可得，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是遞增數(shù)列，故C不準(zhǔn)確；對于D，由，可得，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故D準(zhǔn)確；故選：ABD名師押題押題1：答案BCD【詳解】原數(shù)列遞增等價(jià)于，或，.等價(jià)于，即.從而，或，.這意味著的范圍是或，令，或，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，從而或，這表明了的范圍是或.所以A錯(cuò)誤，B準(zhǔn)確，C準(zhǔn)確，D準(zhǔn)確.故選：BCD.押題2：答案BCD【詳解】對A：若數(shù)列為等差數(shù)列，則有，即，由，故有恒成立，即有，無解，故不存在這樣的實(shí)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對B：若數(shù)列為等比數(shù)列，則有，即，由，故有恒成立，即有，即，解得，此時(shí)，故存在非零實(shí)數(shù)t，使得為等比數(shù)列，故B準(zhǔn)確；對C：由，則，即有，故C準(zhǔn)確；對D：由，故，故，故D準(zhǔn)確.故選：BCD.押題3：答案BC【詳解】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由題有，解得或，對于選項(xiàng)A，當(dāng)，為奇數(shù)時(shí)，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?dāng)，顯然有，當(dāng)時(shí)，，所以，故選項(xiàng)B準(zhǔn)確，對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的遞減數(shù)列，所以選項(xiàng)C準(zhǔn)確，對于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)B知，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不具有單調(diào)性，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.押題4：答案16【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有,解得：，所以.故答案為：押題5：答案/0.25【詳解】，又是方程的兩根，又為單增等比數(shù)列，又，，，所求概率.故答案為：．空間立體幾何（選填題）年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)2023年年I卷12三棱柱①截面周長與面積定值問題②動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成體積定值③動(dòng)點(diǎn)參加的垂直問題2023年年II卷10正方體動(dòng)點(diǎn)滿意要求所存在的情況2023年年I卷9正方體①線與線夾角問題②線與面夾角問題2023年年II卷11空間多邊形體積之間的關(guān)系2023年年新高考112正方體立體幾何的包裹問題2023年年新高考29椎體①錐體的側(cè)面積問題②錐體的體積問題近三年，空間幾何體在選填中占領(lǐng)一個(gè)位置，考查的考點(diǎn)普通來說是：空間幾何體的表面積與體積（①錐體的表面積與體積②柱體的表面積與體積③組合體的表面積與體積）2、空間幾何體涉及夾角與位置問題（①線與線、線與面及面與面的夾角問題②線與面平行關(guān)系③線與面垂直關(guān)系）3、動(dòng)點(diǎn)與截面問題（①以動(dòng)點(diǎn)為導(dǎo)火索求新平面圖、幾何體的各種參數(shù)②截面所截面積與周長定值最值問題）題干的設(shè)置普通來說在上述的三項(xiàng)考點(diǎn)中選其一項(xiàng)或兩項(xiàng)。有關(guān)表面積與體積考生需熟記公式，有關(guān)截面問題考生需要控制截面的作法，針對計(jì)算可以用幾何法也可借助空間向量，對于動(dòng)點(diǎn)徹低需要利用空間向量求出軌跡方程進(jìn)而求其它。從近三年的全國卷的考查情況以及新高考新題型標(biāo)準(zhǔn)來看，空間幾何體是高考選填方向必不可少的一類題，類型1：正方體探索截面與動(dòng)點(diǎn)問題，類型2：空間中線與面的位置關(guān)系。類型3：組合體表面積與體積（實(shí)際應(yīng)用）問題，尤其是臺(tái)體的表面積與體積，類型1相對有難度，其它兩類相對容易.一、立體幾何截面問題①作出空間幾何體的截面1、作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：（1）在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；（2）凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；（3）凡是相交的平面都要畫出它們的交線；2、作交線的主意有如下兩種：（1）利用基本領(lǐng)實(shí)3作直線；（2）利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后按照性質(zhì)作出交線。②判斷截面多邊形的形狀判斷截面多邊形形狀時(shí)需要注重以下幾點(diǎn)：1、截面與幾何體表面相交，交線不會(huì)超過幾何體表面?zhèn)€數(shù)。2、不會(huì)與同一個(gè)表面有兩條交線。3、與一對平行表面相交，交線平行（不一定等長）4、截面截內(nèi)切球或者外接球時(shí)，區(qū)別與面相切和與棱相切之間的關(guān)系③求解截面多邊形的周長求解截面多邊形的周長有兩個(gè)思路：（1）利用多面體展開圖舉行求解；（2）在各個(gè)表面決定交線，分離利用解三角形舉行求解。④求解截面多邊形的面積求解截面多邊形的面積問題的步驟：（1）通過解三角形求得截面多邊形各邊的長度；（2）判斷多邊形的形狀是否規(guī)矩，若為規(guī)矩圖形可直接使用面積公式求解；否則可通過切割法將多邊形分為多個(gè)三角形求解。⑤截面分割幾何體的體積問題截面分割后的幾何體易浮上不規(guī)矩的幾何體，對此往往采用“切割法”或“補(bǔ)形法”舉行體積的求解。⑥截面最值的相關(guān)問題截面最值問題的計(jì)算，主要由以下三種主意：1、極限法：通過假設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至兩端，計(jì)算最值（需注重判斷是否單調(diào)）；2、坐標(biāo)法：通過建系設(shè)坐標(biāo)，構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)舉行求解；3、化歸法：通過圖形轉(zhuǎn)化，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，尋找平面圖形中的最值計(jì)算。二、垂直與平行命題判斷技巧總結(jié)結(jié)論：①要證線∥面，條件為3個(gè)，其中必有《線面》 ②要證線⊥面，條件為2個(gè)，其中必有《線∥線或面∥面》 ③要證線∥線（面∥面），條件為2或3個(gè)，其中必有《兩個(gè)線⊥面》 ④要證線⊥線（面⊥面），條件為2個(gè)，其中必有《⊥、∥（）》⑤要證線⊥線（面⊥面），條件為3個(gè)，其中必有《》三、空間幾何體表面積與體積1、空間幾何體的表面積和體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3幾何體的表面積和側(cè)面積的注重點(diǎn)=1\*GB3①幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和．=2\*GB3②組合體的表面積應(yīng)注重重合部分的處理．2、柱體、錐體、臺(tái)體側(cè)面積間的關(guān)系（1）當(dāng)正棱臺(tái)的上底面與下底面全等時(shí)，得到正棱柱；當(dāng)正棱臺(tái)的上底面縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，得到正棱錐，則S正棱柱側(cè)＝ch′eq\o(←,\s\up7(c′＝c))S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′eq\o(→,\s\up7(c′＝0))S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′.（2）當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí)，得到圓柱；當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí)，得到圓錐，則S圓柱側(cè)＝2πrleq\o(←,\s\up7(r′＝r))S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up7(r′＝0))S圓錐側(cè)＝πrl.①求空間幾何體表面積的常見類型及思路1、求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的主意求多面體的表面積；2、求旋轉(zhuǎn)體的表面積：可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系3、求不規(guī)矩幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積；②空間幾何體的體積1、處理空間幾何體體積的基本思路（1）轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒈緛聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高；（2）拆：將一個(gè)不規(guī)矩的幾何體拆成幾個(gè)規(guī)矩的幾何體，便于計(jì)算；（3）拼：將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如偶爾將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原乘一個(gè)四棱柱，還臺(tái)位錐，這些都是拼補(bǔ)的主意。2、求體積的常用主意（1）直接法：對于規(guī)矩的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算；（2）割補(bǔ)法：把不規(guī)矩的幾何體分割成規(guī)矩的幾何體，然后舉行體積計(jì)算；或者把不規(guī)矩的幾何體補(bǔ)成規(guī)矩的幾何體，不認(rèn)識(shí)的幾何體補(bǔ)成認(rèn)識(shí)的幾何體，便于計(jì)算；（3）等體積法：挑選合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面作為三棱錐的底面舉行等體積變換③平移法求異面直線所成角的步驟第一步平移：平移的主意普通有三種類型：(1)利用圖中已有的平行線平移；(2)利用異常點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；(3)補(bǔ)形平移第二步證實(shí)：證實(shí)所作的角是異面直線所成的角或其補(bǔ)角第三步尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之第四步取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角θ的取值范圍是0°＜θ≤90°，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角三、空間幾何體動(dòng)態(tài)問題立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動(dòng)角的范圍等問題；立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題普通有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型，空間中軌跡問題的解答思路：按照已知條件決定和待求點(diǎn)相關(guān)的平行、垂直等關(guān)系；（2）用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、、z表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿意的曲線方程，收拾化簡可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）按照軌跡形狀即可求解出軌跡的長度等其他量.立體幾何最值：1、計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上的最值問題時(shí)，普通采用轉(zhuǎn)化的主意來舉行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練控制多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；2、對于幾何體內(nèi)部的折線的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合勾股定理求解．空間中動(dòng)線段的距離和的最值問題，可以類比平面中的距離和的最值處理利用對稱性來處理于轉(zhuǎn)化，另外異面直線間的公垂線段的長度可利用點(diǎn)到平面的距離來處理.計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時(shí)，普通采用轉(zhuǎn)化的主意舉行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練控制多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；典例1【2023年新高考1卷】下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）A.直徑為的球體B.所有棱長均為的四面體C.底面直徑為，高為的圓柱體D.底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A準(zhǔn)確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面向角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B準(zhǔn)確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不準(zhǔn)確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點(diǎn)作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，可知：，則，即，解得，按照對稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D準(zhǔn)確；故選：ABD.典例2【2023年新高考全國Ⅱ卷】已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（）．A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.面積為【答案】AC【解析】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)準(zhǔn)確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，銜接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)準(zhǔn)確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.典例3【2023年年新高考全國Ⅰ卷】南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔升高到時(shí)，增強(qiáng)的水量約為（）（）A. B.C.D.【答案】C【解析】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增強(qiáng)的水量即為棱臺(tái)的體積．棱臺(tái)上底面積，下底面積，∴．故選：C．典例4【2023年年新高考全國Ⅱ卷】如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分離為，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】設(shè)，因?yàn)槠矫妫?，則，，銜接交于點(diǎn)，銜接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D準(zhǔn)確.故選：CD.典例5【2023年年新高考全國Ⅱ卷】正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長分離為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出圖形，銜接該正四棱臺(tái)上下底面的中央，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長分離為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.預(yù)測1（2024·甘肅白銀·模擬預(yù)測）如圖，這是一件西周晚期的青銅器，其盛酒的部分可近似視為一個(gè)圓臺(tái)（設(shè)上、下底面的半徑分離為厘米，厘米，高為厘米），則該青銅器的容積約為（取）（

）

A．立方厘米 B．立方厘米C．立方厘米 D．立方厘米預(yù)測2（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，已知在長方體中，，點(diǎn)為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面與棱交于，則下列說法準(zhǔn)確的是（

）（1）三棱錐的體積為20（2）直線與平面所成角正弦值的最大值為（3）存在唯一的點(diǎn)，使得平面，且（4）存在唯一的點(diǎn)，使截面四邊形的周長取得最小值A(chǔ)．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）預(yù)測3（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）棱長為1的正方體中，點(diǎn)P為上的動(dòng)點(diǎn)，O為底面ABCD的中央，則OP的最小值為（

）A． B． C． D．預(yù)測4（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測）在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成的角分離為，且，則（

）A． B． C． D．預(yù)測5（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知是直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列準(zhǔn)確的命題是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則押題1：已知正方體的棱長為1，，分離為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．四面體的體積為定值 B．四面體的體積為定值C．四面體的體積最大值為 D．四面體的體積最大值為押題2：設(shè)這兩個(gè)平面，是兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則押題3：已知四棱錐，底面ABCD是正方形，平面，，PC與底面ABCD所成角的正切值為，點(diǎn)M為平面內(nèi)一點(diǎn)（異于點(diǎn)A），且，則（

）A．存在點(diǎn)M，使得平面B．存在點(diǎn)M，使得直線與所成角為C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)時(shí)，以P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長為押題4：在正方體中，為的中點(diǎn)，在棱上，且，則過且與垂直的平面截正方體所得截面的面積為.押題5：在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿意，則異面直線所成角的余弦值為．名校預(yù)測預(yù)測1：答案D【詳解】依題意可得該青銅器的容積約為（立方厘米）.故選：D預(yù)測2：答案D【詳解】對于（1），如圖過點(diǎn)作垂線，垂足為，易知，在長方體中，平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即為，三棱錐的體積為，故（1）錯(cuò)誤；對于（2），平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，距離為，所以當(dāng)最小時(shí)即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)直線與平面所成角的正弦值最大，最大值為，故（2）準(zhǔn)確；對于（3），若，可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，又因?yàn)?，易知與不垂直，故與不垂直，與平面不垂直，故（3）錯(cuò)誤；對于（4），四邊形的周長，周長取得最小值即最小，將平面與將平面放在同一平面內(nèi)，可知最小值為，所以截面四邊形的周長取得最小值，故（4）準(zhǔn)確.綜上，說法準(zhǔn)確的有（2）（4）.故選：D.預(yù)測3：答案C【詳解】由題意可得OP的最小值為點(diǎn)到線段的距離，在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可得，，，平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，因?yàn)?，故，?故選：C.預(yù)測4：答案D【詳解】如圖，設(shè)，因?yàn)樵诰匦沃校?，所以，因?yàn)榈酌?，所以分離是與底面所成的角，即，所以.因?yàn)椋?，解?負(fù)根舍去)，所以.故選：D.預(yù)測5：答案D【詳解】選項(xiàng)A：按照給定條件有或；選項(xiàng)B：按照給定條件有或；選項(xiàng)C：按照給定條件有與的位置可能平行、相交或m在α內(nèi)；選項(xiàng)D：因?yàn)椋源嬖谥本€使得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?故選：D.名師押題押題1：答案BCD【詳解】A：因?yàn)榈拿娣e為，到平面的距離不是定值，所以四面體的體積不是定值，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)榈拿娣e為，P到矩形的距離為定值，所以到平面的距離為，則四面體的體積為，故B準(zhǔn)確；C：當(dāng)Q與重合時(shí)，取得最大值，為，當(dāng)與重合時(shí)，到平面的距離d取得最大值，在正中，其外接圓的半徑為，則，故四面體的體積最大值為，故C準(zhǔn)確；D：過點(diǎn)作，，，設(shè)，，則，，，，，，故四面體的體積為，其最大值為，故D準(zhǔn)確．故選：BCD押題2：答案BD【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋删€面垂直的性質(zhì)知，，所以選項(xiàng)B準(zhǔn)確，對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，則與可能是異面直線，也可能是相交直線，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，垂直同向來線的兩個(gè)平面互相平行，所以選項(xiàng)D準(zhǔn)確，故選：BD.押題3：答案BC【詳解】對于A，假設(shè)存在點(diǎn)M，使得平面，因?yàn)槠矫?，平面，則平面平面，平面平面，平面，則，因?yàn)?，平面，故直線重合，即M點(diǎn)落在上，因?yàn)椋碝落在以A為圓心，以為半徑的圓面內(nèi)(不包含圓)，這與M點(diǎn)落在上矛盾，A錯(cuò)誤；對于B，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面，則即為與底面所成角，故，而，故，則，結(jié)合A的分析，可取，則,因?yàn)橹本€與所成角范圍為，故此時(shí)直線與所成角為，即存在點(diǎn)M，使得直線與所成角為，B準(zhǔn)確；對于C，當(dāng)時(shí)，當(dāng)M位于的延伸線時(shí)，的高最大為，此時(shí)面積最大，最大值為，則三棱錐的體積最大值為，C準(zhǔn)確；對于D，當(dāng)時(shí)，，以P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線是以P為圓心，為半徑的圓與側(cè)面展開圖的交線，如下圖，因?yàn)?則,即,則，則，則，按照對稱性有，故的長為，又球與底面的交線是以A為圓心，為半徑的四分之一圓，故長度為，故以P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長為，D錯(cuò)誤，故選：BC押題4：答案【詳解】如圖所示，取，銜接，易知面，而面，故，銜接，且顯然成立，由已知得，故，則，而，面，所以平面，且面，所以，取為的中點(diǎn)，，則且，，面，所以平面，因?yàn)槠矫?，，同理可得，所以等腰梯形為所得截面，又，作，顯然，則梯形的高為，所以等腰梯形的面積為．故答案為：12押題5：答案【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)異面直線所成的角為，則．故答案為：.直線（圓）與方程（選填題）年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)2023年年I卷11圓①點(diǎn)線距②角度最值時(shí)求其它2023年年II卷11直線與圓直線與圓的位置關(guān)系2023年年I卷14圓①圓與圓的位置關(guān)系②圓與圓的公切線問題2023年年II卷15直線與圓①直線與圓的位置關(guān)系②線關(guān)于線對稱2023年年新高考16圓圓的切線問題2023年年新高考29直線與圓直線與圓的位置關(guān)系近三年，直線與圓在選填中占領(lǐng)一個(gè)位置，考查的考點(diǎn)普通來說是：直線（①直線：傾斜角與斜率、斜率求算、夾角公式②平行與垂直定理及直線求法、對稱、距離及最值問題）2、圓（①各種方程、直線（圓）與圓的位置關(guān)系②四點(diǎn)共圓、三類切線、弦長、最值）題干的設(shè)置普通來說在上述的多項(xiàng)考點(diǎn)中選其一項(xiàng)或兩項(xiàng)。直線與圓有關(guān)定值與最值需考生需認(rèn)識(shí)技巧，第二控制直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系，對稱也是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，設(shè)置此類題難度普通，用心研究必能奪分。從近三年的全國卷的考查情況以及新高考新題型標(biāo)準(zhǔn)來看，直線與圓是高考選填方向必不可少的一類題，類型1：圓上的動(dòng)點(diǎn)到定直線的最值問題。類型2：圓的三類切線。類型3：對稱及阿波羅尼斯圓，尤其是阿波羅尼斯圓，考生需從多方面認(rèn)識(shí)，類型3相對有難度，其它兩類相對容易.此類題目一定采用數(shù)形結(jié)合.一、圓的取值范圍與最值問題涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．普通地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離平方的最值問題解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題二、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式①：直線的交點(diǎn)求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可．若有，則方程組有無窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)．求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上就是解方程組，看方程組解的個(gè)數(shù)．②過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程普通地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有按照詳細(xì)條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)．因?yàn)閰?shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點(diǎn)的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個(gè)方程中，無論取什么實(shí)數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．③兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式為．此公式可以用來求解平面上隨意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來解決．另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練控制．④：點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離為．（1）點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離；（2）使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為普通式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等．⑤兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)普通可以取直線上的異常點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；（2）利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為普通形式，且兩條直線中，的系數(shù)分離是相同的以后，才干使用此公式．圓：①：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑．（1）倘若圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)，圓的方程就是．有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：；圓與y軸相切時(shí)：；圓與x軸相切時(shí)：；與坐標(biāo)軸相切時(shí)：；過原點(diǎn)：（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn)．（3）標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，決定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)自立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法．②：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系倘若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點(diǎn)在圓上（2）若點(diǎn)在圓外（3）若點(diǎn)在圓內(nèi)③：圓的普通方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的普通方程．為圓心，為半徑．由方程得（1）當(dāng)時(shí)，方程惟獨(dú)實(shí)數(shù)解．它表示一個(gè)點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．（3）當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．④：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”．用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：（1）按照題意，挑選標(biāo)準(zhǔn)方程或普通方程．（2）按照已知條件，建立關(guān)于或的方程組．（3）解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．三、對稱全籠罩①點(diǎn)關(guān)于線對稱的點(diǎn)的求算點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為②線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線求算直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線為③線關(guān)于線對稱的直線方程求算直線關(guān)于直線對稱直線為其中注重：異常情況Ⅰ：點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為．點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為．Ⅱ：點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為．點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為；直線關(guān)于直線對稱的直線方程為；《記憶主意》或者④正規(guī)主意點(diǎn)關(guān)于直線成軸對稱問題（所有對稱都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線對稱）由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點(diǎn)連線的“垂直平分線”利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對頂點(diǎn)的坐標(biāo)普通情形如下：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則有，可求出、．⑤萬能對稱原理（曲線關(guān)于直線對稱的原理）曲線（或直線）關(guān)于直線的對稱曲線（或直線）的方程為：．

證實(shí)：設(shè)是曲線上的隨意一點(diǎn)，它關(guān)于l的對稱點(diǎn)為，則于是①∵與關(guān)于直線對稱．∴②②代入①，得，此即為曲線的方程．四、最值問題Ⅰ求直線上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的最大值的主意當(dāng)兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，可以在直線上找到一點(diǎn),使得最大.理由如下：作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),銜接并延伸交于點(diǎn)，銜接,則點(diǎn)即為所求點(diǎn)，此時(shí)最大.且若在直線上取不同于點(diǎn)的點(diǎn),銜接,則.在中，（三角形中兩邊之差小于第三邊）即②求直線上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值的主意當(dāng)兩點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，可以在直線上找到一點(diǎn),使得最小.理由如下：作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),銜接交于點(diǎn)，銜接,則點(diǎn)即為所求點(diǎn)，此時(shí)最小.且若在直線上取不同于點(diǎn)的點(diǎn),銜接,則.在中，（三角形中兩邊之和大于第三邊）即Ⅱ形如：若是定圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則求和這兩種形式的最值思路1：幾何法①的最值，設(shè)，圓心到直線的距離為由即可解得兩個(gè)值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值②的最值：即點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得斜率的最大值和最小值思路2：代數(shù)法①的最值，設(shè)，與圓的方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由判別式等于，求得的兩個(gè)值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值.②的最值：設(shè)，則，與圓的方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由判別式等于，求得的兩個(gè)值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值.五、圓的三類切線問題第一類：求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程的主意正規(guī)主意：第一步：求切點(diǎn)與圓心的連線所在直線的斜率第二步：利用垂直關(guān)系求出切線的斜率為第三步：利用點(diǎn)斜式求出切線方程注重：若則切線方程為，若不存在時(shí)，切線方程為秒殺主意：①經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程為②經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程為③經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程為第二類：求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程的主意主意一：幾何法第一步：設(shè)切線方程為，即，第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得，切線方程即可求出主意二:代數(shù)法第一步：設(shè)切線方程為，即，第二步：代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，由可求得，切線方程即可求出注重：過圓外一點(diǎn)的切線必有兩條，當(dāng)上面兩種主意求得的惟獨(dú)一個(gè)時(shí)，則另一條切線的斜率一定不存在，可得數(shù)形結(jié)合求出.第三類：求斜率為且與圓相切的切線方程的主意主意一：幾何法第一步：設(shè)切線方程為，即第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得，切線方程即可求出.主意二:代數(shù)法第一步：設(shè)切線方程為，第二步：代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，由可求得，切線方程即可求出主意三：秒殺主意已知圓的切線的斜率為，則圓的切線方程為已知圓的切線的斜率為，則圓的切線方程為六、阿波羅尼斯圓考點(diǎn)阿氏圓是指：平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的比值等于，且的點(diǎn)的軌跡稱之為阿氏圓。即：，如下圖所示：Ⅰ：證實(shí)主意一：初中知識(shí)證實(shí)：前提基礎(chǔ)：知識(shí)點(diǎn)1：內(nèi)角平分線定理及逆定理若是的角平分線，則有：。即“兩腰之比”等于“兩底邊之比”。其逆定理也成立：即，則有：AD是∠BAC的角平分線。知識(shí)點(diǎn)2：外角平分線定理及其逆定理若是外角的角平分線，則有。即“兩腰之比”等于“兩底邊之比”。其逆定理也成立：即，則有：是外角的角平分線。證實(shí)如下：①如上圖，按照阿氏圓的定義：當(dāng)點(diǎn)位于圖中點(diǎn)位置時(shí)有：，當(dāng)點(diǎn)位于圖中點(diǎn)位置時(shí)有：，所以有：，所以是的角平分線，當(dāng)點(diǎn)位于圖中點(diǎn)位置時(shí)有：，所以有：，所以是的角平分線，又故，所以動(dòng)點(diǎn)是在以為直線的圓上。②由上述過程，我們可以更進(jìn)一步推導(dǎo)出阿氏圓的直徑，設(shè)定點(diǎn)間距離，∵，∴∵∴ ∴同理，∵ ∴∵∴∴∴直徑。證實(shí)主意二：高中解析幾何建立直角坐標(biāo)系，如下圖所示以定直線所在直線為軸，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)，則，即，兩邊平方，收拾得：，又，配方得：由圓的方程可知：此方程表示是以為圓心，為半徑的圓。Ⅱ：阿氏圓常用于解決形如：類線段最值問題：其中是動(dòng)點(diǎn)，是定點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)在阿氏圓上運(yùn)動(dòng),我們總結(jié)出越發(fā)普通的解題步驟，使這種題變成套路題，直接秒殺。類問題解題步驟：運(yùn)用：動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，兩線段(帶系數(shù))相加求最小值。形如：的最小值(為系數(shù))，原理：構(gòu)造共邊共角相似，轉(zhuǎn)移帶系數(shù)的邊，利用兩點(diǎn)間線段最短求最小值，解題步驟：第一步:計(jì)算出動(dòng)點(diǎn)所在圓的半徑r；第二步：在題中尋找：(相似比)，若找不到，則需要將系數(shù)k提到括號(hào)外邊再尋找相似比；比如，找不到相似比為3:5時(shí)，需要經(jīng)過如下變形：,對帶系數(shù)的線段PA去尋找相似比為5:3。第三步：利用共邊共角模型，在第2步:定邊所在的三角形中構(gòu)造共邊共角相似模型，此時(shí)定邊與動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形(此步異常重要，是核心)；第四步：利用相似轉(zhuǎn)移帶系數(shù)的邊；第五步：由兩點(diǎn)間線段最短求最小值。Ⅲ:其他結(jié)論①當(dāng)時(shí)，在圓內(nèi)，在圓外，當(dāng)時(shí)，在圓外，在圓內(nèi)，②③過點(diǎn)作圓的切線,則分離為的內(nèi)，外角平分線.典例1【2023年新高考1卷】過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】主意一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，銜接，可得，則，因?yàn)榍?，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；主意三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，收拾得，且設(shè)兩切線斜率分離為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.典例2【2023年新高考全國Ⅱ卷】已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿意“面積為”的m的一個(gè)值______．【答案】（中隨意一個(gè)皆可以）【解析】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中隨意一個(gè)皆可以）．典例3【2023年年新高考全國Ⅰ卷】寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】[主意一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分離為，，[主意二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[主意三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或.典例4【2023年年新高考全國Ⅱ卷】設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】解：關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：典例5【2023年年新高考全國Ⅱ卷】已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法準(zhǔn)確的是（）A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D.若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【解析】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A準(zhǔn)確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B準(zhǔn)確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D準(zhǔn)確.故選：ABD.預(yù)測1（2024·遼寧撫順·模擬預(yù)測）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B．2 C． D．4預(yù)測2（2024·遼寧葫蘆島·模擬預(yù)測）已知為圓上動(dòng)點(diǎn)，直線和直線（，）的交點(diǎn)為，則的最大值是（

）A． B． C． D．預(yù)測3（2024·遼寧·模擬預(yù)測）設(shè)直線系（其中0，m，n均為參數(shù)，，），則下列命題中是真命題的是（

）A．當(dāng)，時(shí)，存在一個(gè)圓與直線系M中所有直線都相切B．存在m，n，使直線系M中所有直線恒過定點(diǎn)，且不過第三象限C．當(dāng)時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線系M中所有直線的距離最大值為1，最小值為D．當(dāng)，時(shí)，若存在一點(diǎn)，使其到直線系M中所有直線的距離不小于1，則預(yù)測4（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列命題中是假命題的是（

）.A．若點(diǎn)在圓外，則直線與圓相離 B．若點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交C．若點(diǎn)在圓上，則直線與圓相切 D．若點(diǎn)在直線上，則直線與圓相切預(yù)測5（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿意，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線．則下列說法準(zhǔn)確的是（）A．曲線的方程為B．若直線與曲線相交，則弦最短時(shí)C．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，若點(diǎn)，則射線平分D．過A作曲線的切線，切點(diǎn)分離為，則直線的方程為押題1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱．則下列結(jié)論準(zhǔn)確的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為B．的最大值為4C．當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，直線的方程為D．正弦的最大值為押題2：已知點(diǎn)為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論準(zhǔn)確的有（

）A．的最大值為2B．曲線的方程為C．圓與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)D．若，分離為圓和曲線上任一點(diǎn)，則的最大值為押題3：已知R，為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)．下列說法中準(zhǔn)確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，若的解集是，則B．當(dāng)時(shí)，若有5個(gè)不同實(shí)根，則C．當(dāng)時(shí)，若，曲線與半徑為4的圓有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，則D．當(dāng)時(shí)，曲線與直線所圍封閉圖形的面積的最小值是33押題4：已知圓，則下列結(jié)論準(zhǔn)確的有（

）A．若圓和圓外離，則B．若圓和圓外切，則C．當(dāng)時(shí)，圓和圓有且僅有一條公切線D．當(dāng)時(shí)，圓和圓相交押題5：已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為．名校預(yù)測預(yù)測1：答案A【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，又，所以．故選：A預(yù)測2：答案A【詳解】由、，有，故，對有，故過定點(diǎn)，對有，故過定點(diǎn)，則中點(diǎn)為，即，，則，故點(diǎn)在以為直徑的圓上，該圓圓心為，半徑為，又在原，該圓圓心為，半徑為，又，則.故選：A.預(yù)測3：答案ABD【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，設(shè)圓為，則圓心到直線的距離，故與總相切，A準(zhǔn)確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故直線恒過，若時(shí)，直線為，若時(shí)，直線的斜率為，故直線不過第三象限，所以存在m，n