2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：幾何壓軸題（附詳解）

中考幾何壓軸題匯編附詳解（2024年中考真題）

1.（24年重慶中考）在AABC中,AB=AC,點D是邊上一點（點。不與端點重合）.點。關(guān)

于直線A3的對稱點為點E，連接AD,DE.在直線上取一點八使ZEFD=/B4C,直線

E尸與直線AC交于點G.

8DCBDCBC

圖I圖2簫用圖

⑴如圖1,若/84。=60。,8。＜。。,44￡＞=。,求/46石的度數(shù)（用含々的代數(shù)式表示）

（2）如圖1,若/24。=60。,8。＜。。,用等式表示線段。3與。石之間的數(shù)量關(guān)系,并證明

（3）如圖2,若ABAC=90。,點。從點B移動到點C的過程中，連接AE,當AAEG為等腰三角形

時,請直接寫出此時二二的值.

2.（24年江西中考）綜合與實踐

如圖，在RtZXABC中，點D是斜邊上的動點（點D與點A不重合），連接CD,以CD為直

角邊在CD的右側(cè)構(gòu)造RtACDE,ZDCE=90。,連接BE,—=^-=m.

特例感知

（1）如圖1,當機=1時,3E與AD之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是.

類比遷移

（2）如圖2,當mwl時，猜想回與A。之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

拓展應(yīng)用

（3）在（1）的條件下，點F與點C關(guān)于OE對稱，連接。尸,石萬，跳\如圖3.已知AC=6,

設(shè)AD=X,四邊形CDEE的面積為y.

①求y與x的函數(shù)表達式，并求出y的最小值.

②當5尸=2時，請直接寫出AD的長度.

3.(24年上海中考)在梯形ABCD中,AD〃3C,點E在邊AB上，且=.

(1)如圖1所示，點F在邊CD上，且。尸=；8,聯(lián)結(jié)EF，求正EF//BC

(2)已知AD=AE=1

①如圖2所示，聯(lián)結(jié)DE，如果VADE外接圓的心恰好落在ZB的平分線上，求VADE的外接圓

的半徑長

②如圖3所示,如果點M在邊上，聯(lián)結(jié)石河,。加，屆,。加與EC交于N,如果3C=4,且

CD1=DM-DN,ZDMC=ZCEM，求邊CD的長.

4.(24年棗莊中考)一副三角板分別記作，ABC和_DEF淇中ZABC=NDEF=90°,

ABAC=45°,Z.EDF=30°,AC=DE.作，AC于點M,M。/于點N,如圖1.

圖1

備用圖

(1)求證：BM=EN

(2)在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C,

點A與點。重合，將圖2中的—DCF繞C按順時針方向旋轉(zhuǎn)戊后，延長BM交直線O歹于點P.

①當。=30°時，如圖3,求證：四邊形QVPM為正方形

②當30。<a<60。時，寫出線段MP,CD的數(shù)量關(guān)系，并證明，?當60。<1<120°時,直接寫

出線段MP,DP,CD的數(shù)量關(guān)系.

5.（24年安徽中考）如圖1尸ABCZ）的對角線AC與交于點。，點監(jiān)N分別在邊AD,5C上,

且AM=QV.點E,尸分別是6。與⑷V,CM的交點

⑴求證：OE=OF；

⑵連接交AC于點H,連接HE,HF.

(i).如圖2,若HE//AB，求正印7//AD;

AC

(ii)如圖3,若口ABCD為菱形，且MD=2AM,ZEHF=60°,求——的值.

6.（24年湖北中考）如圖，矩形ABCD中,E,尸在AD,5C上，將四邊形ABFE沿所翻折，使A的

對稱點P落在CD±,B的對稱點為G,PG交BC于H

⑴求證:AEDP~APCH.

⑵若尸為CD中點，且A5=2,5。=3,求長.

⑶連接BG,若P為中點,8為3C中點探究8G與大小關(guān)系并說明理由.

7.（24年武漢中考）問題背景:如圖（1）,在矩形ABCD中，點E/分別是的中點，連接

BD,所,求證:△BCWAFBE.

問題探究:如圖（2），在四邊形ABCD中,4￡>〃8。,4。。=90。,點￡是43的中點,點尸在邊

上,AD=2CF,EF與3。交于點G，求證:BG=FG.

EG

問題拓展:如圖⑶，在響題探究”的條件下，連接AG,AD=8'AG="直接寫出擊的

8.（24年深圳中考）垂中平行四邊形的定義如下:在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰

的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊

形是“垂中平行四邊形”.

圖2

圖3圖3備用圖

（1）如圖1所示,四邊形ABCD為“垂中平行四邊形”，蕭=6,CE=2,則AE=:

AB=________

（2）如圖2,若四邊形ABCD為“垂中平行四邊形"，且加=班）,猜想AF與8的關(guān)系，并說明

理由

（3）①如圖3所示，在ABC中,BE=5,GE=2AE=12,成J_AC交AC于點E,請畫出以

為邊的垂中平行四邊形，要求:點A在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示:不限作圖工具）

②若關(guān)于直線AC對稱得到VAB'C,連接CB',作射線Cfi'交①中所畫平行四邊形的邊

于點P,連接尸E,請直接寫出PE的值.

9.(24年新疆中考)【探究】

(1)已知AABC和△ADE都是等邊三角形.

①如圖1,當點。在3c上時，連接CE.請?zhí)骄緾A,CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

②如圖2,當點。在線段3C的延長線上時，連接CE.請再次探究C4,CE和CD之間的數(shù)量關(guān)

系,并說明理由.

【運用】

(2)如圖3,等邊三角形ABC中,A5=6,點E在AC上,CE=26點D是直線BC上的動點，連接

DE以DE為邊在DE的右側(cè)作等邊三角形DEF,連接CF當ACEF為直角三角形時,請直接

寫出3。的長.

圖1圖2圖3

A

B

備用圖

10.(24年廣西中考)如圖ABC中,？390?,AB=6.AC的垂直平分線分別交AC,A5于

點平分/ACB.

圖1圖2

(1)求證:AABCS^CB。

(2)如圖2,將AAOC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AOC,旋轉(zhuǎn)角為。(0。＜。＜360。).連接AM,

C'M

①求△AMC面積的最大值及此時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)，并說明理由

②當△AMC是直角三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角戊的度數(shù).

11.(24年吉林中考)小明在學(xué)習(xí)時發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過程:

(1)如圖①，在一ABC中,ABuBCBOLC,垂足為點D.若。。=2,3。=1,則54如=

(2)如圖②,在菱形AB'C'D'中,4C'=4,8'。'=2，則S菱形⑷4”=.

(3)如圖③，在四邊形所GH中,EG，咫■，垂足為點0.若￡G=5,9=3,則S四邊形EFGH=

;若￡16=。,微=。,猜想5四邊開溝砥與25的關(guān)系，并證明你的猜想.

【理解運用】

(4)如圖④，在△^砥中,仰=3,期=4,犍=5,點P為邊跖V上一點.

小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖：

(i)以點K為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊儂,KM于點R,L

(ii)以點P為圓心，依長為半徑畫弧,交線段PM于點

(iii)以點/'為圓心，次長為半徑畫弧，交前一條弧于點R',點R,K在MN同側(cè).

(iv)過點P畫射線PR,在射線PR'上截取PQ=KN，連接KP,KQ,MQ.

請你直接寫出S四邊形MPKQ的值.

12.（24年吉林中考）如圖，在,ABC中,/。=90。，/3=30。，4。=3?11,4。是ABC的角平分

線.動點P從點A出發(fā)，以Gem/s的速度沿折線A。-向終點B運動.過點P作PQ//AB,

交AC于點Q,以尸。為邊作等邊三角形PQE,且點C,E在P。同側(cè)，設(shè)點P的運動時間為

《5乂/>0）”「。后與—他。重合部分圖形的面積為5（0112）.

（1）當點P在線段AZ）上運動時，判斷△APQ的形狀（不必證明），并直接寫出AQ的長（用

含t的代數(shù)式表示）.

（2）當點E與點C重合時，求t的值.

（3）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍.

13.(24年廣東中考)【知識技能】

(1)如圖1,在4ABC中,DE是4A3C的中位線.連接。,將4ADC繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn),

得到△ADC.當點E的對應(yīng)點。與點A重合時，求證:43=3。.

【數(shù)學(xué)理解】

(2)如圖2,在4ABC中(43<6。),?！晔?A3C的中位線.連接。,將4ADC繞點D按逆時針方

向旋轉(zhuǎn)，得到△ADC,連接45,。。,作^A'BD的中線DE求證:2。尸8=3。。。.

【拓展探索】

43232

如圖3,在AABC中，tan3=],AD=5.過點。作DEL3C,垂足為E,5E=3,CE=§,點。

在A3上，.在四邊形ADEC內(nèi)是否存在點G,使得NAGD+NCGE=180。？若存在，請給出證明；

若不存在,請說明理由.

圖1圖2圖3

14.(24年黑龍江中考)已知AABC是等腰三角形,AB=AC,NA￡4N=；/R4C,/M4N在

/B4C的內(nèi)部，點M,N在BC上，點M在點N的左側(cè)，探究線段的0、NC、兒W之間的數(shù)量關(guān)

系.

(1)如圖①，當NB4C=90。時，探究如下：

由NB4c=90。,回=47可知，將八43繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到則0V=3尸且

ZPBM=90°，連接PM,易證AAMPmAAMN,可得MP=MN,在RtAPBM中，

BM2+BP?=MP?,則有RM?+NC2=MN-.

(2)當za4c=60。時，如圖②:當440=120。時，如圖③,分別寫出線段BM、NC、ACV之間

的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進行證明.

15.(24年包頭中考)如圖，在YABCD中，/ABC為銳角，點E在邊AD上，連接3E,CE,且

(1)如圖1,若尸是邊5c的中點，連接EF，對角線AC分別與BE,EF相交于點G,H.

①求證:〃是AC的中點；

②求AG:GC;

(2)如圖2,助的延長線與CD的延長線相交于點M,連接AM,CE的延長線與AM相交于點

N.試探究線段40與線段⑷V之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

16.(24年長春中考)如圖，在.ABC中,AB=AC=5,BC=6.點。是邊上的一點(點。不

與點5,C重合)，作射線AD,在射線A￡＞上取點尸,使=以AP為邊作正方形APMZV,

使點"和點C在直線AD同側(cè).

(1)當點。是邊8C的中點時，求AD的長；

(2)當BD=4時，點。到直線AC的距離為;

(3)連結(jié)PN,當PNLAC時，求正方形的邊長；

(4)若點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，則8的長為.(寫

出一個即可)

17.(24年山東泰安中考)如圖1,在等腰口△ABC中,NABC=9Qo,AB=C8,點。,E分別在

AB,CB上,QS=EB,連結(jié)AE,C。,取AE中點幾連結(jié)BF.

(1)求證:CD=26E,CD，6b;

(2)將△DfiE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.

①請直接寫出3尸與的位置關(guān)系:；

②求證:CD=26F.

18.（24年遼寧中考）如圖，在，ABC中,NABC=90O,NACB=C（0°<I<45。）.將線段C4繞點

C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD，過點。作DE，BC,垂足為E.

（1）如圖1,求證:△ABC冬△CED

（2）如圖2,N7LCD的平分線與A3的延長線相交于點尸，連接。尸,。支的延長線與CB的延

長線相交于點P，猜想PC與PD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明

（3）如圖3,在（2）的條件下，將沿AF折疊，在a變化過程中,當點尸落在點E的位置

時，連接EF.

①求證:點尸是的中點

②若CD=20,求4CEF的面積.

19.(24年揚州中考)如圖，點4B、M、E、尸依次在直線/上，點A3固定不動，且AB=2,分別

以AB,EF為邊在直線/同側(cè)作正方形ABCD,正方形EFGH,ZPMV=90。,直角邊聞尸恒過點

C,直角邊"N恒過點

(1)如圖1,若BE=10,EF=12,求點M與點3之間的距離

(2)如圖1,若5E=10,當點M在點8、E之間運動時，求HE的最大值

(3)如圖2,若5產(chǎn)=22,當點E在點8、歹之間運動時，點M隨之運動，連接C",點。是CH的

中點，連接HB、MO,則2OM+HB的最小值為.

中考幾何壓軸題匯編詳解

1.(24年重慶中考)【答案】.(l)6(F+a(2)CG=2?)E⑶3二1或

322

【小問1詳解】解:如圖

,?NEFD=NBAC,NBAC=60。.ZEFD=60°.,：ZEFD=ZL+ZBAD=Z1+a.

：.Zl=60°-＜z.VZAGE+Z1+ABAC=180。.，ZAGE=180°-60°-Zl=120°-Z1

??.ZAGE=120°-（60°-a）=60°+a

【小問2詳解】

解:CG=［也DE.在CG上截取CM=8。,連接BM,BE,AE,交AT＞于點H,

?；AB=AC,ABAC=60。.V3C4為等邊三角形

ZABC=ZC=60°,BC=AB.：.AABD^ABCM.：./3=/4.VZAHM=Z3+Z5

ZAHM=Z4+Z5=60°VZEFD=ZBAC=60°.ZAHM=ZEFDEG//BM

?.?點D關(guān)于直線AB的對稱點為點E.：.AE=AD,BE=BD,ZABE=ZABC=60°

NEBC=120°.AZEBC+ZC=180°./.EB//AC.：.四邊形EBMG是平行四邊形

??.BE=GM.：.BE=GM=BD=CM.：.CG=2BD.記AB與DE的交點為點N

則由軸對稱可知:￡＞石工AB,NE=ND.RtDNB中,ON=3。?sinZABC=-BD

2

lCG2BD2f-2

?，.DE=2DN=也BD.**-=Jjpjj=3"，，CG=-y/3rDE

【小問3詳解】

解:連接BE，記AB與DE的交點為點N

BDC

'：AB=AC,ZEFD=ZBAC=90°./.^ABC=45°

由軸對稱知NEAB=/DAB,NEBA=ZDBA=45°,DE工AB,NE=ND

當點G在邊AC上時，由于ZEAG>90°.A當AAEG為等腰三角形時，只能是AE=AG

同（1）方法得N3AD=c,ZAG￡=e....ZEAB=a.：.NEAD=2a「；AE=AG,EG±AD

：.ZFAG=ZEAD=2a.：.Rt^AFG中,。+2?=90。,解得夕=30。

...NEAD=60°,^AE=AD.：./\AED為等邊三角形.：.AE^ED.^AF=x

AF

,：ZEAD=60°.：.AG=AE=ED=--------=2x.：.DN=x

cos60°

在RtADAN中,A2V=———=6DN=&.'：DE±AB,ZABC=45°

tanZDAB

BN=---------=DN=x..\AC=AB=#>x+x

tan45°

/.CG=AC-AG=yl3x+x-2x=（yj3-\\x,：.^-^^l

v7AG2

當點G在。L延長線上時,只能是GE=G4,如圖

BDC

設(shè)/BAD=ZBAE=J3..\ZDAC=NGAF=90?！?ZEAF=180?！?月

ZGAE=ZEAF-ZGAF=900-）3,'：GE=GA.：.ZGAE=ZGEA=90°-J3

,：/EFD=/BAC=90。.，在RtA所中,90°-尸+180°-2/7=90°,解得尸=60°

ZDAC=90°-60°=30°=ZGAF.設(shè)GF=x，則AG=GE=2x,AF^瓜

在RtAEK4中,E尸=2x+x=3無，由勾股定理求得AE=2氐.

在RtAEAN中,AN=AE-cos60°=^3x,EN=DN=BN=AE-sin60°=3x

AB=AC=3X+6X..,.CG=AG+AC=（5+G）X..，P=^^

V7AG2

綜上所述:空=立￡或也二1.

AG22

2.（24年江西中考）【答案】（1）AD工BE,AD=BE

（2）破與AZ）之間的位置關(guān)系是4），跖,數(shù)量關(guān)系是R牛F=，”.

AD

（3）①y與x的函數(shù)表達式y(tǒng)=（x-3行『+18（0<xW6后），當x=30時,，的最小值為18.②

當5尸=2時,AZ）為2行或4vL

【解析】解：（1）VZDCE=90°^ZACB.：.ZACD=ZBCE,ZA+ZABC^90°

'：—=—=m=l.：.CD=CE,CB=CA.：.VACD^BCE..：.AD=BE,ZCAD=ZCBE

CDCA

：.ZABE=ZABC+ZCBE=ZABC+ACAD=90°./.AD±BE

??.BE與AD之間的位置關(guān)系是4），BE,數(shù)量關(guān)系是AD=BE.

RF

（2）BE與AD之間的位置關(guān)系是AD,BE,數(shù)量關(guān)系是丁=機.理由如下：

AD

CECB

'：ZDCE=90°^ZACB.：.ZACD=ZBCE,ZA+ZABC=90°.*.*—=—=m

CDCA

BEBC

：.AACDs^BCE.；——=—=m,ZCAD=ZCBE

ADAC

：.NABE=NABC+NCBE=NABC+NC4￡>=90。.，AD±BE

BF

???BE與A￡>之間的位置關(guān)系是AD,跖，數(shù)量關(guān)系是半=m.

AD

（3）由（1）得：CD=CE,CB=CA,ZDCE=90。=ZACB

??._ABC,/CDE都為等腰直角三角形：點F與點C關(guān)于DE對稱

ADFE為等腰直角三角形.CE=CD=EF=叱..?.四邊形CDEE為正方形

如圖，過C作SLAB于H

VAC=BC=6,ZACB=90°,：.AB=AC2+BC2=6y/2,CH=AH=BH=3^2

當O<x<30時,，￡>H=3a—x.，y=C°2=(3&『+(3后一x『=(x—3夜『+18

如圖，當30<xK6a時

此時DH=x-3A/L同理可得:y=CD2=(x-3血丁+18

.“與x的函數(shù)表達式為y=(x-3后J+i8(o<x<6后).當x=30時,)的最小值為18.

②如圖,：AD，3E,正方形CDFE,記正方形的中心為。

/DBE=NDFE=/DCF=9QP連接OC,OB,OF.：.OC=OD=OF=OE=OB

C,E,8,尸在（o上，且CF為直徑.??.ZCBF=90°

過。作。K_L3C于K,過。作OGL3尸于G..>32^=工3。=3,33=工8歹=1

22

[21

OB=732+12=屈:DE=2OB=2M正方形面積為-義（2加，=-x40=20

Ay=CD2=（x-3&丁+18=20.解得:％=20,々=4夜，經(jīng)檢驗都符合題意

如圖

綜上:當5尸=2時,AD為2行或4vL

3.（24年上海中考）【答案】（1）見詳解（2）①理;②括

2

【小問1詳解】

證明:延長DEC5交于點G

AEDEj_DF_1.DEDF

AD//BC.：.?：AE=-AB,DF=-CD./.—

~EB~EG33EB2?FC"2"EG-FC

EF//BC

【小問2詳解】

①解:記點0為VAZ）石外接圓圓心，過點O作于點F,連接。

:點O為VADE外接圓圓心I.OA=OE=OD.：,AF=EF=-.'：AE=-AB.：.AB^3

23

AE=AD,OE=OD,OA^OA.：.AEO^ADO.：./FAO=ZDAO

,：80平分/ABC.；.Z1=Z2.VAD〃BC.：.ZDAB+ZABC=180°

：.2ZEAO+2N1=180°ZEAO+Z1=90°ZAOB=90°.VOFLAE

AnFA

：.ZAFO=ZAOB=90°.VZFAO=NOAB.：.^FAO^^OAB.：.——=—

ABAO

即AO2=AFAB.：.AO2=-x3=-..\AO=^

222

???VADE外接圓半徑為

2

②延長BA,CD交于點P,過點E作EQ，3C,垂足為點Q

PAAD1PA1

,?AD^BC.：.PAD^PBC.：.—=——=一.由①知AB=3.，--------=-PA=1

PBBC4PA+34

CDDN

'：CD~=DMDN.^——=——VZ3=Z3.DCN^.DMCN4=N5.：Z5=Z6

DMCD

BEBMBEBM

：.Z4=Z6.：.EM//DC.：.——=——.由AB=3,AE=1.得5E=2.；.—=1.A——=1

EPMCEPMC

BMME1

/.BM=MC=2.,：EM//DC..".ABEM^ABPC.——=——=-

BCPC2

PDPA1

設(shè)ME=2a,則PC=4a.：AD^BC.：.——=—=PD=a.：.DC=3a.,：EM//DC

PCPB4

FNFM2

叢ENMs叢CND.：./=至=±.：.設(shè)EN=2b,CN=3b:：Z5=N6,Zn=4

CNDC3

/.△CNMsMME.：.里=—.即CM?=CNCE.：”=3b-5b.解得:b=-y/15

CMCE15

??.CE=|V15.14RtABQE,RtACQE中，由勾股定理得:5爐=CN?—CQ?

4—BQ?=3而1-(4-BQ『.BQ=g.EQ2=BE2-BQ1

c-1_________r\

\^QM=BM-BQ=2--=-.：.^RtEQM中，由勾股定理得,EM=7^^^=§百

4.（24年棗莊中考）【答案】（1）證明見解析

（2）①證明見解析，?②當30。<a<60°時，線段MP,OP,CD的數(shù)量關(guān)系為不"。=—；

CD2

當6。。12。。時，線段依皿,8的數(shù)量關(guān)系為"/

【小問1詳解】

證明：^AC=DE=a.'：ZABC=ZDEF=90°,ABAC=45°./.ZA=ZC=45°

AB=BC：：BM±AC.：.BM=AM=CM=-AC=-a.VZEDF=30°,ENIDF

22

：.EN=-DE=-a,：.BM=EN.

22

【小問2詳解】

證明：①：ZD=30°,CN±DF.：.ZCND=90°,ZDCN=90°-30°=60°.*.,?=ZACD=30°

，ZACN=90°VBMLAC.：.NPMC=ZBMC=90°.四邊形PMCN為矩形

BM=EN,即BM=CN而BM=CM.CM=CN.四邊形PMCN是正方形

②如圖，當30。<e<60。時,連接CP

由（1）可得：CM=CN,/PMC=/PNC=9QP.CP=CP.：.PMC^,PNC.：.PM=PN

DNDP+MPJi

：.MP+DP=PN+DP=DN.'：ZD=30°./.cosZD=也==cos30°=—

CDCD2

.DP+MPV3

>?-----------=----

CD2

②如圖，當60。<e<120。時,連接CP

由（1）可得：CM=CN,ZPMC=ZPNC=90°.>/CP=CP.：.PMC^PNC.：.PM=PN

DNMP-DPA/3

:.DN=PN—DP=MP—DP.?:ZCDF=30°cos/CDF="==cos30°=

CDCD~T

?MP-DPA/3

>?----------------=—

CD2

5.(24年安徽中考)【答案】⑴證明:由題意知,AD//3cAM//CN,Q4=OC

由于AM=CN,則四邊形AMCN是平行四邊形

從而AN//CM，所以ZOAE=ZOCF.

在AAOE與ACOF中，因為Q4=OC,ZOAE=ZOCF,ZAOE=Z.COF.

所以AAOE=ACOF.^OE=OF.

CHOPCHCF

(2)⑴證明:因為HE//AB,所以——=——，又OB=OD,OE=OF,則——=——.

OAOBOAOD

由于ZHOF=ZAOD，故AHOF~AAOD于是ZOHF=ZOAD，所以HE//AD

(ii)解:因為口ABCD為菱形，所以AC，5。

又OE=OF,ZEHF=60°,所以ZEHO=ZFHO=30°,于是OH=也OE

因為AM/ABC,MD=2AM，所以改=些=±即”C=3AH

HCBC3

從而。1+OH=3(。4—OH),所以。4=2OH.

BFBN2

又因為師//"),"0=23,4^=優(yōu),所以一=—=-,gp3BE=2ED

EDAD3

從而3(OB-OE)=2(05+OE)，所以08=5OE.

故如=0=迎￡=延,即生的值是友

BDOB5OE5BD5

3

6.(24年湖北中考)【答案】(1)見詳解(2)GH=-

(3)AB=46BG

【小問1詳解】解:如圖：

,Z四邊形ABCD是矩形.NA=ND=NC=90°./.，1+，3=90。.VE,F分別在AD,BC上，將

四邊形ABFE沿E/翻折，使A的對稱點P落在DC上.二ZEPH=ZA=90°.AZl+Z2=90,

Z3=Z2.AEDP^APCH

【小問2詳解】解:如圖：

???四邊形ABCD是矩形CD=AB=2,疝=5。=3,/4="=/。=90。二?尸為CD中點

??.DP=CP=1X2=1,T^EP=AP=X..\ED=A￡>—x=3—X.在尸中

5S4

￡?2=團2+。產(chǎn)即/=(3—％)9-+1.解得x=EP=AP=x=-.：.ED=AD-AE=-

45

EDEP--5

,：AEDP^APCH.：.—=—33.解得PH=—PG=AB=2

PCPHj=俞4

3

I.GH=PG-PH=-

4

【小問3詳解】

解:如圖:延長AB,PG交于一點M,連接釬

,/E,F分別在AD,BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對稱點P落在CD上

AAP±EF,BG工直線EF.：,BG//AP,AE^EP.：.ZEAP=ZEPA.：.ZBAP=ZGPA

：.ZiA例P是等腰三角形.I.=MPP為CD中點.設(shè)DP=CP=y

A3=PG=CD=2y.："為BC中點BH=CH.'：ZBHM=ZCHP,ZCBM=ZPCH

：._MBHAPCH(ASA)

M

13

JBM=CP=y,HM=HP.：?MP=MA=MB+AB=3y.：.HP=-PM=-y

在Rt^PCH中,CH=dPH-PC?=與了:BC=2CH=島；AD=BC=45y

在RtAPD^,AP=VAD2+PET=4ey-'^BG//AP.：.BMG^MAP

BGBM1JA—=^—=46「

:.=-----=—BG=—y.，BGy/6.；?AB=^/6BG.

APAM33-y

7.（24年武漢中考）【答案】問題背景:見解析澗題探究:見解析澗題拓展

【詳解】問題背景:???四邊形ABCD是矩形

BEBFI

???AB=CD,ZEBF=ZC=90°.VE,b分別是AB,5c的中點.二.一二——=—

ABBC2

BEBF1.

即nn——=—=—.，Z\BCD^Z\FBE

CDBC2

問題探究:如圖所示，取的中點X，連接EH,HC

,：E是A3的中點，”是的中點EH=^AD,EH//AD.X'：AD=2CF.：.EH=CF

'：AD//BC.：.EH//FC.：.四邊形EHCF是平行四邊形.EF//CH.：.ZGFB=ZHCB

又：N6CD=90。,〃是3D的中點..??HC=^BD=BH.：.ZHBC=ZHCB.：.ZGBF=ZGFB

：.GB=GF

問題拓展:如圖所示，過點口作出_LAZ）,則四邊形MECD是矩形，連接AF

AD=2CF=CD,：.AM=MD=FC=-AD.^AD=2a,^\MF=CD=2a,AM=a

2

在Rt.4WF中,AR=1?+（2。）2=島.,:AG=FG,由（2）BG=FG.：.AG=BG

又：E是AB的中點./.EF垂直平分AB.：.AF=BF,ZBEG=90°

AG=BG

在一AFG,ABFG中｛GR=GR..AFG^BFG（SSS）

FA=FB

設(shè)ZGBF=ZGFB=c，貝|ZGAF=ZGFA=tzZBGE=ZGBF+ZGFB=2a

又：AD〃3c..?.ZMAF=ZAFB=ZGFA+ZGFB=2aZMAF=NEGB

又NBEG=ZAFM=90°..*.BEG^FMA

.EGEGAM_a_45

,*GF-BG-AF-Via'

8.（24年深圳中考）【答案】（1）1，V17（2）4尸=血8,理由見解析

（3）①見解析;②PE=3亙或匹.

42

【小問1詳解】

解：AD/ABC/為AZ）的中點,40=3。,酢=石，。石=2

:.一AEFs_CEB,BC=AD=2AF=275

—=9，即岑=絲，解得AE=1

BCCE2752

BE2=BC2-CE2=（2布￥-22=16

AB=7AE2+BE2=JF+16=717

故答案為：i；VI7

【小問2詳解】

解:Ab=eCZ>,理由如下：

根據(jù)題意，在垂中四邊形ABCD中,AFBD,且尸為的中點

.4/八

AD=BC=2BF,ZAEB^90°.XAD//BC.:.^AED^FEB.—=—=—=2

EFBFEB

設(shè)BE=a，貝！JDE—2a.AB=BD.?AB=BD=BE+ED-a+1a—3a

???AE=siAB2-BE2=7（3?）2-tz2=26a,EF=yfla

AF=AE+EF=20a+y[2a=3屈a-AB=CD'叵。=0

CDAB3a

AF=41CD

【小問3詳解】

解:①第一種情況：

作的平行線A￡>,使AD=3C,連接CD,則四邊形ABCD為平行四邊形，延長BE交AT>于

ApAp

點、F.BC//AD：.二AEFs一CEB.:.——=—.AD=BC,CE=2AE

BCCE

APAF111

二黑=笑=—即”"丈二:5」“為的中點

BCCE222

故如圖1所示,四邊形ABCD即為所求的垂中平行四邊形：

第二種情況：

作NABC的平分線，取CH=CB交/ABC的平分線于點H,延長S交BE的延長線于點，

在射線B4上取=連接。足故A為的中點.同理可證明:AB=；CD

則所=AB+AF=2AB=CD.則四邊形BCDF是平行四邊形；

故如圖2所示，四邊形成刀尸即為所求的垂中平行四邊形：

第三種情況：

作,交BE的延長線于點D，連接CD，作BC的垂直平分線

在DA延長線上取點F,使AF=AD，連接.則A為止的中點

同理可證明A。=g3C,從而￡方=6C.故四邊形BCDF是平行四邊形

故如圖3所示,四邊形80^即為所求的垂中平行四邊形：

②若按照圖1作圖

由題意可知,ZACB=ZACP.四邊形ABCD是平行四邊形.,ZACB=APAC

是等腰三角形.過P作PW，AC于H,則AH=HC

BE=5,CE=2AE=12.:.B'E=BE=5,AE=6

AH=HC=1AC=1(AE+CE)=1(6+12)=9...EH=AH-AE=9-6=3

CHB，E

PHLAC.BE上AC..,.△CPHSACB'E.W=色，即PH==—=11

B'ECECE124

PE=siEH2+PH2=卜+[9]=

若按照圖2作圖，

E

BC

延長。1,0支交于點G.同理可得:，PGC是等腰三角形.連接Q4.GF〃BC

APA(Z

GAFs、CAB.：.一=一=1.二AG=AC.，AC.同理,ACPAs^CB'E

ABAC

B'ECEB'E-AC

AE=6,EC=12,B'E=BE=5.：.^=—,^PA=5x18_15

PAACCE12

:.PE=A/PA2+AE2=J]?+62=當

若按照圖3作圖，則:沒有交點,不存在PE(不符合題意)

故答案為:PE=或士畫.

42

9.(24年新疆中考)【答案】⑴①CE+CD=C4②CE=CD+CA⑵6-若或6+2若

①CE+CD=C4,理由如下：AABC和AADE是等邊三角形

：.AB=AC=BC,AD=AE=DE,ZBAC=ZDAE=60)

ABAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.:.ZBAD=ZCAE

AB=AC

在AABD和AACE中,N84D=NC4E.AAB。三AACE(SAS).CE=班>

AD=AE

BD+CD=BC,:.CE+CD=CA

②C4+CD=CE理由如下

AABC和AADE是等邊三角形...45=40=3。，AD=AE=DE,ABAC=ZDAE=60°

ABAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC/BAD=ZCAE

AB=AC

在AABD和AACE中<NBAD=ZCAE,/.AABD=AACE(SAS),：.CE=BD

AD=AE

CB+CD=BD,:.CA+CD=CE.

(2)過E作?//ABMEHC為等邊三角形.

①當點。在H左側(cè)時，如圖

ED=EF,ZDEH=ZFEC,EH=EC

:.AEDH=AEFC(SAS),ZECF=ZEHD=120°,此時ACEF不可能為直角三角形.

②當點。在H右側(cè)，且在線段CH上時，如圖2

同理可得AEDH=AEFC(SAS)ZFCE=ZEHD=60°,ZFEC=ZDHE<ZHEC=60°

此時只有/FCE有可能為90°

當ZFCE=90°時,ZEDH=90°

:.ED±CH.CH=CE=26,：CD=gcH=6AB=6.：.BD=6-叵

③當點。在H右側(cè)，且在延長線上時，如圖3

A

此時只有NCEb=90°

ZDEF=60°，:.NCED=30°,ZECH=60°,..ZEDC=CED=30°

CD=CE=273...5。=6+26

綜上：BD的長為6-6或6+2A/3

10.（24年廣西中考）【答案】（1）見解析（2）①86，a=180。;②120?；?40。

【小問1詳解】證明:垂直平分AC.，Q4=OC.，NA=NACO

CO平分ZACO=ZOCB.：.ZA=NOCB.又ZB=ZB.：.AABC^ACBO

【小問2詳解】解:①：？590?.，ZA+ZACO+NOCB=90。.，ZA=ZACO=NOCB=30。

BO=^CO=^AO.y,AB=AO+BO=6.：.30=2,AO=4MO垂直平分AC

OM=^AO=2,AC=2AMAM=^AO2-MO2=2x/3.AC^4^3

取AC'中點AT,連接OM',跖0',作MN±AC于N

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知.AOCZ一AOC',OM'為OM旋轉(zhuǎn)?所得線段

OM'X.A'C,A'C=AC=4框,OM'=OM=2

根據(jù)垂線段最短知肱vwM”.又MW'WOM+（W

當M,O,M'三點共線，且點0在線段MM'時,MN取最大值，最大值為2+2=4

此時a=180。

I.AA'MC面積的最大值為g義46x4=8/

②：MC'<MO+OC=2+4=6,4y/3=A'C.>'>吹'<4'。'.同理始'<4'?！?/p>

??.△A'MC為直角三角形時，只有/4'MC'=90。

當A和C重合時，如圖

^AOC^AOA.：.ZA=ZCAO=30°,ZOAA=Z.OCA=30°..\ZA'6M=120°

ZAMO=90°./.ZAOM=60°.AZA!OA+ZAOM=180°A,O,M三點共線

/.為直角三角形.此時旋轉(zhuǎn)角a=ZA'0i=12O。

當A，和C重合時，如圖

同理Z.OCC'=Z.CAO=30°,Z.C'=ZOCA=30°.ZCOC=120°.,：AO=CO,ZAOM=60°

/COM=ZAOM=60°.ZCOM+ZCOC=180°AC,O,M三點共線.又ZAMO=90°

/.AA'MC為直角三角形.此時旋轉(zhuǎn)角。=360。-/4,04=240。

綜上,旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為120°或240。時,AA'MC為直角三角形.

11.(24年吉林中考)【答案】⑴2,(2)4,(3)?,S四邊形,打,血證明見詳解，⑷10

【詳解】(1)???在抽。中,回=5。,5。，4。,8=2..，.4￡)=0)=2..，.4。=4

???&ABC=3*4。*30=2.故答案為：2?

(2)在菱形AB'C'D'中,A'C=4,B'D'=2.：.S^A,B,CD,=；xB'D'xA'C'=4

故答案為：4.

⑶■:EG工FH；SEFGFEGXFO'SEHG《EGXH。

?S四邊形E/GH=SEFG+SEHG

：(

.S四也形-un=-2xEGxFO+-2xEGxHO=-2xEGx1FO+HO]/

...S?FCH=9EG“FO+HO)=；xEGxFH

EG=5,FH=3.S四邊形EFGH=]義EG義FH=—

故答案為：?

猜想:S四邊形EFS=；而

證明：：EGLFH

...S=-xEGxFO,S=i-xEGxHO

匕FFUC2'criCr2

?*S四邊形E/GH=SEFG+SEHG

???S四邊形EFGH=gxEGXFO+gxEGXHO=gxEGX(FO+HO)

...S四邊形.GE=%EGX(FO+HO)=9EGXFH

,EG=a,FH=b...