2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章解析幾何第4節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系課時(shí)跟蹤檢測(cè)理含解析

PAGE第九章解析幾何第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系A(chǔ)級(jí)·基礎(chǔ)過(guò)關(guān)|固根基|1.(2025屆廣西南寧適應(yīng)性測(cè)試)已知直線l：3x－4y－15＝0與圓C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝6，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x－1)2＋(y－2)2＝25B．(x－1)2＋(y－2)2＝36C．(x－1)2＋(y－2)2＝16D．(x－1)2＋(y－2)2＝49解析：選A圓C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0可化為(x－1)2＋(y－2)2＝r2，設(shè)圓心(1，2)到直線的距離為d，則d＝eq\f(|3－8－15|,5)＝4.因?yàn)閨AB|＝6，所以r2＝32＋42＝25，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25，故選A．2．(2025屆湖南五市十校高三聯(lián)考)兩圓x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于兩點(diǎn)M，N，則線段MN的長(zhǎng)為()A．eq\f(3\r(5),5) B．4C．eq\f(6\r(5),5) D．eq\f(12\r(5),5)解析：選D兩圓方程相減，得直線MN的方程為x－2y＋4＝0，圓x2＋y2＋2x－8＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝9，所以圓x2＋y2＋2x－8＝0的圓心為(－1，0)，半徑為3，圓心(－1，0)到直線MN的距離d＝eq\f(|－1×1＋（－2）×0＋4|,\r(12＋（－2）2))＝eq\f(3,\r(5))，所以線段MN的長(zhǎng)為2eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(5))))\s\up12(2))＝eq\f(12\r(5),5).故選D．3．(2025屆昆明質(zhì)檢)已知直線y＝ax與圓C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心．若△ABC為等邊三角形，則a的值為()A．1 B．±1C．eq\r(3) D．±eq\r(3)解析：選D圓C的方程可以化為x2＋(y－3)2＝3，圓心為C(0，3)，半徑為eq\r(3)，依據(jù)△ABC為等邊三角形可知AB＝AC＝BC＝eq\r(3)，所以圓心C(0，3)到直線y＝ax的距離d＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝eq\f(3,2)，所以eq\f(3,2)＝eq\f(|a×0－3|,\r(a2＋1))，解得a＝±eq\r(3).4．(2025屆陜西省高三二檢)已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，點(diǎn)M(－2，0)是⊙C外一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程是()A．x＋2＝0，7x－24y＋14＝0B．y＋2＝0，7x＋24y＋14＝0C．x＋2＝0，7x＋24y＋14＝0D．y＋2＝0，7x－24y＋14＝0解析：選C將⊙C的方程轉(zhuǎn)化為(x－2)2＋(y－3)2＝16，則其圓心為(2，3)，半徑為4，明顯x＋2＝0是滿(mǎn)意條件的一條切線．又圓心(2，3)到直線7x＋24y＋14＝0的距離d＝eq\f(|2×7＋24×3＋14|,\r(72＋242))＝4，所以選項(xiàng)C滿(mǎn)意，故選C．5．(2025屆福州高三質(zhì)檢)“b∈(－1，3)”是“對(duì)于隨意實(shí)數(shù)k，直線l：y＝kx＋b與圓C：x2＋(y－1)2＝4恒有公共點(diǎn)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A圓C：x2＋(y－1)2＝4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－1)和(0，3)，對(duì)于隨意實(shí)數(shù)k，直線l與圓C恒有公共點(diǎn)?b∈[－1，3]．因?yàn)?－1，3)[－1，3]，所以“b∈(－1，3)”是“對(duì)于隨意實(shí)數(shù)k，直線l與圓C恒有公共點(diǎn)”的充分不必要條件．故選A．6．(2025屆昆明市高三質(zhì)檢)已知直線l：y＝eq\r(3)x＋m與圓C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B兩點(diǎn)，若∠ACB＝120°，則實(shí)數(shù)m的值為()A．3＋eq\r(6)或3－eq\r(6) B．3＋2eq\r(6)或3－2eq\r(6)C．9或－3 D．8或－2解析：選A由題知圓C的圓心為C(0，3)，半徑為eq\r(6)，取AB的中點(diǎn)為D，連接CD，則CD⊥AB，在△ACD中，AC＝eq\r(6)，∠ACD＝60°，所以CD＝eq\f(\r(6),2)，由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(|－3＋m|,\r(（\r(3)）2＋1))＝eq\f(\r(6),2)，解得m＝3±eq\r(6)，故選A．7．(2025屆沈陽(yáng)市高三質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知直線l：y＝k(x＋eq\r(3))和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝()A．0 B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3)或0 D．eq\r(3)或0解析：選D因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|－1＋\r(3)k|,\r(1＋k2))＝1，即|－1＋eq\r(3)k|＝eq\r(1＋k2)，解得k＝0或k＝eq\r(3)，故選D．8．(2025屆豫西南五校3月聯(lián)考)已知圓C：(x－2)2＋y2＝4，直線l1：y＝eq\r(3)x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圓C所截得的弦的長(zhǎng)度之比為1∶2，則k的值為()A．eq\r(3) B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),3)解析：選C圓C：(x－2)2＋y2＝4的圓心為C(2，0)，半徑為2，圓心到直線l1：y＝eq\r(3)x的距離d1＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，所以l1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2×eq\r(4－3)＝2.圓心到直線l2的距離d2＝eq\f(|2k－1|,\r(k2＋1))，又l1，l2被圓C所截得的弦的長(zhǎng)度之比為1∶2，所以l2被圓C所截得的弦長(zhǎng)為4＝2×eq\r(4－deq\o\al(2,2))，所以d2＝0，所以2k－1＝0，解得k＝eq\f(1,2)，故選C．9．(2025屆福建漳州八校4月聯(lián)考)若直線x－my＋m＝0與圓(x－1)2＋y2＝1相交，且兩個(gè)交點(diǎn)位于坐標(biāo)平面上不同的象限，則m的取值范圍是()A．(0，1) B．(0，2)C．(－1，0) D．(－2，0)解析：選D易求圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為O(0，0)，A(2，0)，易知直線x－my＋m＝0與x軸的交點(diǎn)在線段OA(不含端點(diǎn))上時(shí)，直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)位于不同的象限，此時(shí)m應(yīng)滿(mǎn)意0<－m<2，即－2<m<0.10．已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為_(kāi)_______．解析：∵圓C1的圓心為C1(3，0)，圓C2的圓心為C2(0，3)，∴直線C1C2的方程為x＋y－3＝0.由題意得，AB的中垂線即直線C1C2，故其方程為x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝011．(2025屆河北五個(gè)一名校聯(lián)考)在圓x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線x＋y－2eq\r(2)＝0的距離d∈[0，1]的概率為_(kāi)_______．解析：圓心(0，0)到直線x＋y－2eq\r(2)＝0的距離為eq\f(2\r(2),\r(12＋12))＝2，則直線x＋y－2eq\r(2)＝0與圓x2＋y2＝4相切．設(shè)直線x＋y＋m＝0與直線x＋y－2eq\r(2)＝0的距離為1，則eq\f(|m＋2\r(2)|,\r(2))＝1，所以m＝－eq\r(2)或m＝－3eq\r(2).當(dāng)m＝－3eq\r(2)時(shí)，直線x＋y－3eq\r(2)＝0與圓無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)m＝－eq\r(2)時(shí)，如圖所示，設(shè)直線x＋y－eq\r(2)＝0與圓交于A，B兩點(diǎn)，易知滿(mǎn)意題意的點(diǎn)在AB上，連接OA，OB，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，可得sin∠OAD＝eq\f(OD,OA)＝eq\f(1,2)，∴∠OAD＝30°，則∠AOB＝180°－30°×2＝120°，由幾何概型的概率公式可得所求概率P＝eq\f(120°,360°)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)12．(2024年全國(guó)卷Ⅲ)已知曲線C：y＝eq\f(x2,2)，D為直線y＝－eq\f(1,2)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．(1)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；(2)若以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積．解：(1)證明：設(shè)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，則xeq\o\al(2,1)＝2y1.由y′＝x，所以切線DA的斜率為x1，故eq\f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0.所以直線AB過(guò)定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).(2)由(1)得直線AB的方程為y＝tx＋eq\f(1,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)))可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，所以|AB|＝eq\r(1＋t2)|x1－x2|＝eq\r(1＋t2)×eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2(t2＋1)．設(shè)d1，d2分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則d1＝eq\r(t2＋1)，d2＝eq\f(2,\r(t2＋1)).因此，四邊形ADBE的面積S＝eq\f(1,2)|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)eq\r(t2＋1).設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，t2＋\f(1,2))).由于eq\o(EM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，而eq\o(EM,\s\up6(→))＝(t，t2－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))與向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.當(dāng)t＝0時(shí)，S＝3；當(dāng)t＝±1時(shí)，S＝4eq\r(2).因此，四邊形ADBE的面積為3或4eq\r(2).B級(jí)·素養(yǎng)提升|練實(shí)力|13.(2025屆洛陽(yáng)市高三第一次統(tǒng)一考試)已知圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．設(shè)條件p：0<r<3，條件q：圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x－eq\r(3)y＋3＝0的距離為1，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C圓C：(x－1)2＋y2＝r2的圓心(1，0)到直線x－eq\r(3)y＋3＝0的距離d＝eq\f(|1－\r(3)×0＋3|,\r(12＋（\r(3)）2))＝2.當(dāng)0<r<1時(shí)，直線與圓相離，圓上沒(méi)有點(diǎn)到直線的距離為1；當(dāng)r＝1時(shí)，直線與圓相離，圓上只有1個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；當(dāng)1<r<2時(shí)，直線與圓相離，此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；當(dāng)r＝2時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；當(dāng)2<r<3時(shí)，直線與圓相交，此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.綜上，當(dāng)0<r<3時(shí)，圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x－eq\r(3)y＋3＝0的距離為1.由圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x－eq\r(3)y＋3＝0的距離為1可得，0<r<3，故p是q的充要條件，故選C．14．(2025屆合肥調(diào)研)若直線l：ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)經(jīng)過(guò)圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．2eq\r(2) B．eq\r(2)C．2eq\r(2)＋1 D．eq\r(2)＋eq\f(3,2)解析：選D因?yàn)橹本€ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)經(jīng)過(guò)圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心，所以圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心(－1，2)在直線ax－by＋2＝0上，所以－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(a＋2b)·eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)eq\f(2b,a)＋eq\f(a,b)≥eq\f(3,2)＋eq\r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b,a)＝eq\f(a,b)時(shí)等號(hào)成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為eq\f(3,2)＋eq\r(2)，故選D．15．(2025屆贛中南五校4月聯(lián)考)已知直線y＝x＋m和圓x2＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，則實(shí)數(shù)m＝()A．±1 B．±eq\f(\r(3),2)C．±eq\f(\r(2),2) D．±eq\f(1,2)解析：選C由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,x2＋y2＝1))得2x2＋2mx＋m2－1＝0，由題意可知Δ＝4m2－8(m2－1)>0，解得－eq\r(2)<m<eq\r(2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－m，x1x2＝eq\f(m2－1,2)，所以y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝eq\f(m2－1,2).因?yàn)閑q\o(AO,\s\up6(→))＝(－x1，－y1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，所以－x1(x2－x1)－y1(y2－y1)＝eq\f(3,2)，即－