2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 第1課時(shí) 兩角和與差的正弦、余弦公式（教師用書(shū)）教案 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變換3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.1.2第1課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦公式（教師用書(shū)）教案新人教A版必修4課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、課程基本信息1.課程名稱：兩角和與差的正弦、余弦公式

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高中數(shù)學(xué)，一年級(jí)，1班

3.授課時(shí)間：2024年10月10日

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：45分鐘

二、教學(xué)目標(biāo)

1.了解兩角和與差的正弦、余弦公式的概念和應(yīng)用。

2.能夠運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)計(jì)算。

3.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決問(wèn)題的能力。

三、教學(xué)內(nèi)容

1.引入：通過(guò)復(fù)習(xí)初中階段學(xué)過(guò)的兩角和與差的三角函數(shù)公式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.新課講解：詳細(xì)講解兩角和與差的正弦、余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用方法。

3.例題講解：分析并解答幾個(gè)典型例題，讓學(xué)生理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦公式的運(yùn)用。

4.練習(xí)與討論：學(xué)生進(jìn)行練習(xí)題的計(jì)算，教師巡回指導(dǎo)，解答學(xué)生的問(wèn)題。

5.總結(jié)與反思：回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生總結(jié)兩角和與差的正弦、余弦公式的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

四、教學(xué)方法

1.采用啟發(fā)式教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考和探索。

2.運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)，展示公式的推導(dǎo)過(guò)程和實(shí)例應(yīng)用。

3.通過(guò)小組討論和合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

五、教學(xué)評(píng)價(jià)

1.課堂練習(xí)題的完成情況。

2.學(xué)生對(duì)兩角和與差的正弦、余弦公式的理解和運(yùn)用能力。

3.學(xué)生對(duì)課堂內(nèi)容的反饋和評(píng)價(jià)。

六、教學(xué)資源

1.教材：《新人教A版必修4》

2.多媒體課件

3.練習(xí)題和答案二、核心素養(yǎng)目標(biāo)1.邏輯推理：通過(guò)講解兩角和與差的正弦、余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使其能夠理解并運(yùn)用這些公式。

2.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)例題講解和練習(xí)題的計(jì)算，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦公式解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

3.直觀想象：通過(guò)多媒體課件的展示和教師的圖示講解，幫助學(xué)生直觀地理解兩角和與差的正弦、余弦公式的意義和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過(guò)課堂練習(xí)和討論，提高學(xué)生運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。三、學(xué)情分析考慮到我所教授的高中一年級(jí)數(shù)學(xué)班級(jí)，學(xué)生在經(jīng)歷了初中階段對(duì)三角函數(shù)的初步學(xué)習(xí)后，對(duì)三角函數(shù)的概念和性質(zhì)已有一定了解。他們具備一定的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，但可能在解決抽象的三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)仍存在困難。

在學(xué)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦公式之前，學(xué)生需要掌握初中階段學(xué)過(guò)的三角函數(shù)基本概念和性質(zhì)，以及基本的代數(shù)運(yùn)算技巧。他們?cè)谥R(shí)層面上需要能夠順利過(guò)渡到高中階段的三角函數(shù)學(xué)習(xí)，并能夠理解較為抽象的三角函數(shù)公式。

在能力層面上，學(xué)生需要培養(yǎng)較強(qiáng)的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。他們需要能夠?qū)⑺鶎W(xué)的三角函數(shù)公式應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，并能夠通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算得出正確的結(jié)果。

在素質(zhì)方面，學(xué)生需要具備良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和動(dòng)機(jī)將對(duì)他們的學(xué)習(xí)效果產(chǎn)生重要影響。此外，學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和交流表達(dá)能力也需要在課堂上得到培養(yǎng)。

針對(duì)學(xué)生的不同層次和需求，我將采用啟發(fā)式教學(xué)法和小組討論教學(xué)方法，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。同時(shí)，我將關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和態(tài)度，通過(guò)鼓勵(lì)和指導(dǎo)，幫助他們建立起積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度，為他們的未來(lái)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。四、教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法：針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，我選擇采用講授法和互動(dòng)式教學(xué)法。通過(guò)教師的講解，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握兩角和與差的正弦、余弦公式；通過(guò)課堂上的提問(wèn)和討論，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考和探索，提高他們的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。

2.教學(xué)活動(dòng)：設(shè)計(jì)一些具體的教學(xué)活動(dòng)，如小組討論、例題分析和練習(xí)題計(jì)算等，以促進(jìn)學(xué)生參與和互動(dòng)。例如，在講解兩角和與差的正弦、余弦公式時(shí)，可以讓學(xué)生分組進(jìn)行討論，分享各自的解題方法和思路，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和交流表達(dá)能力。

3.教學(xué)媒體：為了增強(qiáng)課堂教學(xué)的趣味性和直觀性，我將使用多媒體課件進(jìn)行輔助教學(xué)。通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示和圖示講解，幫助學(xué)生直觀地理解兩角和與差的正弦、余弦公式的意義和應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和直觀想象力。同時(shí)，利用多媒體課件展示典型例題和練習(xí)題，方便學(xué)生跟隨課堂進(jìn)度進(jìn)行學(xué)習(xí)和練習(xí)。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)兩角和與差的正弦、余弦公式的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過(guò)程：

開(kāi)場(chǎng)提問(wèn)：“你們知道兩角和與差的正弦、余弦公式是什么嗎？它們?cè)谌呛瘮?shù)中有什么重要意義？”

展示一些與兩角和與差的正弦、余弦公式相關(guān)的圖片或視頻片段，讓學(xué)生初步感受它們?cè)跀?shù)學(xué)中的魅力。

簡(jiǎn)短介紹兩角和與差的正弦、余弦公式的基本概念和重要性，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.兩角和與差的正弦、余弦公式基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解兩角和與差的正弦、余弦公式的基本概念、組成部分和推導(dǎo)過(guò)程。

過(guò)程：

講解兩角和與差的正弦、余弦公式的定義，包括其主要組成元素或結(jié)構(gòu)。

詳細(xì)介紹兩角和與差的正弦、余弦公式的組成部分或功能，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.兩角和與差的正弦、余弦公式案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過(guò)具體案例，讓學(xué)生深入了解兩角和與差的正弦、余弦公式的特性和重要性。

過(guò)程：

選擇幾個(gè)典型的兩角和與差的正弦、余弦公式案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解兩角和與差的正弦、余弦公式的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對(duì)實(shí)際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用兩角和與差的正弦、余弦公式解決實(shí)際問(wèn)題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問(wèn)題的能力。

過(guò)程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與兩角和與差的正弦、余弦公式相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)兩角和與差的正弦、余弦公式的認(rèn)識(shí)和理解。

過(guò)程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問(wèn)和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)兩角和與差的正弦、余弦公式的重要性和意義。

過(guò)程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括兩角和與差的正弦、余弦公式的基本概念、組成部分、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)兩角和與差的正弦、余弦公式在現(xiàn)實(shí)生活或?qū)W習(xí)中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用兩角和與差的正弦、余弦公式。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫(xiě)一篇關(guān)于兩角和與差的正弦、余弦公式的短文或報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。六、拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

《數(shù)學(xué)年鑒》：提供數(shù)學(xué)領(lǐng)域最新的研究進(jìn)展和成果，讓學(xué)生了解兩角和與差的正弦、余弦公式在數(shù)學(xué)研究中的應(yīng)用和最新發(fā)展。

《三角函數(shù)的應(yīng)用》：介紹三角函數(shù)在工程、物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用案例，讓學(xué)生了解兩角和與差的正弦、余弦公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

探索兩角和與差的正弦、余弦公式的證明過(guò)程：鼓勵(lì)學(xué)生查閱數(shù)學(xué)文獻(xiàn)或在線資源，深入了解兩角和與差的正弦、余弦公式的證明過(guò)程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和研究能力。

研究其他類型的兩角和與差公式：學(xué)生可以自主學(xué)習(xí)其他類型的兩角和與差公式，如正切公式等，并嘗試運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題的能力。

參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽或課題研究：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或課題研究，讓學(xué)生在實(shí)踐中應(yīng)用兩角和與差的正弦、余弦公式，提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力和創(chuàng)新思維。

進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或項(xiàng)目：學(xué)生可以結(jié)合物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)等學(xué)科，進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或項(xiàng)目，運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦公式解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。七、教學(xué)反思與改進(jìn)今天上完《兩角和與差的正弦、余弦公式》這一課時(shí)，我感到有些地方教學(xué)效果還不錯(cuò)，但也有需要改進(jìn)的地方。

首先，我覺(jué)得課堂導(dǎo)入部分的效果比較好。通過(guò)提問(wèn)和展示相關(guān)圖片，成功引起了學(xué)生的興趣。但我注意到在展示圖片時(shí)，可以增加一些與學(xué)生生活相關(guān)的例子，讓學(xué)生更加直觀地感受到兩角和與差的正弦、余弦公式的實(shí)際應(yīng)用。

其次，在基礎(chǔ)知識(shí)講解部分，我詳細(xì)介紹了兩角和與差的正弦、余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程和組成部分。但反思起來(lái)，我可以更加注重學(xué)生的參與和互動(dòng)。例如，在講解推導(dǎo)過(guò)程時(shí)，我可以邀請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)演示，或者讓學(xué)生分組討論，共同推導(dǎo)出公式。這樣既能提高學(xué)生的參與度，也能加深他們對(duì)知識(shí)的理解。

在案例分析部分，我選擇了幾個(gè)典型的案例進(jìn)行講解。但后來(lái)我想，我可以讓學(xué)生自己嘗試分析更多案例，培養(yǎng)他們的獨(dú)立思考能力。我可以設(shè)計(jì)一些練習(xí)題，讓學(xué)生分組討論，然后向全班展示他們的分析結(jié)果。

對(duì)于小組討論環(huán)節(jié)，我覺(jué)得學(xué)生的參與度很高，他們積極地討論了兩角和與差的正弦、余弦公式的應(yīng)用。但我也注意到，有些小組的討論成果沒(méi)有得到充分的展示。下次，我可以適當(dāng)延長(zhǎng)展示時(shí)間，讓更多小組有機(jī)會(huì)分享他們的想法。

在課堂展示與點(diǎn)評(píng)環(huán)節(jié)，我鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己的觀點(diǎn)，并進(jìn)行互動(dòng)交流。但反思起來(lái)，我可以更加注重對(duì)學(xué)生的反饋和點(diǎn)評(píng)。在學(xué)生提問(wèn)和點(diǎn)評(píng)時(shí)，我可以更加深入地引導(dǎo)他們思考，幫助他們理解和掌握知識(shí)。

最后，在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，我簡(jiǎn)要回顧了本節(jié)課的主要內(nèi)容。但我覺(jué)得我可以更加注重對(duì)學(xué)生的啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生自己總結(jié)出兩角和與差的正弦、余弦公式的重要性和意義。八、內(nèi)容邏輯關(guān)系-公式定義：正弦、余弦函數(shù)的基本關(guān)系式

-公式組成部分：兩個(gè)角的正弦、余弦值及其和或差

-公式推導(dǎo)過(guò)程：利用三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性進(jìn)行推導(dǎo)

2.兩角和與差的正弦、余弦公式的應(yīng)用

-實(shí)際應(yīng)用：在工程、物理等領(lǐng)域中的應(yīng)用案例

-解題技巧：如何運(yùn)用公式解決實(shí)際問(wèn)題

-注意事項(xiàng)：在應(yīng)用公式時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題和常見(jiàn)錯(cuò)誤

3.兩角和與差的正弦、余弦公式的拓展

-公式推廣：兩角和與差的正切公式

-應(yīng)用拓展：在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用案例

-解題方法：如何將公式應(yīng)用于更復(fù)雜的問(wèn)題

板書(shū)設(shè)計(jì)：

1.兩角和與差的正弦、余弦公式基礎(chǔ)知識(shí)

-公式定義

-公式組成部分

-公式推導(dǎo)過(guò)程

2.兩角和與差的正弦、余弦公式的應(yīng)用

-實(shí)際應(yīng)用案例

-解題技巧

-注意事項(xiàng)

3.兩角和與差的正弦、余弦公式的拓展

-公式推廣

-應(yīng)用拓展

-解題方法教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：學(xué)生對(duì)兩角和與差的正弦、余弦公式的基本概念和組成部分的理解程度較好，但在推導(dǎo)過(guò)程的理解上存在一些困難。教師應(yīng)加強(qiáng)引導(dǎo)和解釋，幫助學(xué)生更好地理解公式的推導(dǎo)過(guò)程。

2.小組討論成果展示：學(xué)生在小組討論中積極分享自己的想法和觀點(diǎn)，但部分小組在分析和解決問(wèn)題時(shí)缺乏深入思考。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生提出更多創(chuàng)新性的想法和解決方案，并給予積極的反饋和指導(dǎo)。

3.隨堂測(cè)試：學(xué)生在隨堂測(cè)試中表現(xiàn)良好，能夠運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦公式解決實(shí)際問(wèn)題。但仍有部分學(xué)生在公式的應(yīng)用上存在一些錯(cuò)誤。教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行詳細(xì)的講解和糾正，幫助學(xué)生更好地掌握公式的應(yīng)用。

4.作業(yè)完成情況：學(xué)生在完成課后作業(yè)時(shí)表現(xiàn)積極，能夠獨(dú)立完成題目。但部分學(xué)生的解題思路不清晰，需要教師進(jìn)一步指導(dǎo)和幫助。教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行詳細(xì)的批改和反饋，幫助學(xué)生提高解題能力和思維水平。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)和反饋，指出學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)和不足。針對(duì)學(xué)生的不足，教師應(yīng)提供具體的改進(jìn)建議和指導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)效果。同時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論和練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和解決問(wèn)題的能力。重點(diǎn)題型整理1.兩角和與差的正弦、余弦公式的推導(dǎo)

-題目：已知兩個(gè)角α和β，求它們的和與差的正弦、余弦值。

-解題思路：利用三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，通過(guò)代數(shù)變換推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦公式。

-答案：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

2.兩角和與差的正弦、余弦公式的應(yīng)用

-題目：已知一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的度數(shù)，求第三個(gè)角的度數(shù)。

-解題思路：利用兩角和與差的正弦、余弦公式，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，求解第三個(gè)角的度數(shù)。

-答案：設(shè)兩個(gè)銳角分別為α和β，第三個(gè)角為γ，則γ=180°-α-β

3.兩角和與差的正弦、余弦公式的拓展

-題目：已知一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，求其內(nèi)切圓半徑r。

-解題思路：利用兩角和與差的正弦、余弦公式，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，求解內(nèi)切圓半徑r。

-答案：r=a/(2√3)

4.兩角和與差的正弦、余弦公式的綜合應(yīng)用

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