2024年黑龍江高考數(shù)學(xué)試題及答案

2024年黑龍江高考數(shù)學(xué)試題及答案

本試卷共10頁，19小題，滿分150分.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)

考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫

在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知z=-l—i,則|z|=（）

A.0B.1C.72D.2

2.已知命題p：\/xGR,|JC+1|>1；命題g：3x>0,x3=x>貝！I（）

A.p和q都是真命題B.T7和。都是真命題

C.p和都是真命題D.r7和都是真命題

3.已知向量a,6滿足M=l,卜+20=2,且（6-2a）1.6,則||=（）

A.|B.立C.BD.1

222

4.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量

（單位：kg）并部分整理下表

畝產(chǎn)

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

量

頻數(shù)612182410

據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

c.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

5.已知曲線Gx2+y2=16(y>0),從C上任意一點(diǎn)尸向x軸作垂線段PP,P為垂足,

則線段PP'的中點(diǎn)〃的軌跡方程為()

22

A.—+^=1(y>0)B.Ul(y>0)

164168

2222

C.匕+土=1(y>0)D.^+―=1(>>0)

164168

6.設(shè)函數(shù)/(x)=a(x+l)2-l,g(x)=cos;v+2av,當(dāng)時(shí)，曲線y=/(x)與y=g(x)

恰有一個(gè)交點(diǎn)，則。=()

A.-1B.：C.1D.2

7.已知正三棱臺(tái)ABC-的體積5為2:，AB=6,44=2,則A1A與平面/6C所成角

的正切值為()

A.1B.1C.2D.3

8.設(shè)函數(shù)“無)=(x+a)ln(尤+6),若〃x)NO,則/+〃的最小值為()

A.—B.—C.-D.1

842

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

7T

9.對于函數(shù)/(x)=sin2x和g(x)=sin(2尤一;)，下列正確的有()

A.f(x)與g(x)有相同零點(diǎn)B.Ax)與g(x)有相同最大值

C./(元)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖像有相同的對稱軸

10.拋物線ay2=4尤的準(zhǔn)線為戶為C上的動(dòng)點(diǎn)，過戶作OA:/+(y-4)2=l的一條切

線，。為切點(diǎn)，過戶作/的垂線，垂足為氏則()

A.1與,A相切

B.當(dāng)只A,方三點(diǎn)共線時(shí)，|尸。|=&？

C.當(dāng)|9|=2時(shí)，PA±AB

D.滿足I尸A|=|尸的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)

11.設(shè)函數(shù)/(x-3辦2+1,則(

A.當(dāng)。＞1時(shí)，/(x)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)。＜0時(shí)，尤=0是/⑺的極大值點(diǎn)

C.存在a,b,使得x=b為曲線＞=/(尤)的對稱軸

D.存在a,使得點(diǎn)⑴)為曲線y=/(x)的對稱中心

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.記S”為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，若。3+。4=7,3〃2+〃5=5,貝.

13.已知。為第一象限角，僅為第三象限角，tana+tan尸=4,tanatan分=夜+1,則

sin(6z+/3)=.

14.在如圖的4X4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有.

種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記jABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+A/^COSA=2.

⑴求4

(2)若。=2,、&sinC=csin25，求ABC的周長.

16.已知函數(shù)/(x)=e*-ax-/.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)若/(X)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

17.如圖，平面四邊形/閱9中，AB=8,CD=3,AD=56,ZA￡)C=90°,ABAD=30°,

2i

點(diǎn)￡,戶滿足AE=§AD,AF=-AB,將△4￡尸沿歷'對折至！尸所，使得PC=4jL

p

Bc

(1)證明：EF±PD；

(2)求面尸切與面慚所成的二面角的正弦值.

18.某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段

由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成員為0分；若至少

投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中

得0分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每

次投中的概率為D乙每次投中的概率為G各次投中與否相互獨(dú)立.

(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概

率.

⑵假設(shè)。＜。＜4，

(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

(ii)為使得甲、乙，所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

19.已知雙曲線C：f—丁=〃?(祖＞0),點(diǎn)田5,4)在C上，上為常數(shù)，0＜左＜1.按照如下

方式依次構(gòu)造點(diǎn)P,.("=2,3,...),過匕作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)21，令％為2-

關(guān)于＞軸的對稱點(diǎn)，記匕的坐標(biāo)為(七,％).

(1)若A=—,求馬,丫2；

(2)證明：數(shù)歹!]｛七-％｝是公比為界的等比數(shù)列；

⑶設(shè)S,為?匕乙￡+2的面積，證明：對任意的正整數(shù)",S?=Sn+1.

1.c

【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.

【詳解】若Z=T—i,則|z|=J(-l)2+(-l)2=0.

故選：C.

2.B

【分析】對于兩個(gè)命題而言，可分別取戶-1、x=l,再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即

可得解.

【詳解】對于。而言，取x=-l,則有卜+1|=0<1,故。是假命題，力是真命題，

對于4而言，取x=l,則有X3=F=]=X,故q是真命題，F(xiàn)是假命題，

綜上，M和q都是真命題.

故選：B.

3.B

【分析】由(。-2a)_l_Z?得/=2°./,,結(jié)合卜卜1,卜+26卜2,得1+4“2+4片=1+6片=4，

由此即可得解.

【詳解】因?yàn)?6-2a)，b,所以僅-2a).b=0,即片=23%，

又因?yàn)殁?1,卜+2*2,

所以1+4。包+47=1+67=4>

從而慟=乎.

故選：B.

4.C

【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；

根據(jù)極差計(jì)算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比1為00$-034=66%,故B錯(cuò)誤；

對于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確;

對于D,由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在[1050,11。。)的頻數(shù)為100-(6+12+18+24+10)=30,

所以平均值為,*(6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175)=1067,故D

100

錯(cuò)誤.

故選；C.

5.A

【分析】設(shè)點(diǎn)由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得產(chǎn)(%，2y),代入圓的方程即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)"(羽y),則尸(羽％),尸'(龍,0),

因?yàn)镸為尸P的中點(diǎn)，所以為=2%即尸(%,2y),

又尸在圓f+y2=i6(y>0)上，

―丫22

所以爐+4y2=16(y>0),即——+——=l(y>0),

164

即點(diǎn)M的軌跡方程為《+1=l(y>0).

164

故選：A

6.D

【分析】解法一：令F(x)=ox2+a_i,G(x)=cosx,分析可知曲線y=尸3與y=G(x)恰有

一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得a=2,并代入檢驗(yàn)即可;

解法二：令〃(x)=/(x)-g(x),xe(-l,l),可知〃(x)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可

知網(wǎng)力的零點(diǎn)只能為0,即可得。=2,并代入檢驗(yàn)即可.

【詳解】解法一：令/(x)=g(x),即a(x+l)2-l=cosx+2ar,可得加+._]=cosx,

令戶(無)=/+A-1,G(x)=cosx,

原題意等價(jià)于當(dāng)xe(-1,1)時(shí)，曲線V=F(x)與y=G(X)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

注意到尸(x),G(x)均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，

可得"0)=G(0),即“一1=1,解得。=2,

若a=2,令,(x)=G(x),可得2f+l—cosx=0

因?yàn)樨恖U/NOJ—cosxNO,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號成立，

可得2f+l-cosx20,當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時(shí)，等號成立,

則方程2/+1_cosX=0有且僅有一個(gè)實(shí)根0,即曲線y="%)與尸G(X)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

所以〃=2符合題意；

綜上所述：a=2.

解法二：令/z(x)=/(X)-g(x)=<2X2+<2-1-COSX,XG(-1,1),

原題意等價(jià)于h(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

2

因?yàn)椤?一力=〃(—I?+々_1_cos(—x)=ax+a—1—cosx=/z(x),

則MH為偶函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知Mx)的零點(diǎn)只能為o,

即/z(0)=a-2=。，解得〃=2,

若a=2,則力(x)=2x2+1-cosx,xe(-1,1),

又因?yàn)?/20,1-cosxNO當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號成立，

可得/i(x"0,當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)，等號成立，

即M工)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0,所以〃=2符合題意；

故選：D.

7.B

【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高/7=延，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)

3

的結(jié)構(gòu)特征求得AM=述，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)

3

ABC-ASG補(bǔ)成正三棱錐尸-ABC，AA與平面所成角即為上4與平面46c所成角，

根據(jù)比例關(guān)系可得K*c=18,進(jìn)而可求正三棱錐尸-AFC的高，即可得結(jié)果.

【詳解】解法一：分別取BC，4G的中點(diǎn)DQ,則">=364。=百，

可知5.=^6'6'￥=9"5配口=三2'石=石,

設(shè)正三棱臺(tái)ABC-A4G的為"

則％C.AB,C,=g(9退+6+后反耳卜=”，解得〃=苧，

如圖，分別過A，2作底面垂線，垂足為M,N,設(shè)A〃=x,

結(jié)合等腰梯形BCGBI可得BB；=+DD；,

即d+?=（2癢x『+?+4,解得了=孚，

所以$A與平面/玄所成角的正切值為tan?AAD翳=1；

解法二：將正三棱臺(tái)ABC-44G補(bǔ)成正三棱錐P-ABC，

則AA與平面力及;所成角即為R4與平面力及?所成角,

2L=.=!則上皿=J_

PAAB3，板27

2652

可知匕BC-AB1G=Vp-ABC=丁，則Vp—ABC=18，

設(shè)正三棱錐尸―ABC的高為d,貝!JVp_A5c=；dx；x6x6x^^=18,解得d=2V§\

取底面力回的中心為。，則P01底面/比；且49=2石，

PO

所以B4與平面/比所成角的正切值tanZPAO=—=1.

AO

故選：B.

8.C

【分析】解法一：由題意可知：八%）的定義域?yàn)椋?4也），分類討論-。與-》,1-6的大小關(guān)

系，結(jié)合符號分析判斷，即可得人=，+1,代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分

析ln（x+〃）的符號，進(jìn)而可得％的符號，即可得人=〃+1,代入可得最值.

【詳解】解法一：由題意可知：人九）的定義域?yàn)椋?瓦內(nèi)），

令無+a=0解得工=一。；令ln（x+〃）=0解得元=1—b；

若一々＜一/?,當(dāng)％￡（—瓦1一萬）時(shí)，可知九+a＞0,ln（x+Z?）＜0,

此時(shí)/（幻＜。，不合題意；

若一當(dāng)％￡（—。,1一人）時(shí)，可知x+a＞0/n（x+6）＜0,

此時(shí)/（x）V。，不合題意；

若一〃二1一人，當(dāng)兀￡（-"1一/?）時(shí)，可知x+av0,ln（x+5）＜0,止匕時(shí)/（%）＞0；

當(dāng)工￡[1—瓦+0。）時(shí)，可知無+aN0,ln（x+5）N0,止匕時(shí)/（x）20；

可知若-。=1-），符合題意；

若一々＞1—5,當(dāng)％￡（1—/?,一.）時(shí)，可知x+avO,ln（無+Z?）＞0,

此時(shí)了（%）＜0,不合題意；

綜上所述：-a=l-b,即b=〃+l,

則/+爐=/+（.+1）2=2（0+!1+工大工，當(dāng)且僅當(dāng)4=一1,6=1時(shí)，等號成立，

'，I2）2222

所以/+〃的最小值為g；

解法二：由題意可知：Ax）的定義域?yàn)椋?6,內(nèi)），

令x+a=0解得了=—。；令ln（x+人）=0解得x=l—/?；

貝!J當(dāng)無￡（—。,1一/?）時(shí)，In（無+，）＜0,故九+100,所以1一人+々＜0；

%￡（1—"y）時(shí)，ln（x+&）＞0,故X+aNO,所以1一/?+〃之0；

故1一/?+〃=0,則/+/=々2+（〃+]）?=2[4+；1

當(dāng)且僅當(dāng)。=-;,6=g時(shí)，等號成立，

所以/+〃的最小值為

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求x+a=O、3尤+加=0的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較

大小分類討論，結(jié)合符號性分析判斷.

9.BC

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】A選項(xiàng)，令/(x)=sin2元=0,解得x=eZ,即為/(元)零點(diǎn)，

令g(x)=sin(2無一:)=0,解得無="+g?eZ,即為g(x)零點(diǎn)，

428

顯然〃x),g(x)零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，顯然/(%)max=g(%)max=1，B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，”x),g(x)的周期均為m=兀，C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)AM的對稱軸滿足2%=加+50尤="+。"，

g(無)的對稱軸滿足2尤一;=fat+1ox=W+七,％eZ,

422X

顯然/(x)，g。)圖像的對稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

10.ABD

【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為x=-l,根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，P,A,B三

點(diǎn)共線時(shí)，先求出尸的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長；C選項(xiàng)，根據(jù)歸到=2先算出尸的坐標(biāo)，然后

驗(yàn)證七T是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，|PB|=|PF|,于是問題轉(zhuǎn)化成

|以|=|尸耳的尸點(diǎn)的存在性問題，此時(shí)考察AF的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直

接設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.

【詳解】A選項(xiàng)，拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為尸-1,

A的圓心(。，4)到直線尸-1的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準(zhǔn)線/和A相切，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，P,A5三點(diǎn)共線時(shí)，即尸A_L/,則P的縱坐標(biāo)力=4,

由城=44，得到彳=4,故尸(4,4),

此時(shí)切線長|尸°|=，喇-產(chǎn)=V42-12=后，B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，當(dāng)|尸到=2時(shí)，xp=lf此時(shí)獷=4巧,=4,故尸(1,2)或尸(1,-2),

4—74—2

當(dāng)尸(1,2)時(shí)，4(0,4),3(-1,2),k=--=-l,k=---=2,

PA0—1AB0—(—1)

不滿足勺次w=-1；

當(dāng)P(l,-2)時(shí)，A(0,4),B(-l,2),%=4二(12)=_6,%=：??？=6,

0—10—(—1)

不滿足3AB=T;

于是上4JLAB不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化

根據(jù)拋物線的定義，|冏=|尸耳,這里WL。）,

于是|朋=|即時(shí)P點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成|融=|PF|時(shí)p點(diǎn)的存在性問題,

4(0,4),/(1,0),.中點(diǎn)(g,211

,AF中垂線的斜率為一廠=了,

kAF4

于是針的中垂線方程為：>=21”，與拋物線y=以聯(lián)立可得y2T6y+30=0,

8

A=162-4X30=136>0,即AF的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),

即存在兩個(gè)尸點(diǎn)，使得|刑|=|尸產(chǎn)|,D選項(xiàng)正確.

方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）

產(chǎn)2、

設(shè)尸,由尸3，/可得3（-M）,又40,4）,又|即=歸卻，

\'7

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,1—+(r-4)2=—+1,整理得〃-16/+30=0,

164

A=162-4X30=136>0,則關(guān)于f的方程有兩個(gè)解,

即存在兩個(gè)這樣的P點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

11.AD

【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為x=O,x=",根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號判斷

出Ax)在(T0),(0,。),32a)上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進(jìn)行分

析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的凡匕，使得x=b為了(尤)的對稱軸，則/(》)=/(26-尤)為恒等式,

據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的。，使得(1,3-3。)為f(x)的對稱中心，貝I]

f{x}+f(2-x)=6-6a,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.

【詳解】A選項(xiàng)，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,

故xe(-8,0)u(a，+00)時(shí)/(尤)>0，故f(x)在0),(fl,+a?)上單調(diào)遞增，

xe(0,a)時(shí)，fr(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

則/⑺在x=0處取到極大值，在％。處取到極小值，

3

由/(0)=1>0,f(a)=l-a<0,則/W⑷<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理在(0,?)上有一個(gè)零點(diǎn)，

X/(-l)=-l-3?<0,f(2a)=4a3+l>0,則/(-1)/(0)<0,7W(2a)<0,

則/(X)在(-1,0),(a,2a)上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是a>1時(shí)，了⑴有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，fr(x)=6x(x-a),°<0時(shí)，xe(a,0),/,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

xe(0,+oo)時(shí)f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

此時(shí)/(幻在尤=0處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的使得x=b為AM的對稱軸，

即存在這樣的。力使得/(x)=fQb-x),

即2%3-3以2+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+l,

根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊(2。-刈3展開式含有V的項(xiàng)為2C；(26)°(-無丫=-2尤3,

于是等式左右兩邊V的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的。,6,使得x=b為的對稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，

方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡

/(1)=3-3?,若存在這樣的。，使得(1,3-30為了(X)的對稱中心，

則/(x)+/(2-x)=6-6a,事實(shí)上，

/(x)+/(2-x)=2%3-3ax2+1+2(2-%)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)%+18-12a,

于是6-6。=(12-6。)/+(12。-24)尤+18-12。

12—6。=0

即12〃-24=0,解得〃=2,即存在〃=2使得(1"⑴)是/⑺的對稱中心，D選項(xiàng)正確.

18-12〃=6—6a

方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，

322

/(x)=2x-3ax+1,f\x)=6x-6ax,=12x-6a9

由r(x)=o^x=|,于是該三次函數(shù)的對稱中心為,

由題意(1"⑴)也是對稱中心，故?|=loa=2,

即存在a=2使得(L/⑴)是/(x)的對稱中心，D選項(xiàng)正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)/(%)的對稱軸為％=》o/(x)=/(2b-x)；(2),3關(guān)于(a㈤對稱

0/(%)+/(2〃-%)=2人；(3)任何三次函數(shù)+B+d都有對稱中心，對稱中

心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)是/〃(無)=。的解，即1是三次函數(shù)

的對稱中心

12.95

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出q5,再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即

可得到答案.

2d+q+3d=7q=—4

【詳解】因?yàn)閿?shù)列%為等差數(shù)列，則由題意得+t/)+3+4〃=5'解得

d=3

10x9

貝USi。=10q+d=10x(-4)+45x3=95.

2

故答案為：95.

13.

3

【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得tan(a+月)=-20,再縮小a+力的范圍，最

后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

tan<7+tan4

【詳解】法一：由題意得tan("+￡)==-2A/2

l-tancztan^1—(行+1)

因?yàn)閍w]2fai,2fai+：■卜夕w12mji+兀,2mji+$3兀J，k,meZ,

2

貝l]a+2￡((2〃t+2左)兀+兀,(2機(jī)+2女)兀+2兀),k、meZ,

又因?yàn)閠an(a+0=-20<0,

則a+4￡](2加+2左)兀+],(2m+2%)兀+2兀),

k,rneZ,則sin(cr+/?)<0,

則=-20,聯(lián)立sin2(?+^)+cos2(?+/?)=!,解得sin(a+4)=2A/2

F

法二：因?yàn)?。為第一象限角，△為第三象限角，貝ijcose>0,cos￡<0,

cosa1cos/?-1

cosa=/=.=cosp=/

Vsin26/4-cos2avl+tan2a^/sin2；0+cos2y0^/1+tan2P

貝Usin(a+6)=sinacos/?+cosasin)3=cosacos刀(tana+tan￡)

2A/2

=4cosacos/3=/—/=~=/=—i-------

Vl+tan2+tan2)3^/(tana+tan/?)2+(tan<7tan-1)2v42+

故答案為：一孚

14.24112

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫出

所有的可能結(jié)果，即可求解.

【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中,

則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，

第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為Gd),瓦c,d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個(gè)數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方

格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.

7T

15.⑴4

6

(2)2+#+3近

【分析】(1)根據(jù)輔助角公式對條件sinA+若cosA=2進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法

還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決;

(2)先根據(jù)正弦定理邊角互化算出8,然后根據(jù)正弦定理算出瓦。即可得出周長.

【詳解】(1)方法一：常規(guī)方法(輔助角公式)

由sinA+后cosA=2可得』sinA+cosA=1,即sin(A+—)=1,

223

,十.,,71.714/C.,.71兀._,.7C

由于A￡(0,兀)=>A+彳￡(彳,二)，^A+—=—,解得A=：

33332o

方法二：常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)

由sinA+A/^COSA=2,又sin?A+cos2A=1,消去sinA得到：

2

4cosA-4百cosA+3=0o(2cosA-正產(chǎn)=0,解得COsA=—,

2

TT

又Aw(0,兀)，故A二:

方法三：利用極值點(diǎn)求解

設(shè)/(x)=sinx+6cosx(0<x<K),貝|/(x)=2sin[x+三卜0<x<兀)，

顯然x時(shí)，/(x)max=2,注意到/(A)=sinA+gcosA=2=2sin(A+：),

/(初皿二八冷，在開區(qū)間Q兀)上取到最大值，于是X=A必定是極值點(diǎn)，

BPA)=0=cosA-73sinA,即tanA=等，

又Ae(0,7i),故A=?

6

方法四：利用向量數(shù)量積公式(柯西不等式)

設(shè)。二(1，代),b=(sinA,cosA),由題意，a-b=sinA+^3cosA=2,

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，Q力=|磯。際<〃,可=2cos(a,b),

則2cosa,b=2u>cosa/=1,此時(shí)2,5=0,即。力同向共線，

根據(jù)向量共線條件，LeosA=石?sinAotanA=，

3

TT

又Ae(0,7t),故A=?

6

方法五：利用萬能公式求解

設(shè)'=tang,根據(jù)萬能公式，sinA+石cosA=2=2t[+也Q：),

整理可得，〃一2(2-道)f+(2-百y=0=?-(2-A))?,

解得tang=r=2-6，根據(jù)二倍角公式，tanA=*=走，

21一〃3

TT

又Aw(0,兀)，故A

6

(2)由題設(shè)條件和正弦定理

yj2bsinC=csinIB0夜sin5sinC=2sinCsinBcosB，

又民CeQii),貝”inBsinCwO,進(jìn)而cosB=也，得到8=色，

24

7兀

于是C=7c—A—3=—,

12

sinC=sin(兀-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=立+"，

4

2_b_c

由正弦定理可得，仁=工=*,即F=—

sinAsinBsinCsin—sin—sin——

6412

解得b=2^2,c=A/6+^2,

故—ABC的周長為2+幾+30

16.(1)(e-l)x-y-l=O

⑵。,+8)

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)解法一：求導(dǎo)，分析aW0和a>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得

a2+lna-l>0,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可;解法二:求導(dǎo),可知/'(x)=e*-a有零點(diǎn)，可得a>0,

進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求/'(X)的單調(diào)性和極值，分析可得合+1!14-1>0,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，貝！|/(尤)=e*-x-l,=e%-1,

可得八l)=e-2,r(l)=e-l,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(l,e-2),切線斜率/=e-l,

所以切線方程為y-(e-2)=(e-l)(x-l),即(e-l)x—y—1=0.

(2)解法一：因?yàn)?(無)的定義域?yàn)镽,且尸(x)=e-a,

若aWO,則廣(x)?0對任意xeR恒成立，

可知人幻在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/''(x)<0,解得x<lna；

可知/(X)在(TO,In。)內(nèi)單調(diào)遞減，在(in4,十》)內(nèi)單調(diào)遞增，

則/(x)有極小值〃lna)=4-alna-a3,無極大值，

由題意可得:f(lna)=a-alna-a3<0,Bpa2+lna-l>0,

構(gòu)建g(a)=〃+lno-l,a>0,貝ijg，(a)=2a+』>0,

可知g⑷在(0,+e)內(nèi)單調(diào)遞增，且g(1)=0,

2

不等式a+lna-l>0等價(jià)于g⑷>g(1),解得“>1,

所以a的取值范圍為(1,+co)；

解法二：因?yàn)槎Φ亩x域?yàn)镽,且尸(尤)=e'-a,

若fM有極小值，則f'(x)=ex-a有零點(diǎn)，

令/'(x)=e"=。,可得e*=a,

可知y=e'與y有交點(diǎn)，則a>0,

若a>0,令/(幻>0,解得尤>lna；令/(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-co,lna)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ina,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增，

則/(x)有極小值〃lna)=a—alna-a)無極大值，符合題意，

由題意可得：f[\na)=a-a\na-a3<0,即4+1114-1>0,

構(gòu)建g(a)="+lna-l,a>0,

因?yàn)閯ty=",y=lna-l在(0,+ao)內(nèi)單調(diào)遞增,

可知g(a)在(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞增，￡.§(1)=0,

不等式a2+lna-l>0等價(jià)于g(a)>g⑴,解得

所以a的取值范圍為(1,包).

17.(1)證明見解析

⑵8病

65

【分析】(1)由題意，根據(jù)余弦定理求得EF=2,利用勾股定理的逆定理可證得所24),

則EF±PE,EFLDE,結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；

(2)由(1),根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明建立如圖空間直角坐標(biāo)系

E-xyz,利用空間向量法求解面面角即可.

【詳解】(1)由AB=8,AD=5小,4E=|AD,AF=gAB,

得AE=2&AF=4,又/BAD=30°,在△AEF中，

由余弦定理得EF=-JAE2+AF2-2AE-AFcosABAD=J16+12-2-4-2^=2,

所以A￡2+斯2=A尸，則AE_LEF,即石尸上AD,

所以EF，PE,EF，DE,又PEDE=E,PE、DEu平面PDE,

所以所立平面PDE,又RDu平面PDE,

故EFJ.PD；

（2）連接CE,由ZAZ>C=90",ED=3G,CD=3,則CE，=ED2+CD2=36,

在.PEC中，PC=45PE=2?EC=6,EC2+PE1=PC2,

所以PE_LEC,由（1）知P￡_L￡F,又EC1EF=E,EC、EFu平面ABC。,

所以PEJL平面ABCD,又EDu平面ABCD,

所以PEJ_ED,則尸E,EF,ED兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-孫z,

則￡（0,0,0）,P（0,0,2我,0（0,3唬,0）,C（3,3后0）,。（2,0,0）,4（0,-2后0）,

由歹是AB的中點(diǎn)，得8（4,2百,0）,

所以PC=（3,3右,-2右）,PD=（0,3瓜-2上）,方=（4,2瘋-2質(zhì)，麗=（2,0,-2我,

設(shè)平面PC￡>和平面PBF的一個(gè)法向量分別為72=(芭,弘,2]),切=02，%,22),

n-PC=3X]+3拒y「2V§Z]=0m-PB=4x2+26%-2A/3Z2=0

[“?Pr>=34H-20Z]=O'[m-PF=2x2-2yf3z2=0

令％=2,x?=用,得玉=0,Z]=3,y2=-1,z2=1,

所以“=（0,2,3）,（右,-1,1）,

1765

II加?叫

所以k°s八〃仁而二不屈二百

設(shè)平面PCD和平面JPBF所成角為8,貝1Jsin夕=Cl一cos?9=犯至,

65

即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值為‘畫.

65

18.（1）0.686

(2)(i)由甲參加第一階段比賽；(i)由甲參加第一階段比賽;

【分析】(1)根據(jù)對立事件的求法和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案;

(2)(i)首先各自計(jì)算出編=[1-(1-0)3]/,與=口一(l_g)3].p3,再作差因式分解即可

判斷；(ii)首先得到x和y的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計(jì)算出各自期望，再

次作差比較大小即可.

【詳解】(1)甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階

段也至少投中1次，

二比賽成績不少于5分的概率尸=(1-06)(1-0.53)=0.686.

(2)(i)若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為

編=[1一(1一0)3]/,

若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為與

p<q,

?/一生=-(q-pqY—p3+(p—pq)3

=(q—p)W+網(wǎng)+/)+(p-4)](p-pqY+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]

=(p-q)gp討-3p2q-3pq)

=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(l-p)(l-^)-1]>0,

，格>2，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

(ii)若甲先參加第一階段比賽，數(shù)學(xué)成績X的所有可能取值為0,5,10,15,

333

P(X=O)=(l-jp)+[l-(l-jp)].(l-^),

P(X=5)=[l-(l-p)32]C；g?(1-療，

產(chǎn)(X=10)=[1-(1一獷].C匯(1-幻，

P(X=15)=[l-(l-0)3)/,

.?.E(X)=15[l-(l-p)3]q=15(/-3p2+3p).q

記乙先參加第一階段比賽，數(shù)學(xué)成績y的所有可能取值為0,5,10,15,

同理E(y)=15(/一3d+3q>p

E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3Pqip-q)\

=15(p-g)pq(p+4-3),

因?yàn)?<p<q,則p_q<0,p+g-3<l+l-3<0,

貝1Kp-g)pq(p+q-3)＞。，

應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是計(jì)算出相關(guān)概率和期望，采用作差法并因式分解

從而比較出大小關(guān)系，最后得到結(jié)論.

19.(1)尤?=3,%=。

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計(jì)算出尸2的坐標(biāo)即可;

(2)根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；

(3)思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明S”的取值為與"無關(guān)的定值即可.

思路二：使用等差數(shù)列工具，證明S,的取值為與n無關(guān)的定值即可.

【詳解】(1)

由已知有機(jī)=5?—4?=9,故C的方程為尤2-丁=%

當(dāng)4=g時(shí)，過6(5,4)且斜率為3的直線為〉=個(gè)，與無2-＞2=9聯(lián)立得到

解得x=-3或x=5,所以該直線與C的不同于片的交點(diǎn)為。(-3,0),該點(diǎn)顯然在C的左支

上.

故4(3,0),從而％=3,必=0.

(2)由于過且斜率為左的直線為＞=耳尤一毛)+%,與爐一丁=9聯(lián)立，得到方程

2

x-(k(x-xn)+yny=9.

展開即得(1一公卜2—2耳%一七)無一(%—區(qū),)2—9=0,由于Pn(%,%)已經(jīng)是直線

丁=%(%-%)+%和工2-卡=9的公共點(diǎn)，故方程必有一根苫=%.

從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根X=2.__何，)_X2仇一與Ex",相應(yīng)的

l-k21-甘

y=)+%="2kx"?

所以該直線與C的不同于P”的交點(diǎn)為Q,,12佻仔pF,2g],而注意到Q”的

I1—K.K]

-(笫-3)2-9

橫坐標(biāo)亦可通過韋達(dá)定理表示為,故e一定在c的左支上.

’x“+k?“-2刈“%+心“―2履“

所以