2024年中考數(shù)學必考考點總結(jié)+題型專訓菱形（原卷版+解析）

專題25菱形

考點一：菱形的性質(zhì)

知識回顧

1.菱形的定義：

有一組鄰邊相等的四邊形是菱形。

2.菱形的性質(zhì)：

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

②菱形的四條邊都相等。

③菱形的對角線相互垂直，且平分每一組對角。

④菱形既是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形。對稱中心為對角線交點，對稱軸為對角線

所在直線。

⑤面積計算：除了用計算平行四邊形的面積計算方法面積，還可以用對角線乘積的一半來計算面

微專題

1.（2023?廣東）菱形的邊長為5,則它的周長是.

2.（2023?通遼）菱形42。中，對角線AC=8,BD=6,則菱形的邊長為.

3.（2023?達州）如圖，菱形ABC。的對角線AC,2。相交于點O,AC=24,BD^IO,則菱形ABC。的周

長為.

第3題第4題

4.（2023?甘肅）如圖，菱形ABC。中，對角線AC與2D相交于點。，若AB=2非cm,AC^4cm,貝BD

的長為cm.

5.（2023?樂山）已知菱形A8CZ）的兩條對角線AC、B￡＞的長分別是8c機和6cm.則菱形的面積為cm2.

6.（2023?河池）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,8。相交于點。，下列結(jié)論中錯誤的是（

D

fA

B

第6題第7題

A.AB=ADB.AC1BDC.AC=BDD.NDAC=NBAC

7.（2023?貴陽）如圖，將菱形紙片沿著線段AB剪成兩個全等的圖形，則/I的度數(shù)是（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

8.（2023?德州）如圖，線段AB,端點的坐標分別為A（-1,2）,B（3,-1）,C（3,2）,￡）（-1,5）,

且AB〃C。，將CD平移至第一象限內(nèi)，得到C'D'（C,。'均在格點上）.若四邊形ABC'D'是

DN長為x,線段與AN長度的和為》圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，圖象右端點尸的坐標為（2后,

3）,則圖象最低點E的坐標為（）

A.(與’2)B.*6)C.*'5D.G2)

10.（2023?湘西州）如圖，菱形238的對角線AC、5。相交于點。,過點

BC

￡（作。于點X,連接08,0H=4,若菱形ABC。的面積為32后，則C￡）的長為（）

第10題第11題

A.4B.4^3C.8D.873

11.（2023?淄博）如圖，在邊長為4的菱形A8C。中，E為A。邊的中點，連接CE交對角線8。于點尸.若

ZD￡F=ZDFE,則這個菱形的面積為（）

A.16B.677C.12V7D.30

12.（2023?蘭州）如圖，菱形A8CD的對角線AC與8。相交于點。，E為的中點，連接OE,ZABC=

60°,BDiC,則OE=（）

第12題第13題第14題

A.4B.2A/3C.2D.V3

13.（2023?呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是菱形，ZDAB=60°，點E是ZM中點，尸是對角線AC上一

點，且/。EF=45°,則AAEC的值是（）

A.3B.V5+1C.272+1D.2+73

14.（2023?湖北）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，點A,B,

C都在格點上，ZO=60°，貝Ijtan/ABC=（)

11

A.-B.-c昱D.2

3232

15.（2023?河南）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,8。相交于點。，點E為CD的中點.若OE=3,

則菱形ABC。的周長為（）

第15題第16題

A.6B.12C.24D.48

16.（2023?株洲）如圖所示，在菱形ABC。中，對角線AC與2。相交于點O,過點C作CE〃瓦）交AB的

延長線于點E,下列結(jié)論不一定正確的是（）

1

A.OB=—CEB./VICE是直角三角形

2

1

C.BC=-AED.BE=CE

2

17.（2023?甘肅）如圖1,在菱形ABC。中，ZA=60°,動點P從點A出發(fā)，沿折線AO-QC-CB方向

勻速運動，運動到點3停止.設(shè)點P的運動路程為x,△APB的面積為與尤的函數(shù)圖象如圖2所示，

A.V3B.2A/3C.3A/3D.473

18.（2023?麗水）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4,E是BC的中點，A尸平分NEA。交C￡＞于點凡FG

//AD交AE于點G.若cosB=~,則FG的長是（）

4

82岳5

A.3B.C.D.-

332

19.（2023咱貢）如圖，菱形A8CD對角線交點與坐標原點。重合，點A（-2,5）,則點C的坐標是（)

第19題第20題

A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

20.（2023?鞍山）如圖，菱形ABC。的邊長為2,NA2C=60°,對角線AC與3D交于點。，￡為。3中點，

F為AD中點，連接EF,則EF的長為.

21.（2023?青島）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果.圖②

是一個菱形，將圖②截去一個邊長為原來一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，

再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中/ABC的度數(shù)是°.

雉

圖①圖②圖③圖④

22.（2023?銅仁市）如圖，四邊形ABCD為菱形，ZABC=80°,延長到E,在/。CE內(nèi)作射線CM,

使得/ECM=30°,過點D作DFLCM,垂足為F.若DF=屈,則BD的長為（結(jié)果保留根

號）.

23.（2023?哈爾濱）如圖，菱形43CD的對角線AC,8。相交于點O,點E在上，連接AE,點尸為

C。的中點，連接若AE=BE,0E=3,。4=4,則線段。尸的長為.

24.（2023?黑龍江）如圖，菱形A8CO中，對角線AC,8。相交于點。，ZBAD=60°,AD=3,AH是/

54c的平分線，CELAH于點E,點尸是直線AB上的一個動點,貝IJOP+PE的最小值是

第25題

25.（2023?天津）如圖，己知菱形ABCD的邊長為2,Z￡）AB=60°,E為AB的中點，尸為CE的中點,

AF與DE相交于點G,則GF的長等于

考點二：菱形的判定

知識回顧

X_______________________>

1.直接判定：

四條邊都相等的四邊形是菱形。

幾何語言：；AB=BC=CD=DA,四邊形ABCD是菱形

2.利用平行四邊形判定：

①定義：一組領(lǐng)邊相等的平行四邊形是菱形。

②對角線的特殊性：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形。

微專題

26.（2023?襄陽）如圖，EL43C。的對角線AC和2。相交于點。，下列說法正確的是（）

B.若AC=B。，則13ABe。是菱形

C.若。4=。。，貝帆A8CD是菱形

D.若AC_LBD,貝恒是菱形

27.（2023?營口）如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△￡＞跖,只需添加一個條件即可證明四邊形ABE。

是菱形，這個條件可以是.（寫出一個即可）

第27題第28題

28.（2023?齊齊哈爾）如圖，在四邊形ABC。中，ACLBD,垂足為。，AB//CD,要使四邊形ABC。為菱

形，應(yīng)添加的條件是.（只需寫出一個條件即可）

29.（2023?遼寧）如圖，是△ABC的角平分線，過點。分別作AC,8c的平行線，交BC于點E,交AC

于點?若/ACB=60°,CD=4A/3,則四邊形的周長是.

ADB

專題25菱形

考點一：菱形的性質(zhì)

知識回顧

3.菱形的定義:

有一組鄰邊相等的四邊形是菱形。

4.菱形的性質(zhì):

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

②菱形的四條邊都相等。

③菱形的對角線相互垂直且平分每一組對角。

④菱形既是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形。對稱中心為對角線交點，對

稱軸為對角線所在直線。

⑤面積計算：除了用計算平行四邊形的面積計算方法面積，還可以用對角線乘積的

一半來計算面積。

微專題

1.（2023?廣東）菱形的邊長為5,則它的周長是.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可解決問題；

【解答】解：?.?菱形的四邊相等，邊長為5,

菱形的周長為5X4=20,

故答案為20.

2.（2023?通遼）菱形ABCZ）中，對角線AC=8,BD=6,則菱形的邊長為.

【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出OA、OB,再利用勾股定理列式進行計算

即可得解.

【解答】解：

解：：四邊形ABCO是菱形，

：.OA^—AC=4,OB^—BD=3,AC±BD,

22

?■?^=VOA2-K）B2=5

故答案為：5

3.（2023?達州）如圖，菱形ABC。的對角線AC,8。相交于點O,AC=24,BD=10,則

菱形ABC。的周長為

D

B

【分析】菱形的四條邊相等，要求周長，只需求出邊長即可，菱形的對角線互相垂直且

平分，根據(jù)勾股定理求邊長即可.

【解答】解：：四邊形ABCO是菱形，

：.AB^BC=CD=DA,AC±BD,AO=CO,BO=DO,

：AC=24,BD^IQ,

；.A0^—AC^12,BO^—BD^5,

22

在RtAAOB中，

AB=22

VAO+BO=V122+52=13'

，菱形的周長=13X4=52.

故答案為：52.

4.（2023?甘肅）如圖，菱形4BCD中，對角線AC與BD相交于點。，若AB=2我cm,AC

【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC,8。，BO=DO,由勾股定理可求80,即可求解.

【解答】解：：四邊形A2CD是菱形，AC^4cm,

C.ACLBD,BO=DO,AO=CO=2cm,

?：AB=2炳cm,

VBC，=VAB2-A02=4cm>

DO—BO=4cm,

BD=8cm,

故答案為：8.

5.（2023?樂山）己知菱形ABCD的兩條對角線AC、BZ）的長分別是8cm和6cm.則菱形的

面積為cm2.

【分析】根據(jù)菱形的面積=對角線乘積的一半，可以計算出該菱形的面積.

【解答】解：?菱形ABCD的兩條對角線AC、BD的長分別是8cm和6cm,

；?菱形的面積是32=24（cm2）,

2

故答案為：24.

6.（2023?河池）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,8。相交于點O,下列結(jié)論中錯誤的

是（）

A.AB=ADB.ACLBDC.AC=BDD.ZDAC=ZBAC

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可一一判斷.

【解答】解：：四邊形ABCD是菱形，

：.ZBAC^ZDAC,AB^AD,ACLBD,

故A、B、。正確，無法得出AC=B。，

故選：C.

7.（2023?貴陽）如圖,將菱形紙片沿著線段A8剪成兩個全等的圖形，則/I的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)菱形的對邊平行，以及兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可求解.

【解答】解：???菱形的對邊平行，

...由兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得Nl=80°.

故選：C.

8.（2023?德州）如圖，線段AB,CD端點的坐標分別為A（-1,2）,B（3,-1）,C（3,

2）,D（-1,5）,且將O）平移至第一象限內(nèi)，得到C'D'（C'，D'均

在格點上）.若四邊形ABCD'是菱形，則所有滿足條件的點D'的坐標

為

【分析】利用勾股定理可得AB=CD=5,根據(jù)菱形性質(zhì)可得=AB=5,再由平移規(guī)

律即可得出答案.

【解答】解：如圖，

VA(-1,2),B(3,-1),C(3,2),D(-1,5),

：.AB//CD,AB=CD=5,

..?四邊形ABC'D'是菱形，

：.AD'=AB=5,

當點。向右平移4個單位，即￡>'(3,5)時，AD'=5,

當點。向右平移3個單位，向上平移1個單位，即。'(2,6)時，AD'=5,

故答案為：(3,5)或(2,6).

II

」J

-

—

—

r

少4.5__6,一8

J3(3HD：：：

9.(2023?綿陽)如圖1,在麥形A2C￡>中，NC=120°,M是AB的中點，N是對角線

上一動點，設(shè)。N長為無，線段與AN長度的和為》圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，

圖象右端點尸的坐標為(2^/3,3),則圖象最低點E的坐標為()

D

y

【分析】由函數(shù)圖象可得點尸表示圖1中點N與點8重合時，即可求8。，的長，由

銳角三角函數(shù)可求解.

【解答】解：如圖，連接AC,NC,

圖1

:四邊形ABCD是菱形，ZBCD=120°,

：.AB=BC,AC垂直平分BD,ZABC=60°,ZABD=ZDBC=30°,

：.AN=CN,△ABC是等邊三角形，

：.AN+MN=CN+MN,

當點N在線段CM上時，AN+MN有最小值為CM的長，

:點尸的坐標為（2百，3）,

:.DB=2M，AB+BM=3,

:點M是AB的中點，

CMLAB,

：.2BM+BM=3,

tanZABC=tan60°=

BM

：.CM=yf3,

VcosZ.ABD=cos30°=-------,

BN'2

3

；.DN=^^-,

3

.?.點￡的坐標為：（至巨，V3）.

3

故選：C.

10.（2023?湘西州）如圖，菱形ABC。的對角線AC、8。相交于點。，過點。作。

于點乂連接OH0H=4,若菱形ABC。的面積為32若，則CD的長為（）

A.4B.473C.8D.873

【分析】在RtaBDH中先求得的長，根據(jù)菱形面積公式求得AC長，再根據(jù)勾股定

理求得C。長.

【解答】1￥：'：DH±AB,

:./BHD=90°,

:四邊形ABC。是菱形，

AOB=OD,OC=OA=^-AC'AC±BD,

...O//=OB=OD=/BD（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半），

；.。。=4,BD=8,

由￡AOBD=32F得，

/x8?AC=32我，

；.AC=8%,

???OC=￡AC=4我，

CD=VOC2-K）D2=8，

故選c.

11.（2023?淄博）如圖，在邊長為4的菱形ABC。中，E為AD邊的中點，連接CE交對角

線瓦）于點?若NDEF=NDFE,則這個菱形的面積為（）

C.12sD.30

【分析】連接AC交于O,如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AO〃8C,C3=CO=AD=4,

ACA.BD,BO=OD,OC=AO,再利用尸E得到。尸=OE=2,證明N3CF=

NBbC得到B/=5C=4,則80=6,所以05=00=3,接著利用勾股定理計算出0C,

從而得到AC=2j7,然后根據(jù)菱形的面積公式計算它的面積.

【解答】解：連接AC交3。于0,如圖，

???四邊形A3CO為菱形，

：.AD//BC,CB=CD=AD=4,ACLBD,BO=OD,OC=AO,

???￡為AO邊的中點，

：.DE=2,

NDEF=ZDFE,

:?DF=DE=2,

■:DE//BC,

：.ZDEF=ZBCFf

■:/DFE=/BFC,

:./BCF=/BFC,

：.BF=BC=4,

：.BD=BF+DF=4+2=6,

：.0B=0D=3,

在RtZXBOC中，OC==五,

:?AC=2OC=2F

：.菱形ABCD的面積=LAC?5O=工X277X6=6J7.

22

故選：B.

12.（2023?蘭州）如圖，菱形A5CD的對角線AC與3。相交于點0,片為AD的中點，連

接OE,ZABC=60°,BDiC,貝!J0E=()

A.4B.2A/3C.2D.V3

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，ZABO=30°,AC±BD,則80=2?,再利用含30°

角的直角三角形的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：：四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

：.BO=DO,ZABO=30°,ACLBD,AB=AD,

.?.2。=2?,

.?.AO=與B0=2，

o

：.AB=2AO=4,

為AD的中點，ZAOZ）=90°,

：.0E=^AD=2,

2

故選：C.

13.（2023?呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是菱形，ZDAB=60°,點E是D4中點，F(xiàn)是

對角線AC上一點，且/。EF=45°,則AF：FC的值是（）

A.3B.V5+1C.272+1D.2+73

【分析】連接。2,交AC于點0,連接0E,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得NZMC=』NZMB=

2

30°,AC±BD,0D=LBD,AC^2A0,AB^AD,從而可得△ABD是等邊三角形，進

2

而可得DB=AD,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得OE=AE=Z）E=』4。，然后設(shè)

2

0E=AE=DE=a,則AD=BZ）=2a,在RtzXAO。中，利用勾股定理求出A。的長，從而

求出AC的長，最后利用等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的外角求出/0EB=NER9=

15°,從而可得?！?。尸=a,即可求出ARCP的長，進行計算即可解答.

【解答】解：連接。8,交AC于點。，連接0E,

?.?四邊形ABCD是菱形，

AZDAC=^-ZDAB=30°,AC±BD,0

2

~~6\F^C

AC=2AO,AB=AD,

VZDAB=60°,

???△ABO是等邊三角形，

B

：.DB=AD,

VZAOD=90°,點E是DA中點，

AOE=AE=DE=^-AD,

2

??設(shè)OE=AE=DE=a,

.\AD=BD=2a,

OD——BD=a,

2

在Rt/iAOO中，^O=7AD2-D02=V（2

.??AC=2AO=2V^〃，

VEA=EO,

：.ZEAO=ZEOA=30°,

JZDEO=ZEAO+ZEOA=60°

VZDEF=45°,

O

???ZOEF=ZDEO-ZDEF=15

???/EFO=ZEOA-ZOEF=15O

：.ZOEF=ZEFO=15°,

：?OE=OF=a,

.\AF=AO+OF=y[3a+a,

CF=AC-AF=y/3a~a，

?AF_V3a+a_V3+1_,

**CFV3a-aV3-1

故選：D.

14.（2023?湖北）由4個形狀相同,大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為

格點，點A,B,C都在格點上，ZO=60°,貝廿an/ABC=()

f

AC

O

C昱

-3

【分析】連接。。，然后證3、C、。三點共線，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得：△05。是等邊三

角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得A4_L0。，ZADB=60°,進而可得NA5C=30°,進

而可得tanZABC的值.

【解答】解：如圖，連接8,

??,網(wǎng)格是由4個形狀相同，大小相等的菱形組成，

???N3=N4,0D//CE,

???N2=N5,

VZ1+Z4+Z5=18O°,

???N1+N3+N2=18O°,

：.B,C、。三點共線，

又??,網(wǎng)格是由4個形狀相同，大小相等的菱形組成，

:?0D=0B,0A=AD,

???NO=60°,

???△030是等邊三角形，

C.BALOD,ZADB=60°,

ZABC=1SO°-90°-60°=30°,

Vs

tanZABC=tan30°=——，

3

故選：C.

15.（2023?河南）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,50相交于點O,點片為的中點.若

OE=3,則菱形ABC。的周長為（)

AD

A.6B.12C.24D.48

【分析】由菱形的性質(zhì)可得出ACLBD,AB=BC=CD=DA,再根據(jù)直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半得出的長，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：：四邊形ABC。為菱形，

C.ACLBD,AB=BC=CD=DA,

為直角三角形.

：0E=3,點E為線段C。的中點，

：.CD=2OE=6.

；.C菱形ABCD=4CQ=4X6=24.

故選：C.

16.（2023?株洲）如圖所示，在菱形ABC。中，對角線AC與2。相交于點。，過點C作

CE〃8O交A8的延長線于點E,下列結(jié)論不一定正確的是（）

B./VICE是直角三角形

1

C.BC=-AED.BE=CE

2

【分析】由菱形的性質(zhì)可得AO=CO=1，ACVBD,通過證明可得/

2

AOB=ZACE=90°,OB=^CE,AB=^AE,由直角三角形的性質(zhì)可得BC=』AE,即

222

可求解.

【解答】解：：四邊形ABCO是菱形，

.?.AO=CO=—,ACLBD,

2

'JCE//BD,

：.△AOBs/MCE,

AZAOB=ZACE^90°,坦■皇，

ACCEAE2

.?.△ACE是直角三角形，OB=』CE,AB=-^-AE,

22

：.BC=^AE,

2

故選：D.

17.（2023?甘肅）如圖1,在菱形ABC。中，NA=60°,動點尸從點A出發(fā)，沿折線A。

fDCYB方向勻速運動，運動到點B停止.設(shè)點P的運動路程為x,AAPB的面積為y,

y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則AB的長為（）

A.V3B.2百C.373D.473

【分析】根據(jù)圖1和圖2判定三角形A8O為等邊三角形，它的面積為3次解答即可.

【解答】解：在菱形ABCD中，ZA=60°,

/.△ABO為等邊三角形，

設(shè)由圖2可知，△48。的面積為3?,

AABD的面積=叵j=373，

4

解得：。2=-2V3（舍去），

故選：B.

18.（2023?麗水）如圖，已知菱形ABC。的邊長為4,E是BC的中點，AF平分NEAD交

CD于點EFG〃A。交AE于點G.若cos8=工，則FG的長是（）

4

2^155

C.---D.-

33

【分析】方法一：過點A作于點過點尸作尸QLW于點。根據(jù)cos5=@

AB

=—,可得BH=L所以元，然后證明A”是3￡的垂直平分線，可得AE=A8

4

=4,設(shè)GA=G/=X,根據(jù)S梯形CEAZ)=S梯形CEGF+S梯形GFDA,進而可以解決問題.方法

二：作AH垂直BC于X,延長AE和。C交于點M由已知可得38=EH=1,所以AE=

AB=￡M=CM=4設(shè)GP=x,則AG=x,GE=4-x,由三角形A/GP相似于三角形MEC

即可得結(jié)論.

【解答】解：方法一，如圖，過點A作于點X,過點尸作FQ，A￡)于點。

:菱形ABC。的邊長為4,

.,.AB=AD=BC=4,

???AH=VAB2-BH2="-F=V15，

???E是BC的中點，

；?BE=CE=2,

：?EH=BE-BH=\,

：.AH是BE的垂直平分線，

：.AE=AB=4f

TAb平分NE4O,

：.ZDAF=ZFAG,

*：FG//AD,

：.ZDAF=/AFG,

：.ZFAG=ZAFG,

:?GA=GF,

設(shè)GA=GF=x,

VAE=CD=4,FG//AD,

.\DF=AG=x,

cos。=cosB==工，

DF4

：.DQ=^x,

22

FQ=7DF-DQ=Jx?-gx)2=義再%,

,**S梯形CEAD=S梯形CEGF+S梯形GFDA9

AAx(2+4)xV15=—(2+x)X(Vl5-+A(x+4)X^^-x,

22424

解得x=2,

3

則EG的長是理.

3

或者：；AE=C￡>=4,FG//AD,

四邊形AGFD的等腰梯形，

:.GA=FD=GF,

則x+—x+—x—^,

44

解得尤=反，

3

則BG的長是S.

3

19.(2023?自貢)如圖，菱形ABC。對角線交點與坐標原點。重合，點A(-2,5),則點

C的坐標是()

C

A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

【分析】菱形的對角線相互平分可知點A與C關(guān)于原點對稱，從而得結(jié)論.

【解答】解：?..四邊形A8CL?是菱形，

：.OA=OC,即點A與點C關(guān)于原點對稱，

?點A(-2,5),

.,.點C的坐標是(2,-5).

故選：B.

20.（2023?鞍山）如圖，菱形ABC。的邊長為2,ZABC=60°,對角線AC與交于點O,

￡為08中點，尸為AQ中點，連接EF,則EF的長為.

【分析】由菱形的性質(zhì)可得AB=AO=2,ZABZ）=30°,AC±BD,BO=DO,由三角形

中位線定理得F//=2AO=工，F(xiàn)H//AO,由勾股定理可求解.

22

【解答】解：如圖，取。。的中點H,連接

:四邊形A2CD是菱形，ZABC=60°,

：.AB=AD=2,/ABD=30°,AC±BD,BO=DO,

：.AO=-^AB=1,BO=MA0=M=D0,

:點H是OD的中點，點尸是A。的中點，

：.FH=^AO=^-,FH//AO,

22

C.FHLBD,

:點E是8。的中點，點”是?！辏┑闹悬c，

.?.0￡=返，。”=近，

22

:.EH=M，

,EF={EH2+標==辱,

故答案為：，亙.

2

21.（2023?青島）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出

立體效果.圖②是一個菱形，將圖②截去一個邊長為原來一半的菱形得到圖③，用圖③

鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中NA2C的度數(shù)

是°.

舜

圖①圖②

【分析】先確定NBAD的度數(shù)，再利用菱形的對邊平行，利用平行線的性質(zhì)即可求出N

ABC的度數(shù).

ZBAD+ZBAE+ZDAE^360°，

AZBAD=ZBAE=ZDAE=120°，

"JBC//AD,

：.ZABC=180°-120°=60°,

故答案為：60.

22.（2023?銅仁市）如圖，四邊形ABC。為菱形，ZABC=80",延長8C到E,在NOCE

內(nèi)作射線CM,使得NECM=30°,過點D作DFLCM,垂足為F.若DF=屈,則

【分析】連接AC,交BD于H,證明得出。H的長度，再根據(jù)菱形的

性質(zhì)得出BD的長度.

【解答】解：如圖，連接AC,交BD于點、H,

由菱形的性質(zhì)得NAOC=NA5C=80°,ZDCE=80°,ZZ)HC=90°,

又???NECM=30°,

：.ZDCF=50°,

■:DF工CM,

：.ZCFD=90°,

：.ZCDF=40°,

又???四邊形A5c。是菱形，

???3。平分NADC,

/.ZHZ)C=40°,

在△口)〃和△口)尸中，

:.△CDHQACDF(A45),

:.DH=DF=4^,

：.DB=2DH=2^6.

故答案為：25后.

23.(2023?哈爾濱)如圖，菱形ABC。的對角線AC,3。相交于點。，點￡在OB上，連接

AE,點/為CD的中點，連接OF.若AE=BE,OE=3,OA=4,則線段OP的長為.

【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC,2DAO=CO=4,BO=DO,由勾股定理可求AE的長,

BC的長，由三角形中位線定理可求解.

【解答】解：：四邊形ABCD是菱形，

：.AC±BD,AO=CO=4,BO=DO,

AE=VAO2+E02=V9+16=5,

：.BE=AE^5,

.?.20=8,

BC=VB02-H?02=V64+16=4A/5，

:點尸為CD的中點，BO=DO,

：.0F=\BC=2遍,

2

故答案為：2遙.

24.（2023?黑龍江）如圖，菱形ABC。中，對角線AC,8。相交于點。，ZBA￡>=60°,

A￡）=3,AH是/BAC的平分線,CELAH于點E,點P是直線AB上的一個動點，則OP+PE

的最小值是.

【分析】連接OE,過點。作。/，垂足為R并延長到點0',使O'F=OF,連

接O'￡交直線AB于點P,連接。尸，從而可得。尸=0'P,此時OP+PE的值最小，先

利用菱形的性質(zhì)可得A。==3,/BAC=」/BAD,OA=OC=^AC,OD^OB^^BD,

222

ZAOD=9Q°,從而可得是等邊三角形，進而求出45=3,然后在RtZ^AQO中，

利用勾股定理求出A。的長，從而求出AC的長，進而利用直角三角形斜邊上的中線可得

0E=O4=』AC=3%,再利用角平分線和等腰三角形的性質(zhì)可得0E〃A8,從而求出

22

NEOF=90°,進而在RtZ\A。/中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出。產(chǎn)的長，即可求出

00'的長，最后在RtZ\E。。'中，利用勾股定理進行計算即可解答.

【解答】解：連接。E,過點。作。尸，AB,垂足為凡并延長到點0',使O'F=OF,

連接O'￡交直線AB于點P,連接0P,

???4P是。O'的垂直平分線，

AOP=O'P,

：.OP+PE=O'P+PE=O'E,

此時，OP+PE的值最小，

:四邊形ABC。是菱形，

：.AD=AB=3,ZBAC=^-ZBAD,OA=OC=^AC,OD=OB

22

=LBD,ZAOD=90°,

2

VZBAD=60°,

...△ADB是等邊三角形,

：.BD=AD=3,

；.OD^—BD^—,

22

?，.AO=VAD2-DO2=^32-(y)2=彳'瓜

：.AC=2OA=3y/3,

；CE2AH,

：.ZAEC=90°,

OE=。4=』AC=旦百，

22

：.ZOAE=ZOEA,

平分/C4B,

：.ZOAE=ZEAB,

：.ZOEA=ZEAB,

：.OE//AB,

：.ZEOF=ZAFO=90°,

在RtZXAOF中，ZOAB=^ZDAB=30°,

2

.?.OF=1OA=3%，

24

/.OO'=2OF=■M，

2

在RtZSEOO'中，。,E=4EO2式o'2=(-1V3)2+(-|V3)2=I■加，

/.OP+PE=3娓,

2

...OP+PE的最小值為?!加,

故答案為：—VG.

2

25.(2023?天津)如圖，已知菱形ABCD的邊長為2,ZDAB^6Q°,E為AB的中點，F(xiàn)

為CE的中點，AF與DE相交于點G,則GF的長等于.

【分析】如圖，過點尸作尸”〃C。，交DE于H,過點C作CMLA8,交A3的延長線于

M,連接FB,先證明切是△€?￡r的中位線，得FH=\,再證明△AEG絲△■FaG(44S),

得AG=FG,在RtACBM中計算和CM的長，再證明8斤是中位線，可得BF的長，

由勾股定理可得的長，從而得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點尸作切〃CD,交DE于H,過點C作交的延長

線于M,連接EB,

:四邊形ABC。是菱形，

：.AB=CD=BC^2,AB//CD,

：.FH//AB,

：.ZFHG=ZAEG,

是CE的中點，F(xiàn)H//CD,

是。E的中點，

；.也是△(?￡)￡1的中位線，

：.FH=^CD=\,

2

是AB的中點，

：.AE=BE=1,

：.AE=FH,

"：/AGE=NFGH,

：.AAEG^AFHG(AAS),

J.AG^FG,

'：AD//BC,

ZCBM=ZDAB=60°,

RtZkCBM中，ZBCM=30°,

：.BM=^-BC=1,CM=Q呼—]2=?,

:?BE=BM,

???/是CE的中點，

???方8是