2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-數(shù)列求和

第4講數(shù)列求和

命題點五年考情命題分析預(yù)料

用公式法

2024新高考卷IIT18；2024新高考

和分組轉(zhuǎn)

卷IT17；2024新高考卷IT18

化法求和本講是高考熱點，主要考查數(shù)列求和，

2024全國卷甲T17；2024新高考卷常用方法有公式法、錯位相減法、裂項

用錯位相

IT16；2024全國卷乙T19；2024相消法、分組轉(zhuǎn)化法、倒序相加法，在

減法求和

全國卷IT17；2024全國卷IUT17客觀題與主觀題中都有可能出現(xiàn)，難度

用裂項相中等.預(yù)料2025年高考命題穩(wěn)定，常規(guī)

2024新高考卷IT17

消法求和備考的同時也要關(guān)注分段數(shù)列的形式.

用倒序相

加法求和

數(shù)列求和的幾種常用方法

1.公式法

(1)干脆利用等差、等比數(shù)列的前〃項和公式求和.

(2)①)+22+32+…+〃2="5+1)(2底1〉，②尸十23十33+...十/=2.

62

2.分組轉(zhuǎn)化法

(1)利用分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型

一

求

y1%=4切,，且也｝，｛一為等差或等比數(shù)列.分

組

的

肺

求

項

和

2，”為奇數(shù).和

一

+.1”為偶數(shù)其中⑵'⑷為等.或等比數(shù)列.

(2)思路：將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列，從而求得原數(shù)列的前w項和.如斯=6”

nnnn

+c+-+h,則Za=zb+z以+…+2h.

nnk=lkk=lkk=lk=lk

留意對含有參數(shù)的數(shù)列求和時要對參數(shù)進(jìn)行探討.

3.錯位相減法

(1)適用的數(shù)列類型：血及｝,其中數(shù)列｛斯｝是公差為1的等差數(shù)列，彷〃｝是公比為q

(qWl)的等比數(shù)列.

(2)求解思路：

S”=。仍1+。2岳H-----\'Clnbn①，

qSn=。仍2+a2b3H----Fa“-1b”+anbn+1②，

①一②得(1—q)Sn—aibi+d(岳+岳3-----卜兒)-anbn+\＜進(jìn)而利用公式法求和.

4.裂項相消法

（1）利用裂項相消法求和的基本步驟

（2）常見數(shù)列的裂項方法

數(shù)列（〃為正整數(shù)）裂項方法

｛——｝“為非零常數(shù)）—--=-

n（n+fc）n(n+k)knn~\~k

{1}1—1(1_1)

l4n2-lJ4n2—12v2n—12n+l，

{—---^^==7(n+k—y/n)

Vn+n+k赤+F…

{2"}2n_11

i(2n-l)(2n+1-l)J(2n-l)(2n+1-l)2n-l2n+1—1

5.倒序相加法

已知數(shù)列的特征是“與首末兩端等距離的兩項之和等于同一常數(shù)”，可用倒序相加法求和.

解題時先把數(shù)列的前〃項和表示出來，再把數(shù)列求和的式子倒過來寫，然后將兩個式子相

加，即可求出該數(shù)列的前w項和的2倍，最終求出該數(shù)列的前w項和.

1.［教材改編］已知｛斯｝為等差數(shù)列，S”為其前"項和，若。1+的+。5=105,。2+。4+。6=

99,則S?o=400.

解析設(shè)等差數(shù)列｛?！埃墓顬閐

.（ci-］H-ctode—105,（"3—105,（cto=35,

由13s得3即43所以4二―2,0=39,所以S20=

ka2+a4+a6=99,I3a4=99,la4=33,

20X39+?。*or*（_2）=400.

2

2.［教材改編］已知以=（-1）"n,則2H---卜d=n.

解析由題意可得，。2〃-1+。2〃=一（2"一1）+2m=1,.??。1+。2+…+。2〃=（。1+〃2）+

（的+處）H----F（。2〃-1+。2〃）—1+H----\-l-n.

3.已知等差數(shù)列的前三項和為2,后三項和為4,且全部項和為64,則該數(shù)列有列項.

解析設(shè)該等差數(shù)列為｛斯｝,由題意可得，。1+〃2+。3=2①，斯+斯―1+?！?2=4②，①

+②得3（勾+詼）=6,又64=:可得〃=64,所以該數(shù)列有64項.

4.［易錯題］數(shù)列｛斯｝的通項公式為斯=2〃-10,則II+Ia21H--HI〃15I—130.

解析易知｛斯｝為等差數(shù)列.設(shè)｛斯｝的前〃項和為S〃，當(dāng)為=2〃-10=0時，〃=5,所以

I41I+I。2I+…+I"15I=—（的+。2+…+。5）+〃6+。7+…+〃15=S15-2s5=130.

研透高考明確方向

命題點1用公式法和分組轉(zhuǎn)化法求和

+1,幾為奇數(shù),

例1[2024新高考卷考已知數(shù)列｛詼｝滿意避=1,斯+1=

an+2,ri為偶數(shù).

(1)記為=。2〃，寫出仇，bi，并求數(shù)列｛為｝的通項公式;

(2)求｛斯｝的前20項和.

an+1,幾為奇數(shù),

解析(1)因為bn=Q2n,且=1,即+1=

an+2,ri為偶數(shù),

所以bi=a2=ai+l=2,

岳=〃4=。3+1=42+2+1=5.

因為bn~Cl2n,所以兒+1=。2〃+2=。2八+1+1=。2〃+1+1=。2〃+2+1=〃2〃+3,

所以為+1一為=。2〃+3—。2〃=3,

所以數(shù)列｛4｝是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，勿=2+3（〃一1）=3〃一1,〃金N*.

a+1,幾為奇數(shù),

(2)n

因為an+\=

an+2,ri為偶數(shù),

所以時，。2左=。2左一1+1=〃24—1+1,即〃2左=。24—1+1①,

。2k+1=。2%+2②,

“2k+2=。2什1+1=。2左+1+1,即42k+2=。2k+1+1③,

所以①+②得〃2左+1=。2左-1+3,即〃2左+1一〃2左-1=3,

所以數(shù)列｛斯｝的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列;

②+③得。2左+2=〃2k+3,即a2k+2—a2k=3,

又42=2,所以數(shù)列｛斯｝的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列.

所以數(shù)列｛〃〃｝的前20項和520=(。1+〃3+〃5+…+〃19)+(。2+。4+。6+…+〃20)=10+

等X3+20+等X3=3。。.

訓(xùn)練1公差為2的等差數(shù)列｛詼｝中，見，。2,。4成等比數(shù)歹I.

（1）求｛詼｝的通項公式；

an,n<10,

（2）若數(shù)列｛a｝滿意d=,?求仍"｝的前20項和.

lbn-5'n>10'

解析（1）因為等差數(shù)列｛斯｝的公差為2,

所以〃2=。1+2,44=41+6.

因為42,。4成等比數(shù)列，

所以（〃1+2）2=0（〃1+6）,解得〃1=2.

所以｛〃〃｝的通項公式為〃〃=2+(〃-1)X2=2n.

a,n<10,

(2)因為[n所以/?16+87H----1~岳0=61+612H-----^65=86+。7H-----H

bn_5,n>10,

"0,

所以｛瓦｝的前20項和：

石0=(8+62H-------Ffe)+(生+67H---------FZ?10)+(Z?ll+bl2H---------FZ?15)+(匕16+87H-------H

。20)

—(仇+歷+…+z?5)+3。6+岳+…+加0)

=(〃1+。2+…+〃5)+3(恁+勿+…+。10)

5(。1+。5)卜3X5(。6+。10)

22

5X(2+10)?5X(12+20)

------------十X------------

2J2

=270.

命題點2用錯位相減法求和

例2[2024全國卷甲]記S〃為數(shù)列｛斯｝的前〃項和，已知〃2=1，2Sn=nan.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)求數(shù)歹U｛曾｝的前幾項和

解析(1)當(dāng)〃=1時，2s1=⑸，即2〃1=。1,所以。1=0.

當(dāng)時，由2*="為，得2sl-1=(n—1)an-\,

兩式相減得2斯=九斯一(〃-1)an-\,

即(〃-1)an-i=(〃-2)an,

故當(dāng)時，2=口，則.….血=口.匚.….2,

an-1n-2an_1an_2a2n~2n~31

整理得%="一1,因為〃2=1,所以?！?"一1(〃》3).

當(dāng)〃=1,〃=2時，均滿意上式，所以斯=〃一1.

(2)令與=紫=々，則〃="+必+…+4-1+勾=3+|+…+展①,

2"2"22"2n12"

1)+2+…+口+上

2T"22'23'丁2"'2n+1②,

由①一②得/=|+蠢+支+…+看一肅=在才一品

1-黑,即。=2-箸

2

方法技巧

用錯位相減法求和的留意事項

(1)在書寫qS.時留意“錯位對齊”，以便利后續(xù)運算.

(2)兩式相減時留意最終一項的符號.

(3)留意相減后的和式結(jié)構(gòu)的中間為(n-1)項的和.

訓(xùn)練2:2024全國卷乙]設(shè)｛%｝是首項為1的等比數(shù)列,數(shù)列｛b^滿意瓦,=等.已知的,

3a2,9的成等差數(shù)列.

(1)求｛%｝和伉｝的通項公式.

(2)記S"和。分別為｛斯｝和他,｝的前幾項和.證明：Tn含.

解析(1)設(shè)｛斯｝的公比為鄉(xiāng)，則斯=/-1.

因為〃1,3〃2,9方成等差數(shù)列，所以l+9/=2X3q,解得故斯=」與，bn=j

33”3

(2)由⑴知S"=1堂=|(1—嘉)，

T-----_n_

ln3十32十33十十3r1—1十3n①,

-T=------卜九一1+71

3n3233343n3n+1②,

1_九(L專)

①一②得|/=：+.+孑---+nI(1一a一提,

33343，京3n+11-i3n+1

3

2九+3

整理得7；=-

44x3n

則T?-^=--27l+3i(T)器＜。，故f.

244x3n

命題點3用裂項相消法求和

例3(i)已知％=,1、，求數(shù)列UJ的前"項和S".

n(n+2)

1

(2)已知數(shù)列｛斯｝的前n項和為S”若a,求證：s?＜|.

n(2n-l)(2n+l)

號不？‘求證：S"G

(3)已知數(shù)列｛斯｝的前n項和為S”若an

1

解析(1)易得以=1(=一+)，所以&=;1(1-Z)+(7--)+(IP

n(n+2)n?1+22324

313

H------1-(———^―)+---)(―+—)

n—1n+12n+1n+242n+1n+24

2?l+3

2(71+1)(71+2)

1111

(2)由題意可得,a=------------),

n(2n-l)(2n+l)22n—12n+l

1111

所以&=][(1—1)+(|-|)4-----卜)]=[(1

2n—12n+l22(271+1)

因為所以亂4

11

(3)易知斯=-——<■與＜二),

2n(2n+l)(2n-l)(2n+l)2n—12n+l

當(dāng)H=1時,-一-1〈一一1；

63

nn

-+z1—1十(+(濘)+..?+

當(dāng)〃22時,Sn=￡--<--(2i-l)(2i+l)62L1)

i=l2i(2i+l)2(2+1)i=2

111

<1.5<|.

(―)]=渭《一表)綜上，n

2n—12n+l32(2n+l)

方法技巧

利用裂項相消法求和時，既要留意檢驗裂項前后是否等價，又要留意求和時正負(fù)項消去哪

些項，保留哪些項.

訓(xùn)練3[2024新高考卷I]記S,為數(shù)列｛斯｝的前〃項和，已知的=1，｛&｝是公差為;的等差

3

數(shù)列.

（1）求｛。"｝的通項公式.

（2）證明：—+—H-----H—<2.

ala2an

解析（1）因為〃1=1,所以包"=1,

①

又｛&｝是公差為；的等差數(shù)列，

an3

所以皂=1+.

CLn33

所以Sn=等M

因為當(dāng)nN2時，a〃=S”—&-1=等?！币坏仍S-1,

所以等許_1=自二斯（"22）,

所以旦=也（〃22）,

an-ln-1

de,^a2KZa3\zxzan-ia3..4..、/n..n+1n（n+l）/

所以—X-X???X------X——n=-X-X???X------X------=------------（〃三2）,

?ia-2an_2an_112n-2n~l2

（7°

所以an=2（〃22）,又。i=l也滿意上式,

所以%=n(n￡N*).

(2)因為%="1)，所以三=:2(工一白)，

2ann(n+l)nn+l

所以工+2+…+上=2[(1--)+(---)+…+(―——^―)]=2(1——^―)<2.

ara2an223nn+ln+l

命題點4用倒序相加法求和

例4已知函數(shù)/(x)