5.2.1三角函數(shù)的概念課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第五章三角函數(shù)三角函數(shù)的概念人教A版

數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.2.已知角α終邊上一點(diǎn),會(huì)求角α的各三角函數(shù)值.3.能利用三角函數(shù)的定義,理解正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào).4.通過對(duì)任意角三角函數(shù)定義的理解,掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

三角函數(shù)的概念1.概念

前提如圖,設(shè)α是一個(gè)任意角,α∈R,它的終邊OP與

相交于點(diǎn)P(x,y)

定義正弦函數(shù)把

叫做α的正弦函數(shù),記作sinα,即y=sinα函數(shù)值y是角α的終邊與所在單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)

余弦函數(shù)把

叫做α的余弦函數(shù),記作cosα,即

正切函數(shù)把

叫做α的正切,記作tanα,即

=tanα(x≠0)

三角函數(shù)我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)單位圓

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xx=cosα2.三角函數(shù)的解析式和定義域如下表所示

類型解析式定義域正弦函數(shù)y=sinx

余弦函數(shù)y=cosx

正切函數(shù)y=tanx

即角x的終邊不能在y軸上

RR思考辨析通過閱讀課本179頁例2,你認(rèn)為三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P在角α終邊上的位置是否有關(guān)?提示

三角函數(shù)值是比值,它的大小與點(diǎn)P在角α終邊上的位置無關(guān),只與角α的終邊位置有關(guān),即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).自主診斷

B2.[北師大版教材習(xí)題]已知角β的終邊經(jīng)過點(diǎn)M(-3,-1),則sinβ=

,cosβ=

.

知識(shí)點(diǎn)2

三角函數(shù)值的符號(hào)sinα,cosα,tanα在各象限的符號(hào)如下:記憶口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”名師點(diǎn)睛正弦函數(shù)值的符號(hào)取決于角α終邊上一點(diǎn)P(x,y)的縱坐標(biāo)y的符號(hào),點(diǎn)P在x軸上方為正,下方為負(fù);余弦函數(shù)值的符號(hào)取決于點(diǎn)P橫坐標(biāo)x的符號(hào),在y軸右側(cè)為正,左側(cè)為負(fù);正切函數(shù)值符號(hào)取決于點(diǎn)P橫、縱坐標(biāo)符號(hào),同號(hào)為正,異號(hào)為負(fù).思考辨析終邊在x軸的正半軸上的角的余弦大于0還是小于0?提示

大于0.因?yàn)閤軸的正半軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于0,所以其余弦值大于0.自主診斷1.已知α是第二象限角,則點(diǎn)P(cosα,tanα)在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限C解析

因?yàn)棣潦堑诙笙藿?所以cos

α<0,tan

α<0,所以P(cos

α,tan

α)在第三象限.故選C.2.[北師大版教材習(xí)題]在單位圓中,確定下列三角函數(shù)值的符號(hào).

知識(shí)點(diǎn)3

誘導(dǎo)公式一1.語言表示:終邊相同的角的

三角函數(shù)的值相等.

2.式子表示:(1)sin(α+k·2π)=

,

(2)cos(α+k·2π)=

,

(3)tan(α+k·2π)=

,其中k∈Z.

思考辨析設(shè)角α的終邊在x軸正半軸上,則cosα等于多少?同一

sinαcosαtanα提示

因?yàn)榇藭r(shí)角α與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以cos

α=1.

自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)一個(gè)三角函數(shù)值能找到無數(shù)個(gè)角與之對(duì)應(yīng).(

)(2)若兩個(gè)角α,β的正弦值相等,那么α=β.(

)√×2重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值【例1-1】

求解下列各題:(1)若角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是P(x<0),則sinα=

,cosα=

,tanα=

;

【例1-2】

已知角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊在射線4x-3y=0(x≤0)上,則cosα-sinα=

.

解析

∵角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊在射線4x-3y=0(x≤0)上,設(shè)終邊上一點(diǎn)P(x,y),|OP|=r≠0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).不妨令x=-3,則y=-4,變式探究在本例中將“射線4x-3y=0(x≤0)”改為“直線4x-3y=0(x≠0)”.規(guī)律方法利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值的幾種情況(1)若已知角,則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo),即可求出各三角函數(shù)值.(2)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x,y)(x≠0)是單位圓上的點(diǎn),則sin

α=y,cos

α=x,(3)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x,y)(不與原點(diǎn)重合)不是單位圓上一點(diǎn),則先求

(4)若已知角α終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù),則需進(jìn)行分類討論.

變式訓(xùn)練1(1)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)

,則sinα=

,cosα=

,tanα=

;

探究點(diǎn)二三角函數(shù)值符號(hào)的運(yùn)用【例2】

(1)若sinαtanα<0,且

<0,則角α是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C解析

由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α異號(hào),從而α為第二或第三象限角.由

<0可知cos

α,tan

α異號(hào),從而α為第三或第四象限角.綜上可知,α為第三象限角.故選C.(2)[人教B版教材例題]確定下列各值的符號(hào):規(guī)律方法判斷三角函數(shù)值在各象限符號(hào)的攻略(1)基礎(chǔ):準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限;(2)關(guān)鍵:準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號(hào);(3)注意:用弧度制給出的角常常不寫單位,不要誤認(rèn)為角度導(dǎo)致象限判斷錯(cuò)誤.注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限的符號(hào).變式訓(xùn)練2(1)[2024遼寧高一期中]已知P(sin1,cos2),則點(diǎn)P所在象限為(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限D(zhuǎn)解析

因?yàn)?是第一象限角,2是第二象限角,所以sin

1>0,cos

2<0,所以點(diǎn)P所在象限為第四象限.故選D.(2)判斷下列各式的符號(hào):①sin105°cos230°;解

∵105°,230°分別為第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0,∴sin

105°cos

230°<0.探究點(diǎn)三誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用【例3】

求下列各式的值:(1)sin(-1380°)+cos390°+tan(-300°);規(guī)律方法誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用策略(1)誘導(dǎo)公式一可以統(tǒng)一寫成f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的實(shí)質(zhì)是終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等;(2)利用它可把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0~2π范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值,以便實(shí)現(xiàn)把角大化小,負(fù)化正.變式訓(xùn)練3求下列三角函數(shù)值:學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12345B123452.若角α的終邊過點(diǎn)(5,12),則cosα-sinα=(

)C123453.(多選題)若sinθcosθ>0,則θ是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角AC解析

因?yàn)閟in

θcos

θ>0,所以sin

θ<0,cos

θ<0或