1.5全稱量詞與存在量詞

1.5全稱量詞與存在量詞知識點一全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析【【解題思路】判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的方法判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的關(guān)鍵是看量詞．由于某些全稱量詞命題的量詞可能省略，所以要根據(jù)命題表達(dá)的意義判斷，同時要會用相應(yīng)的量詞符號正確表達(dá)命題．【例1】（2223高一·全國·單元測試）指出下列命題中的全稱量詞或存在量詞，并用量詞符號“”或“”表示下列命題．(1)所有實數(shù)都能使成立；(2)對所有實數(shù)，，方程恰有一個解；(3)存在整數(shù)，，使得成立；(4)存在實數(shù)，使得與的倒數(shù)之和等于1．【答案】(1)“所有”是全稱量詞；，(2)“所有”是全稱量詞；，，方程恰有一個解(3)“存在”是存在量詞；，，(4)“存在”是存在量詞；，【解析】（1）“所有”是全稱量詞；，；（2）“所有”是全稱量詞；，，方程恰有一個解；（3）“存在”是存在量詞；，，；（4）“存在”是存在量詞；，．【變式】1．（2024新疆）判斷下列命題屬于全稱命題還是特稱命題，并用數(shù)學(xué)量詞符號改寫下列命題：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0無實數(shù)根；（2）存在一對實數(shù)x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）存在一個三角形沒有外接圓；（4）實數(shù)的平方大于等于0.【答案】（1）全稱命題；?m＞1，方程x2﹣2x+m＝0無實數(shù)根；（2）特稱命題；?一對實數(shù)x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）特稱命題；?一個三角形沒有外接圓；（4）全稱命題；?x∈R，x2≥0.【解析】（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0無實數(shù)根，是一個全稱命題，用符號表示為：?m＞1，方程x2﹣2x+m＝0無實數(shù)根；（2）存在一對實數(shù)x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一個特稱命題，用符號表示為：?一對實數(shù)x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）存在一個三角形沒有外接圓，是一個特稱命題，用符號表示為：?一個三角形沒有外接圓；（4）實數(shù)的平方大于等于0，是一個全稱命題，用符號表示為：?x∈R，x2≥0.2．（2023高一·江蘇·專題練習(xí)）判斷下列命題是全稱量詞命題，還是存在量詞命題：(1)正方形的四條邊相等；(2)至少有一個正整數(shù)是偶數(shù)；(3)正數(shù)的平方根不等于0；(4)有兩個角為45°的三角形是等腰直角三角形.【答案】(1)全稱量詞命題(2)存在量詞命題(3)全稱量詞命題(4)全稱量詞命題【解析】（1）正方形的四條邊相等可以理解為所有正方形的四條邊都相等，所以是全稱量詞命題；（2）至少有一個正整數(shù)是偶數(shù)可以理解為至少存在一個正整數(shù)是偶數(shù)，所以是存在量詞命題；（3）正數(shù)的平方根不等于0可以理解為所有正數(shù)的平方根都不等于0，所以是全稱量詞命題；（4）有兩個角為45°的三角形是等腰直角三角形可以理解為所有的有兩個角為45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全稱量詞命題.3．（2223·江蘇·專題練習(xí)）用量詞符號“”、“”表示下列命題，并判斷下列命題的真假．（1）任意實數(shù)都有，；（2）存在實數(shù)，；（3）存在一對實數(shù)、，使成立；（4）有理數(shù)的平方仍為有理數(shù)；（5）實數(shù)的平方大于：（6）有一個實數(shù)乘以任意一個實數(shù)都等于．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析；（5）答案見解析；（6）答案見解析.【解析】（1）命題為：，假命題，當(dāng)時，結(jié)論不成立；（2）命題為：，假命題，對任意的，；（3）命題為：、，，真命題，如，，則；（4）命題為：，，真命題；（5）命題為：，，假命題，當(dāng)時，命題不成立；（6）命題為：，，有，真命題，即滿足．知識點二全稱量詞命題與存在量詞命題的真假的判斷【【解題思路】判斷一個命題為真命題應(yīng)給出證明，判斷一個命題為假命題只需舉出反例，具體而言(1)要判定一個存在量詞命題為真，只要在給定的集合內(nèi)找到一個元素x，使p(x)成立即可，否則命題為假．(2)要判定一個全稱量詞命題為真，必須對給定集合內(nèi)的每一個元素x，p(x)都成立，但要判定一個全稱量詞命題為假時，只要在給定的集合內(nèi)找到一個x，使p(x)不成立即可．【例2】（2324湖北）用量詞符號“?”“?”表述下列命題，并判斷真假.（1）所有實數(shù)x都能使x2+x+1＞0成立；（2）對所有實數(shù)a，b，方程ax+b＝0恰有一個解；（3）一定有整數(shù)x，y，使得3x﹣2y＝10成立；（4）所有的有理數(shù)x都能使x2x+1是有理數(shù).【答案】（1）?x∈R，x2+x+1＞0；真命題；（2）?a，b∈R，ax+b＝0恰有一個解；假命題；（3）?x，y∈Z，3x﹣2y＝10；真命題；（4）?x∈Q，x2x+1是有理數(shù)；真命題.【解析】對于（1），所有實數(shù)x都能使x2+x+1＞0成立，改寫為：?x∈R，x2+x+1＞0，因為判別式＝1﹣4＝﹣3＜0，所以x2+x+1＞0，（1）是真命題；對于（2），對所有實數(shù)a，b，方程ax+b＝0恰有一個解，改寫為：?a，b∈R，ax+b＝0恰有一個解，因為a＝0，b≠0時，方程ax+b＝0無解，所以（2）是假命題；對于（3），一定有整數(shù)x，y，使得3x﹣2y＝10成立，改寫為：?x，y∈Z，3x﹣2y＝10，因為x＝4，y＝1時，3×4﹣2×1＝10，所以（3）是真命題；對于（4），所有的有理數(shù)x都能使x2x+1是有理數(shù)，改寫為：?x∈Q，x2x+1是有理數(shù)，因為、、1和x都是有理數(shù)，所以x2x+1是有理數(shù)，（4）是真命題.【變式】1．（2324高一上·貴州貴陽·階段練習(xí)）下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的是（

）A．所有的素數(shù)都是奇數(shù) B．，C．有一個實數(shù)，使 D．有些平行四邊形是菱形【答案】B【解析】對于A，“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是全稱量詞命題，但是假命題，例如2是素數(shù)，但2是偶數(shù)，所以A錯誤；對于B，易知“，”是全稱量詞命題，且由可得，所以是真命題，即B正確；對于C，“有一個實數(shù)，使”是存在量詞命題，不合題意；對于D，“有些平行四邊形是菱形”是存在量詞命題，不合題意；故選：B2．（2324高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）（多選）下列命題中，是存在量詞命題且是真命題的是（

）A． B．C．至少有一個無理數(shù)，使得是有理數(shù) D．有的有理數(shù)沒有倒數(shù)【答案】CD【解析】對于A，命題是全稱量詞命題，故A錯誤；對于B，由方程，，方程無解，所以B是假命題，故B錯誤；對于C，命題是存在量詞命題，且，使得是有理數(shù)，所以C是真命題，故C正確；對于D，有理數(shù)0沒有倒數(shù)，所以D是真命題，故D正確．故選：CD．3．（2324高一上·吉林·階段練習(xí)）（多選）下列四個命題中，是存在量詞命題并且是真命題的是（

）A．存在實數(shù)，使B．有一個無理數(shù)，它的立方是有理數(shù)C．存在一個實數(shù)，它的倒數(shù)是它的相反數(shù)D．每個三角形的內(nèi)角和都是【答案】AB【解析】A中，命題：存在實數(shù)，使為存在量詞命題，且為真命題，所以A正確；B中，命題：有一個無理數(shù)，它的立方是有理數(shù)為存在量詞命題，且為真命題，所以B正確；C中，命題：存在一個實數(shù)，它的倒數(shù)是它的相反數(shù)為存在量詞命題，但為假命題，所以C不正確；D中，命題：每個三角形的內(nèi)角和都是為全稱量詞命題，所以D不正確.故選：AB.知識點三全稱量詞命題和存在量詞命題的否定【【解題思路】1.全稱量詞命題否定的關(guān)注點(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，?(2)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，對省略全稱量詞的全稱量詞命題可補上量詞后進(jìn)行否定．2.存在量詞命題否定的關(guān)注點(1)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫命題的否定時要分別改變其中的量詞和判斷詞．即p：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，?P(2)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，對省略存在量詞的存在量詞命題可補上量詞后進(jìn)行否定．總結(jié)：前換字母，后面否定【例31】（2324高一上·四川樂山·期中）命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，可知命題，的否定為，．故選：D【例32】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知命題，則為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，全稱命題的否定是特稱命題，可得：命題的否定為：為．故選：C．【變式】1．（2324高一上·吉林延邊·階段練習(xí)）命題“”的否定為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“”的否定為“”.故選：B.2．（2324高一上·云南昆明·期末）命題的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】命題的否定是“”.故選：D.3．（2223高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）命題，的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】全稱存在命題的否定是存在量詞命題，并且否定結(jié)論，所以命題，的否定是，.故選：A重難點一根據(jù)量詞求參數(shù)【【解題思路】依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)取值范圍(1)對于全稱量詞命題“?x∈M，a>y(或a<y)”為真的問題，實質(zhì)就是不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)．(2)對于存在量詞命題“?x∈M，a>y(或a<y)”為真的問題，實質(zhì)就是不等式能成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)．【例41】（2324高一上·云南昆明·期中）若命題“”是真命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若命題“”是真命題，則當(dāng)時，不等式為對恒成立；當(dāng)時，要使得不等式恒成立，則，解得綜上，的取值范圍為.故選：D.【例42】（2223高一上·河南平頂山·階段練習(xí)）已知集合，，且．(1)若是真命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是真命題，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）由于是真命題，所以．而，所以，解得，故的取值范圍為．（2）因為，所以，解得．由為真命題，得，當(dāng)時，或，解得．因為，所以當(dāng)時，；所以當(dāng)時，．故的取值范圍為．【變式】1．（2223高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）若命題“”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知：是上述原命題的否定形式，故其為真命題，則方程有實數(shù)根，即．故選：A．2．（2324湖北）已知集合，，且．(1)若命題p：“，”是真命題，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若命題q：“，”是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）由命題p：“，”是真命題，可知，又，所以，解得．（2）因為，所以，得．因為命題q：“，”是真命題，所以，所以，或，得．綜上，．3．（2324高一上·吉林·階段練習(xí)）已知集合.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)命題：“，使得”是真命題，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）若，滿足，此時，即，當(dāng)時，要使，則，即，即，綜上實數(shù)的取值范圍為.（2）命題：“，使得”是真命題，等價于，若時，當(dāng)，滿足，此時，即，當(dāng)時，，若，則滿足或，即或，綜上若，得或，則當(dāng)時，即實數(shù)的取值范圍是.單選題1．（2324高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）下列命題中是全稱量詞命題且真命題的是（

）A．所有的素數(shù)都是奇數(shù) B．有些梯形是等腰梯形C．平行四邊形的對角線互相平分 D．，【答案】C【解析】A中，因為是素數(shù)，不是奇數(shù)，命題所有的素數(shù)都是奇數(shù)是全稱量詞命題且是假命題；B中，該命題是存在量詞命題且是真命題；C中，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得該命題是全稱量詞命題且是真命題；D中，該命題是存在量詞命題且是假命題.故選：C.2．（2324高一上·青海海東·階段練習(xí)）若“”為真命題，“”為假命題，則集合可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若“”為真命題，則A錯誤，又“”為假命題，則“”為真命題，則B,D錯誤，則集合可以是.故選：C3．（2324高三上·寧夏銀川·期中）“，恒成立”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，恒成立，當(dāng)時恒成立，當(dāng)時，解得，綜上可得，所以“，恒成立”是“”的充要條件.故選：C4．（2324高一上·江蘇南京·期中）若命題“，使得”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知=“，使得”成立，即方程有實數(shù)解，所以.故選：D5．（2023秋·廣西柳州）已知命題的否定為“，”，則下列說法中正確的是（

）A．命題為“，”且為真命題B．命題為“，”且為假命題C．命題為“，”且為假命題D．命題為“，”且為真命題【答案】C【解析】命題的否定為特稱命題，：，，當(dāng)時，，為假命題，ABD錯誤，C正確.故選：C.6（2024福建龍巖）已知命題：，，若是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若命題為真命題則，，，即.又是真命題，即命題為假命題，即.故選：D.7（2023·山西晉城）已知命題，，若命題p是假命題，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】命題，是假命題，，恒成立是真命題；當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，需，，解得，當(dāng)時，，不可能滿足恒成立，綜上可得a的取值范圍為.8（2023·福建廈門）命題“”為假命題的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】命題“，”為假命題，即命題“，”為真命題，則，解得，對于A：是命題“”為假命題的充要條件，即選項A錯誤；對于B：是的真子集，所以是“”為假命題的一個充分不必要條件，故選項B錯誤；對于C：是的真子集，所以是“”為假命題的一個必要不充分條件，故選項C正確；對于D：與無包含關(guān)系，所以是“”為假命題的一個既不充分也不必要條件，故選項D錯誤.故選：C.多選題9．（2324高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（

）A．矩形的對角線互相平分且相等B．對任意非正數(shù)c，若，則C．有些菱形不是平行四邊形D．對任意實數(shù)x，不等式恒成立【答案】ABD【解析】A選項，矩形的對角線互相平分且相等，為全稱量詞命題，且是真命題，A正確；B選項，對任意非正數(shù)c，若，則，為全稱命題，且是真命題，B正確；C選項，有些菱形不是平行四邊形為存在量詞命題，C錯誤；D選項，對任意實數(shù)x，不等式恒成立，為全稱量詞命題，因為，故不等式恒成立，為真命題，D正確.故選：ABD10．（2324高一下·湖南株洲·開學(xué)考試）下列四個命題中是假命題的為（

）A．使 B．使C． D．【答案】ABC【解析】對于A.由可得，故不存在，使，A錯誤，對于B，由得，故不存在，使，B錯誤，對于C，當(dāng)時，，故C錯誤，對于D,由于，故，D正確，故選：ABC11．（2324高一上·浙江杭州·期中）已知命題，為假命題，則a可能的取值有（

）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】命題，為假命題，則，.當(dāng)時滿足題意；當(dāng)時，有，解得.綜上有故選：ABC填空題12．（2324高一下·四川瀘州·期中）命題“，”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】，，為真命題，故，解得，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：13．（2324湖北）下列哪些命題是真命題？（1）是的充要條件（2）（3），使得（4）若為無理數(shù)，則為無理數(shù)【答案】（1）（2）（3）【解析】對（1）顯然是成立的，故（1）是真命題；對（2）當(dāng)時，，，故（2）是真命題；對（3）取，其中是不大于的最大整數(shù)，即的整數(shù)部分，則，令，則，故（3）為真命題；對（4）取，，可以驗證（4）是假命題.故答案為：（1）（2）（3）14．（2324高一上·重慶合川·階段練習(xí)）已知命題且，命題恒成立，若與不同時為真命題，則的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)命題為真命題時，，當(dāng)命題為真命題時，，即，所以與同時為真命題時有，解得，故與不同時為真命題時，的取值范圍是．故答案為：解答題15．（2324高一上·寧夏吳忠·期中）已知集合，．(1)時，求(2)若命題：“，”是真命題，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）時，=，故=；（2）若命題：“，”是真命題，則，若，若，解得，綜上得.16．（2324高一下·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知命題：“，使等式成立”是真命題.(1)求實數(shù)的取值集合；(2)設(shè)不等式的解集為，若是的必要條