浙教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)直角三角形與直角三角形全等的判定專項(xiàng)考點(diǎn)訓(xùn)練

直角三角形與直角三角形全等的判定專項(xiàng)考點(diǎn)訓(xùn)練班級(jí)：姓名：考點(diǎn)一：直角三角形兩個(gè)銳角互余例1．如圖，AB∥CD，AC⊥BC于點(diǎn)C，∠2=25°，則∠1的度數(shù)為（A．60° B．65° C．55° D．45°變式1-1．如圖，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A在直線a上，斜邊BC在直線b上，若a∥b，∠1=55°，則∠2A．35° B．45° C．55° D．65°變式1-2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AC，∠BAC=50°，∠EBC=20°，則∠ADC的度數(shù)為（

）A．95° B．85° C．75° D．60°考點(diǎn)二：含30°角的直角三角形例2．如圖是某公園一段索道的示意圖，已知A、B分別為索道的起點(diǎn)和終點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)間的距離AB為40米，∠BAC=30°，則纜車從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程（BC的長）為（

）A．20米 B．17.5米 C．15米 D．12.5米變式2-1．如圖，在△ABC中，∠BAC=50°,∠ACB=70°,AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則∠BFD的度數(shù)是（

）A．30° B．50° C．60° D．70°變式2-2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在BC的延長線上，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F．若∠B=46°,∠E=30°，則∠ACE的度數(shù)為（

）A．88° B．80° C．74° D．60°考點(diǎn)三：斜邊的中線等于斜邊的一半例3．如圖，一根長5米的梯子AB斜靠在與地面OC垂直的墻上，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，當(dāng)梯子的一端A沿墻面AO向下移動(dòng)，另一端B沿OC向右移動(dòng)時(shí)，OP的長（

）A．逐漸增大 B．逐漸減小 C．不變 D．先增大，后減小變式3-1．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,D是邊BC的中點(diǎn)，若AC=6,BC=10，則AD的長是（

）A．4 B．5 C．6 D．8變式3-2．如圖，在Rt△ABC中，CE是斜邊AB上的中線，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠A=22.5°，則∠DCE的度數(shù)為（

A．30° B．55° C．50° D．45°考點(diǎn)四：用HL判定直角三角形全等例4．如圖，已知AB⊥AC，CD⊥AC，若用“HL”判定Rt△ABC和Rt△CDA全等，則需要添加的條件是（

A．∠B=∠D B．∠ACB=∠CAD C．AB=CD D．AD=CB變式4-1．如圖，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，BE=DF，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌A．∠A=∠C B．AB=CD C．∠B=∠D D．AE=CF變式4-2．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP相交于點(diǎn)P，若∠BPC=40°，則∠CAP的度數(shù)為（

）

A．40° B．50° C．55° D．60°考點(diǎn)五：直角三角形全等綜合題例5．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在(1)求證:BE=BF;(2)若∠CAE=25°，求∠ACF變式5-1．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)A在邊BC的垂直平分線上，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD、CE分別垂直于直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E，且BD=AE．(1)求證：△ABD≌(2)取邊BC的中點(diǎn)F，連接EF，求證：EF平分∠DEC．

參考答案考點(diǎn)一：直角三角形兩個(gè)銳角互余例1．如圖，AB∥CD，AC⊥BC于點(diǎn)C，∠2=25°，則∠1的度數(shù)為（A．60° B．65° C．55° D．45°【答案】B【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠2=25°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠1=90°?∠ABC=90°?25°=65°，∴∠1的度數(shù)為65°．故選：B．變式1-1．如圖，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A在直線a上，斜邊BC在直線b上，若a∥b，∠1=55°，則∠2A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】A【詳解】解：∵a∥b，∴∠ABC=∠1=55°，∵∠BAC=90°，∴∠2=90°?∠ABC=90°?55°=35°，故選：A．變式1-2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AC，∠BAC=50°，∠EBC=20°，則∠ADC的度數(shù)為（

）A．95° B．85° C．75° D．60°【答案】B【詳解】解：∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，∠BAC=50°，∴∠BAD=1∴∠ABE=40°，∵∠EBC=20°，∴∠ADC=∠ABD+∠BAD=∠ABE+∠EBC+∠BAD=40°+20°+25°=85°．故選：B．考點(diǎn)二：含30°角的直角三角形例2．如圖是某公園一段索道的示意圖，已知A、B分別為索道的起點(diǎn)和終點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)間的距離AB為40米，∠BAC=30°，則纜車從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程（BC的長）為（

）A．20米 B．17.5米 C．15米 D．12.5米【答案】A【詳解】解：∵BC⊥AC，∴∠ACB=90°，∵AB=40米，∠BAC=30°，∴BC=1故選：A．變式2-1．如圖，在△ABC中，∠BAC=50°,∠ACB=70°,AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則∠BFD的度數(shù)是（

）A．30° B．50° C．60° D．70°【答案】C【詳解】解：在△ABC中，∠BAC=50°,∠ACB=70°，∴∠ABC=180°?∠BAC+∠ACB∵BE平分∠ABC，，∴∠CBE=1∵AD⊥BC，∴△BDF為直角三角形，∴∠BFD=90°?∠CBE=60°．故選：C．變式2-2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在BC的延長線上，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F．若∠B=46°,∠E=30°，則∠ACE的度數(shù)為（

）A．88° B．80° C．74° D．60°【答案】C【詳解】解：∵EF⊥AD，∴∠EFD=90°，∵∠E=30°，∴∠ADC=90°?∠E=90°?30°=60°，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC?∠B=60°?46°=14°∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=28°，∴∠ACE=∠B+∠BAC=46°+28°=74°故選：C考點(diǎn)三：斜邊的中線等于斜邊的一半例3．如圖，一根長5米的梯子AB斜靠在與地面OC垂直的墻上，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，當(dāng)梯子的一端A沿墻面AO向下移動(dòng)，另一端B沿OC向右移動(dòng)時(shí)，OP的長（

）A．逐漸增大 B．逐漸減小 C．不變 D．先增大，后減小【答案】C【詳解】解：∵AO⊥BO，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，∴∠AOB=90°，OP是斜邊AB的中線，∴OP=1∴在滑動(dòng)的過程中OP的長度不變．故選C．變式3-1．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,D是邊BC的中點(diǎn)，若AC=6,BC=10，則AD的長是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【詳解】解：∵∠BAC=90°,D是邊BC的中點(diǎn)，BC=10，∴AD=1故選：B．變式3-2．如圖，在Rt△ABC中，CE是斜邊AB上的中線，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠A=22.5°，則∠DCE的度數(shù)為（

A．30° B．55° C．50° D．45°【答案】D【詳解】解：∵在Rt△ABC中，CE是斜邊AB上的中線，∠A=22.5°，∴CE=AE=1∴∠ACE=∠A=22.5°，∴∠CED=∠A+∠ACE=45°，∵CD⊥AB，∴∠DCE=90°?∠CED=90°?45°=45°．故選：D．考點(diǎn)四：用HL判定直角三角形全等例4．如圖，已知AB⊥AC，CD⊥AC，若用“HL”判定Rt△ABC和Rt△CDA全等，則需要添加的條件是（

A．∠B=∠D B．∠ACB=∠CAD C．AB=CD D．AD=CB【答案】D【詳解】解：∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴∠BAC=∠DCA=90°，在Rt△ABC和Rt△CDA中，AC=CAAD=CB∴Rt△ABC≌Rt△CDAHL故選：D．變式4-1．如圖，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，BE=DF，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌A．∠A=∠C B．AB=CD C．∠B=∠D D．AE=CF【答案】B【詳解】解：在Rt△ABE和Rt△CDF中，BE=DFAB=CD∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，故選：B．變式4-2．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP相交于點(diǎn)P，若∠BPC=40°，則∠CAP的度數(shù)為（

）

A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】B【詳解】解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，

設(shè)∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD?∠BPC=(x?40)°，∴∠BAC=∠ACD?∠ABC=2x°?(x°?40°)?(x°?40°)=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PAPM=PF∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP=∠CAP=50°．故選B．考點(diǎn)五：直角三角形全等綜合題例5．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在(1)求證:BE=BF;(2)若∠CAE=25°，求∠ACF【詳解】（1）證明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE=CFAB=CB∴Rt△ABE≌Rt△CBFHL∴BE=BF；（2）解：∵∠ABC=90°，AB=CB，∴∠ACB=∠CAB=1∵∠CAE=25°，∴∠BAE=∠BAC?∠CAE=20°，∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=20°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=65°.變式5-1．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)A在邊BC的垂直平分線上，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD、CE分別垂直于直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E，且BD=AE．(1)求證：△ABD≌(2)取邊BC的中點(diǎn)F，連接EF，求證：EF平分∠DEC．【詳解】（1）∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠AEC=∠CED=∠ADB=90°，△AEC與△BDA為直角三角形，∵點(diǎn)A在邊BC垂直平分線上，∴AC=BA，在Rt△ACE也Rt△BAD中，AE=BDAC=BA∴Rt△ACE≌Rt△BAD(HL)，即△ABD≌△CAE；（2）設(shè)l交BC于點(diǎn)Q，連接AF，過F作FM⊥CE于M，作FN⊥AD于N，∴∠CMF=