排列組合概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)

排列組合是學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的預(yù)備知識，現(xiàn)將二者涉及的知識點(diǎn)歸納總結(jié)如下一、兩條基本原理1.加法原理設(shè)完成一件事有n類方式，第一類方式有m1種方法，第二類方式有m2種方法,…；

第n類方式有mn種方法,則完成這件事總共有m1+m2+…+mn

種方法.特點(diǎn):一步完成1例1,某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘汽車、輪船、汽車有3班輪船有2班那么從甲地到乙地共有幾種方法?3+2+4+1=10

種方法回答是2火車、飛機(jī).火車有4班飛機(jī)有1班一、兩條基本原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有n個步驟，第一個步驟有m1種方法，第二個步驟有m2種方法,…；

第n個步驟有mn種方法,特點(diǎn)：多步完成

例2,從甲地到丙地必須經(jīng)過乙地，從甲地到乙地有3條路線，從乙地到丙地有2條路線，則從甲地到丙地共有種走法.3注4以上兩條基本原理在排列組合中將會反復(fù)使用.這兩條原理回答的都是“關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問題”，但又有本質(zhì)區(qū)別：加法原理針對的是“分類”問題，乘法原理針對的是“分步”問題.二、排列1、元素不允許重復(fù)的排列:例3從4面不同顏色的旗子中，選出3面排成一排作為一種信號，能組成多少種信號？5解解決這個問題需要分為三步第一步，先選第1面旗子，有4種選法；第二步，在剩下的3種顏色中，再選第2面旗子，有3種選法；第三步，在剩下的2種顏色中，選最后一面旗子，有2種選法；根據(jù)乘法原理，共有4×3×2=24種選法每種選法對應(yīng)一種信號，故共能組成24種信號定義1從n個不同的元素中取m(m≤n)個不同的元素,按照一定的順序排成一列,叫作從n個不同的元素中取出m個元素的排列.所有這樣排列的個數(shù)稱為排列數(shù),記為特別,m=n時稱全排列排列階乘6規(guī)定例4用1,2,3,4四個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？7解這是從1,2,3,4四個數(shù)字中，任意選出三個數(shù)字排成一排，有多少種排法的排列問題.所以，用1,2,3,4四個數(shù)字，可以組成24個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).2、元素允許重復(fù)的排列:元素允許重復(fù)包括元素重復(fù)和元素不重復(fù)兩種情況，8元素允許重復(fù)的排列指的是在排列中允許出現(xiàn)相同的元素.下面討論從n個不同的元素中允許重復(fù)地任取m個元素組成的排列的方法種數(shù).從n個不同的元素中任取一個放在第一個位置上然后把該元素放回去，再從這n個元素中任取一個放在第二個位置上仍有n種方法，……按這種方法進(jìn)行m次，每次都有n種方法根據(jù)乘法原理，可從n個不同元素中允許重復(fù)地任取m個元素組成的重復(fù)排列的個數(shù)為共有n種方法，例5由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字所組成的四位數(shù)中，求：（1）沒有重復(fù)的數(shù)字有幾個；（2）四個數(shù)字都相同的有幾個；（3）恰好有三個數(shù)字相同的有幾個？9解(1)千位因此由乘法原理可以組成9×9×8×7=4536個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).除0外有9種不同取法百位有9種不同取法十位有8種不同取法個位有7種不同取法例5由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字所組成的四位數(shù)中，求：（1）沒有重復(fù)的數(shù)字有幾個；（2）四個數(shù)字都相同的有幾個；（3）恰好有三個數(shù)字相同的有幾個？10解(2)由于千位上的數(shù)字有9種不同的取法，又由于四個數(shù)字都相同那么千位上的數(shù)字取定后，百位、十位、個位上的數(shù)字也相應(yīng)取定，故四個數(shù)字都相同的四位數(shù)有9個.11解(3)個位十位百位千位由加法原理,恰好有三個數(shù)字相同的四位數(shù)的個數(shù)為81+81+81+81=324滿足要求的四位數(shù)個數(shù)為9×9=81個個位十位百位千位滿足要求的四位數(shù)個數(shù)為9×9=81個個位十位百位千位滿足要求的四位數(shù)個數(shù)為9×9=81個個位十位百位千位滿足要求的四位數(shù)個數(shù)為9×9=81個三、組合12通過對排列的討論可知，它是一個與次序有關(guān)的概念，例如從甲地到乙地的火車票與從乙地到甲地的火車票是兩種不同的火車票，又如選同學(xué)A任班長、同學(xué)B任副班長與選同學(xué)任A副班長、同學(xué)B任班長是兩種不同的職務(wù)安排.但在實(shí)際問題中經(jīng)常遇到一些與次序無關(guān)的問題：如選A、B兩人為代表出席一個會議與選B、A兩人為代表是同一種選法，又如“會計(jì)學(xué)與金融學(xué)專業(yè)之間進(jìn)行足球賽”和“金融學(xué)與會計(jì)學(xué)專業(yè)之間進(jìn)行足球賽”是同一場比賽，因此這是一個與排列概念不同的問題.定義2從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素為一組,叫作從n個不同的元素中取出m個元素的組合.所有這樣組合的個數(shù)稱為組合數(shù),記為組合13證從n個不同的元素中取m個的元素進(jìn)行排列可分為兩步第一步：從n個不同的元素中取m個元素，第二步：把取出的m個元素進(jìn)行排列，根據(jù)乘法原理有證畢14注對于實(shí)際問題，要正確判別其是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵在于區(qū)別要不要將所取的元素進(jìn)行排列，若要排列則是排列問題，若無需排列則是組合問題.組合數(shù)性質(zhì)規(guī)定推廣:n個元素分為s組，各組元素?cái)?shù)目分別為r1,r2,…,rs的分法總數(shù)為15例6盒子中有3個紅球6個白球，任取5個球，求：（1）共有多少種取法；（2）恰好有1個紅球的取法數(shù)；（3）至少有2個紅球的取法數(shù)；（4）至多有1個紅球的取法數(shù).18解(1)從3+6=9個球中任取5個球，(2)任取5個球中恰好有1個紅球，即所取球中1紅4白，完成這件事情需要經(jīng)過兩個步驟：先是從3個紅球中任取1個，再從6個白球中任取4個，根據(jù)乘法原理，例6盒子中有3個紅球6個白球，任取5個球，求：（1）共有多少種取法；（2）恰好有1個紅球的取法數(shù)；（3）至少有2個紅球的取法數(shù)；（4）至多有1個紅球的取法數(shù).19解(3)任取5個球中至少有2個紅球，包括“2紅3白”和“3紅2白”兩種情形，結(jié)合乘法原理和加法原理，(4)任取5個球中至多有1個紅球，包括“1紅4白”和“0紅5白”兩種情形，結(jié)合乘法原理和加法原理，例7從1,3,5,7,9中任取3個數(shù)字，從2,4,6,8中任取2個數(shù)字，一共可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？20解第一步：從1,3,5,7,9中任取3個數(shù)字，第二步：從2,4,6,8中任取2個數(shù)字，第三步：把取出的5個數(shù)字進(jìn)行排列，根據(jù)乘法原理，一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).

一、總量指標(biāo)

總量指標(biāo)又稱統(tǒng)計(jì)絕對數(shù)，它是反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一定條件下的的總規(guī)模、總水平或工作總量的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)?？偭恐笜?biāo)是我們認(rèn)識社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的起點(diǎn)，了解現(xiàn)象的基本情況一般先從總量開始。是實(shí)行社會經(jīng)濟(jì)管理的依據(jù)之一，進(jìn)行經(jīng)濟(jì)管理應(yīng)該心中有“數(shù)”，這個“數(shù)”首先就是總量指標(biāo)。，同時，總量指標(biāo)也是計(jì)算其他指標(biāo)的基礎(chǔ)，相對指標(biāo)和平均指標(biāo)都是以總量指標(biāo)為基礎(chǔ)派生的指標(biāo)。（一）總體單位總量和總體標(biāo)志總量總體單位總量，就是總體單位數(shù)，它是由每個總體單位相加匯總得到的。通過總體單位總量可以觀察總體的具體規(guī)模和水平.要確定總體單位總量首先要根據(jù)統(tǒng)計(jì)研究目的確定總體范圍?？傮w標(biāo)志總量，即總體各單位數(shù)量標(biāo)志值之和，它是由總體單位的某一數(shù)量標(biāo)志值相加匯總得到的。在一個特定總體內(nèi)，總體單位總量只有一個，但可以同時并存若干個總體標(biāo)志總量，從而產(chǎn)生一系列指標(biāo)。

二、總量指標(biāo)的種類（二）時期指標(biāo)和時點(diǎn)指標(biāo)時期指標(biāo)，是反映現(xiàn)象在一段時期內(nèi)發(fā)展過程的總量指標(biāo)。時點(diǎn)指標(biāo)，是反映現(xiàn)象在某一時點(diǎn)（瞬間）上所處狀況的總量指標(biāo)。（三）實(shí)物指標(biāo)、價(jià)值指標(biāo)和勞動指標(biāo)實(shí)物指標(biāo)，用實(shí)物單位計(jì)量的總量指標(biāo)。價(jià)值指標(biāo)，又稱貨幣指標(biāo)，是用貨幣單位計(jì)量的總量指標(biāo)?？偭恐笜?biāo)的計(jì)量形式都是有名數(shù)，都有計(jì)量單位。勞動量指標(biāo)，是用勞動量單位計(jì)量的總量指標(biāo)。直接計(jì)算法間接推算法

三、總量指標(biāo)的計(jì)算方法總量指標(biāo)數(shù)值都是通過對總體單位進(jìn)行全面調(diào)查登記，采用直接計(jì)數(shù)、點(diǎn)數(shù)或測量等方法，逐步計(jì)算匯總得出的。采用社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的平衡關(guān)系、因果關(guān)系、比例關(guān)系或利用非全面調(diào)查資料進(jìn)行推算總量的方法。注意現(xiàn)象的同質(zhì)性正確確定每項(xiàng)指標(biāo)的計(jì)算單位

四、計(jì)算和應(yīng)用總量指標(biāo)應(yīng)注意的問題三二一相對指標(biāo)的運(yùn)用原則相對指標(biāo)的計(jì)算指標(biāo)的含義和作用任務(wù)二相對指標(biāo)當(dāng)我們剖析事物變動中的相互關(guān)系及其后果時，就需要相對指標(biāo)。相對指標(biāo)有五種，把幾種相對指標(biāo)結(jié)合起來運(yùn)用，可以比較、分析現(xiàn)象變動中的相互關(guān)系，更好地闡明現(xiàn)象之間的發(fā)展變化情況。導(dǎo)入案例：

相對指標(biāo)是社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中兩個相互有聯(lián)系的指標(biāo)數(shù)值之比所得到的比率或比值，來反映現(xiàn)象的發(fā)展程度、結(jié)構(gòu)、強(qiáng)度、普遍程度或比例關(guān)系。

相對指標(biāo)也稱作相對數(shù)，其數(shù)值有兩種表現(xiàn)形式：無名數(shù)和復(fù)名數(shù)。無名數(shù)是一種抽象化的數(shù)值，多以系數(shù)、倍數(shù)、成數(shù)、百分?jǐn)?shù)或千分?jǐn)?shù)表示。復(fù)名數(shù)主要用來表示強(qiáng)度的相對指標(biāo)，以表明事物的密度、強(qiáng)度和普遍程度等。例如，人均糧食產(chǎn)量用“千克/人”表示，人口密度用“人/平方公里”表示。

一、指標(biāo)的含義和作用相對指標(biāo)=相對指標(biāo)的作用

（1）相對指標(biāo)通過數(shù)量之間的對比，可以表明事物相關(guān)程度、發(fā)展程度，它可以彌補(bǔ)總量指標(biāo)的不足，使人們清楚了解現(xiàn)象的相對水平和普遍程度。（2）把現(xiàn)象的絕對差異抽象化，使原來無法直接對比的指標(biāo)變?yōu)榭杀?。?）說明總體內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征，為深入分析事物的性質(zhì)提供依據(jù)。

二、相對指標(biāo)的計(jì)算結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)比較相對指標(biāo)計(jì)劃完成程度相對指標(biāo)強(qiáng)度相對指標(biāo)動態(tài)相對指標(biāo)1.結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)產(chǎn)業(yè)年份20132014201520162017第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)第三產(chǎn)業(yè)9.344.046.79.143.147.88.840.950.38.639.851.67.940.551.6合計(jì)100100100100100表4-1我國2013-2017年三次產(chǎn)業(yè)占GDP的比重單位：％表4-450名男性大學(xué)生身高數(shù)據(jù)排序結(jié)果

單位：cm例4.14152161165168169171172174176181155162166168169171172174176181157164166168170171173174177182158165167168170171173175178183160165168169170172173175179184表4-62008年天津家庭戶規(guī)模分組情況家庭戶規(guī)模戶數(shù)向上累計(jì)頻數(shù)125725728031060313602420454229625310327265133237113334823336913337合計(jì)3337-表4-550名男性大學(xué)生身高統(tǒng)計(jì)分組按身高分組（cm）頻數(shù)頻率(%）向上累計(jì)頻數(shù)向下累計(jì)頻數(shù)15016036449160~16548846165~17014282242170~17516323828175~1807144512180~185510505合計(jì)50100--眾數(shù)眾數(shù)的特點(diǎn)第一，眾數(shù)屬于位置平均數(shù)，不受極端值的影響。第二，單變量數(shù)列為均勻分布、U型分布、J型分布時，不存在眾數(shù)。第三，缺乏敏感性。這是由于眾數(shù)的計(jì)算只利用了眾數(shù)組的數(shù)據(jù)信息，不像數(shù)據(jù)平均值那樣利用了全部數(shù)據(jù)信息。中位數(shù)

中位數(shù)是將總體中各單位標(biāo)志值按大小順序排列，居于中間位置的標(biāo)志值就是中位數(shù)，用M來表示。由于中位數(shù)的位置居中，不大也不小，在某些情況下可以用來反映現(xiàn)象的一般水平。中位數(shù)對于未分組的原始資料，首先必須將標(biāo)志值按大小排序。設(shè)排序的結(jié)果為：式中：Me——中位數(shù)；L——中位數(shù)所在組下限；U——中位數(shù)所在組上限；fm——為中位數(shù)所在組的次數(shù)中位數(shù)——總次數(shù)；d——中位數(shù)所在組的組距；Sm–1——中位數(shù)所在組以下的累計(jì)次數(shù)；Sm+1——中位數(shù)所在組以上的累計(jì)次數(shù)。組距式分組確定中位數(shù)表4-450名男性大學(xué)生身高數(shù)據(jù)排序結(jié)果

單位：cm例4.15152161165168169171172174176181155162166168169171172174176181157164166168170171173174177182158165167168170171173175178183160165168169170172173175179184表4-62008年天津家庭戶規(guī)模分組情況家庭戶規(guī)模戶數(shù)向上累計(jì)頻數(shù)125725728031060313602420454229625310327265133237113334823336913337合計(jì)3337-表4-550名男性大學(xué)生身高統(tǒng)計(jì)分組按身高分組（cm）頻數(shù)頻率(%）向上累計(jì)頻數(shù)向下累計(jì)頻數(shù)15016036449160~16548846165~17014282242170~17516323828175~18071445