2024屆上海市松江區(qū)高三年級(jí)下冊(cè)質(zhì)量監(jiān)控高考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2024屆上海市松江區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控高考數(shù)學(xué)模擬試題

考生注意：

1.本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或

寫（非選擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分.

2.答題前，務(wù)必在答題紙上填寫學(xué)校、班級(jí)、姓名和考號(hào).

3.答題紙與試卷在試題編號(hào)上是一一對(duì)應(yīng)的，答題時(shí)應(yīng)特別注意，不能錯(cuò)位.

一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，第卜6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7~12

題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分.

1.函數(shù)〉=恒（》~2）的定義域?yàn)?/p>

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2）,貝|i-z=.

3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布"（3，〃），且P（3WXW5）=0.3,則P（X>5）=.

4回?zé)o

4.己知點(diǎn)A的坐標(biāo)為122將。/繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)5至。尸，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為一

5已矢口/=&+（1—1）2+…+。7（1—1）7,則“5=

6.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2兀的半圓面，則此圓錐的體積為.（結(jié)果中保留

兀）

7.己知等差數(shù)列｛"」的公差為2,前〃項(xiàng)和為若％=邑，則使得成立的"的最大

值為.

8.已知函數(shù)/GAMgzx［若/&）=/（%）。產(chǎn)工2）,則4%+%的最小值為.

22

門口j_4=l（q>O,b>0）口

9.昂鳥是雙曲線。b-'的左、右焦點(diǎn)，過久的直線/與雙曲線的左、右兩

支分別交于43兩點(diǎn)，若即:闕M阻=3：4：5,則雙曲線的離心率為

10.己知正三角形/3C的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。滿足麗=加直+〃而，且機(jī)>0,n>0,

2優(yōu)+"=1,貝"的取值范圍是.

J（a-2）x+4a+l,x<2

11.已知0<〃<2,函數(shù)12。*'x>2,若該函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

12.某校高一數(shù)學(xué)興趣小組一共有30名學(xué)生，學(xué)號(hào)分別為1,2,3,…，30,老師要隨機(jī)

挑選三名學(xué)生參加某項(xiàng)活動(dòng)，要求任意兩人的學(xué)號(hào)之差絕對(duì)值大于等于5,則有種不

同的選擇方法.

二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，第13、14

題選對(duì)得4分，第15、16題選對(duì)得5分，否則一律得零分.

13,已知集合"={刈04苫<4},B={x\x=2n,neZ}則“口8=（）

A.{IaB.伉4}

C.{0」,2}D,{0,2,4}

14.垃圾分類是保護(hù)環(huán)境，改善人居環(huán)境、促進(jìn)城市精細(xì)化管理、保障可持續(xù)發(fā)展的重要舉措.

某小區(qū)為了倡導(dǎo)居民對(duì)生活垃圾進(jìn)行分類，對(duì)垃圾分類后處理垃圾x（千克）所需的費(fèi)用

了（角）的情況作了調(diào)研，并統(tǒng)計(jì)得到下表中幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，同時(shí)用最小二乘法得到了關(guān)于

x的線性回歸方程為了=0-7x+°4,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

X2345

y22.33.4m

A.變量無、了之間呈正相關(guān)關(guān)系B.可以預(yù)測(cè)當(dāng)》=8時(shí)，）的值為6

由表格中數(shù)據(jù)知樣本中心點(diǎn)為（?）

C.加=3.9D.3§285

15.已知某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為。、b及其中.若a,b是函數(shù)>=依2-取+c的兩個(gè)

零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

fl石

3』

2'2J

A.B.、

10土

[45-11

2，

C.D.\7

設(shè)"為數(shù)列{"/的前〃項(xiàng)和，有以下兩個(gè)命題：①若{"#是公差不為零的等差數(shù)列且

16.

上eN,k>2,則是％。=0的必要非充分條件；②若包}是等比數(shù)列

且上eN,左22,則E?邑…1=0的充要條件是&+%=（）.那么（）

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，①是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

f(x)=sin2—x+V3cos—xsin—x(<y>0)、

17.設(shè)222,函數(shù)>=圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的

距離為兀.

⑴求函數(shù)y=〃x)的解析式；

(2)在“3C中，設(shè)角A、3及C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為。、6及c,若。=拒,b=6,

3

f(A)=-

2,求角C.

18.如圖，在四棱錐尸一/BCD中，底面為菱形，PD1平面N2CD,￡為尸。的中點(diǎn).

(1)設(shè)平面/BE與直線尸C相交于點(diǎn)尸，求證：EF//CD.

⑵若4?=2,ND4B=60°,PD=4^,求直線班與平面所成角的大小.

19.某素質(zhì)訓(xùn)練營(yíng)設(shè)計(jì)了一項(xiàng)闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，每次只派一個(gè)人，且每人只派

一次：如果一個(gè)人闖關(guān)失敗，再派下一個(gè)人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽

勝利，無需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為四、

必、P3,假定Pi、必、2互不相等，且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨(dú)立.

321

P]=一夕2=_P?=一

⑴計(jì)劃依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，若4,3,2,求該小組比賽勝利的概率；

(2)若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，則寫出所需派出的人員數(shù)目X的分布，并求X的期望"(X)；

(3)已知1>口>02>03,若乙只能安排在第二個(gè)派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確

定甲、丙誰先派出.

「?匕+*=1

20.如圖，橢圓,2的上、下焦點(diǎn)分別為￡、F2,過上焦點(diǎn)片與了軸垂直的直線交

橢圓于M、N兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、。分別在直線與橢圓「上.

M4E

(1)求線段"N的長(zhǎng)；

(2)若線段P0的中點(diǎn)在x軸上，求△工0°的面積；

(3)是否存在以工°、工尸為鄰邊的矩形鳥使得點(diǎn)￡在橢圓「上？若存在，求出所有滿

足條件的點(diǎn)。的縱坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.已知函數(shù)>=x-lnx+a(“為常數(shù))，記V=/(x)="g(x).

(1)若函數(shù)>=g(x)在x=l處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)對(duì)于正實(shí)數(shù)，，求證：f^+f(t-x)>f(t)-t\n2+a,

ex

g(x)+cosx<一

⑶當(dāng)。=1時(shí)，求證:X

1.(2

【詳解】要使函數(shù)>=ig（x-2）有意義，

貝產(chǎn)一2〉0=>1〉2,

所以函數(shù)>=lg（x-2）的定義域?yàn)椋?,

故答案為（2力0°.

2.-2+z##i-2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解即可.

【詳解】由題意知，z=l+2i,

貝iji-z=i-（l+2i）=-2+i,

故答案為：-2+i

3.0-2##5

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布NG。?），且「（34X45）=0.3,

可得尸（X>5）=0.5—尸（34X45）=0.5—0.3=0,2

故答案為：0.2.

6

__5~

【分析】由題意可求6,利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求

7，7Z-XOA——

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為2人可得3,

AxOP=一十—=

=cos一=-

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為I

5.21

【分析】先將/變形為U+（xT）『的形式，再應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解即可.

【詳解】尤'=[1+（無一1）『，

由二項(xiàng)式定理得：

%=C；=C"蕓=21

所以

故答案為：21.

V3

——7t

6.3

【分析】通過側(cè)面展開圖的面積.求出圓錐的母線，底面的半徑，求出圓錐的體積即可.

【詳解】由題意一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2兀的半圓面，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，，底面半

徑為〃,

2兀=_兀/2

則-2,所以/=2,則半圓的弧長(zhǎng)為2兀,

所有圓錐的底面半徑為2口=2兀，〃=1,

—X7txl2XV22-1=71

所以圓錐的體積為：33

V3

-----7T

故答案為：3.

7.5

【分析】根據(jù)題意，列出方程求得生=口，得到S“=/-5"且?！?2"-6,結(jié)合S"<a"，列

出不等式，即可求解.

【詳解】由等差數(shù)列的公差為2,前〃項(xiàng)和為E，若見=工,

6+2x2=5%+型x24

可得2,解得％=-4

c.n(n-V)八2-

S=-4n-\-------x2=〃-5n(

所以2,且4=-3+("1)X2=2〃-6

因?yàn)榧础?-5〃<2〃-6,整理得/-7〃+6<0,解得1<〃<6,

因?yàn)椤╡N",所以使得與＜為成立的〃的最大值為5.

故答案為：5.

8.4

【分析】由題意及對(duì)數(shù)的運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得西子2=1,利用基本不等式即可求解.

-logx,0<x<1

/(x)=|logx|=2

2logX,X>1

【詳解】2

若“占）=/62）。產(chǎn)馬）,不妨設(shè)0＜再＜143,

則Tog2$=10g2%2,

所以1。82玉+1°§2X2=logz^l?%=°,即再,％=1,

所以4X|+X2N2四三=4,當(dāng)且僅當(dāng)再一5,巧二2時(shí)，等號(hào)成立.

故答案為：4.

9,屈

【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求得。=1,N/8月=90。，再利用勾股定理可求得2。=|月工|,

從而可求得雙曲線的離心率.

【詳解】解：Y/3H34|:|"初=3:4:5,不妨令|月8|=3,\BF2\=4^\AF2\=5^

2

AB^+\BF21=\AF2F,NABF2=90。，

又由雙曲線的定義得：?如I神|=2a,|紐|_|得|=2a,

.?.|/月|+3—4=5—|4月|,.\|AFX|=3

?.|BFX\-\BF2|=3+3—4=2Q,

:.a=\

在片瑪中，J取寸=|因『+|愿『=62+42=52

|2=4C\..4^=52,.-^=713

e=—=vl3

，雙曲線的離心率a.

故答案為：jm.

10.。2）

【分析】取ZC的中點(diǎn)E,由題意可得函=2機(jī)無+"而，從而推得三點(diǎn)共線，進(jìn)而

得出儂<必|<陽,即可得出答案.

【詳解】取/C的中點(diǎn)E,則05=2赤，

CD=mCA+nCB=2mCE+nCB?又因?yàn)?加+〃=1,

故民2E三點(diǎn)共線，即點(diǎn)。在中線班上運(yùn)動(dòng)，

在正三角形Z5C中，BE1AC,

又心>0,〃>0,則13<\CD\<\CB\

故|西4,2）,

故答案為：（L2）

{a10<a<—

11,2或。="

【分析】令g（x）=（”2）x+4a+l,xe（-8,2],〃（乃=2。1,xeQ+oo）,分類討論。的取值

范圍，判斷g（x）,〃（x）的單調(diào)性，結(jié)合"X）存在最小值，列出相應(yīng)不等式，綜合可得答案.

x

【詳解】由題意，令g（x）=（。-2）x+4a+l,xe（-<?,2]h{x}=1a~'；xe（2,+8）,

當(dāng)Ova<1時(shí)，g（x）在（-002]上單調(diào)遞減，〃（x）在（2,+8）上單調(diào)遞減，則〃（x）在（2,+co）上的

值域?yàn)椋ā悖?。），

因?yàn)?X）存在最小值,故需g（2）=（"2）x2+4a+140,解得“.，

0<tz<—

結(jié)合Ova<l,此時(shí)2；

當(dāng)l<a<2時(shí)，g(x)在(一*2］上單調(diào)遞減，〃(x)在(2,+co)上單調(diào)遞增，則人(x)在(2,+oo)上的

值域?yàn)?2a,+8),

<3

因?yàn)?(X)存在最小值，故需g(2)(2。，即("2)x2+4a+142a,解得“一

這與1<。<2矛盾；

當(dāng)。=1時(shí)，爾)=-》+5在(-8,2］上單調(diào)遞減，且在(一*2］上的值域?yàn)椋?,+吟，h(x)=2,

此時(shí)存在最小值2；

{a10<a<—

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為2或a=D.

{a10<a<—,、

故答案為：2或a=D.

12.1540

【分析】根據(jù)題意，設(shè)挑選出的三名學(xué)生的學(xué)號(hào)分別為x,v,z,不妨設(shè)x<〉<z,結(jié)合題

意轉(zhuǎn)化為x+G-x-4)+(z一，一4)+(31-Z)=23,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為四個(gè)正整數(shù)的和為23,結(jié)合隔

板法，即可求解.

【詳解】設(shè)挑選出的三名學(xué)生的學(xué)號(hào)分別為x,了，z,不妨設(shè)x<P<z,

則有恒等式x+3-x)+(z-y)+(30-z)=30(*),

其中x21,y-x>5fz-y>530-z>0,

即x21,y-x-4>l；z-y-4>lf31-z>l,

故(*)式為x+&-x-4)+(z-y-4)+(31-z)=23,

上式四個(gè)正整數(shù)的和為23,相當(dāng)于23個(gè)1分成四組，運(yùn)用隔板法，在22個(gè)空中放3塊板，故

有G=1540種方法.

故答案為：1540.

13.D

【分析】直接根據(jù)交集概念求解.

【詳解】因?yàn)榧?={x1°WxV4},B={x\x=2n,neZ}

所以/n5={0,2,4}

故選：D.

14.C

【分析】利用回歸直線方程可判斷A選項(xiàng)；將尤=8代入回歸直線方程可判斷B選項(xiàng)；計(jì)算

出樣本的中心點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合平均數(shù)公式可判斷CD選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榛貧w直線方程y=0-7x+°4,故變量x、了之間呈正相關(guān)關(guān)系，

A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)x=8時(shí)，>=0.7X8+0.4=6,B對(duì)；

-2+3+4+5c=

**JQ-_________=35-

對(duì)于CD選項(xiàng)，-4,則>=0.7x3.5+0.4=2.85,

故樣本的中心點(diǎn)的坐標(biāo)為OS2-85),

—2+2.3+3.4+m

y=--------------------=2.85

另一方面，4,解得s=3.7,C錯(cuò)D對(duì).

故選：C.

15.B

【分析】由a,6為函數(shù)〃x)="-6x+c的兩個(gè)零點(diǎn)可得加-"(a+6)x+a"="2-6x+c

b=￡~cLa。

即可得1—Q、1-〃，由兩邊之和大于第三邊，結(jié)合題意可得22

由為函數(shù)/㈤=加+的兩個(gè)零點(diǎn),故有°2

【詳解】a/af_c(xax-bx+c

2

即"~a(a+b^x+a'b=ax2-反+。恒成立

,Cl272。

由a,b,c為某三角形的三邊長(zhǎng)，且。<6,

"q1<.<1

故1-八0,且1一。,則2因?yàn)閎+c>a必然成立,

a4a2

a-\------>------

1—Q1—Q

八0<a<-生-----1-

a+c>ba2a42

a-\------>------

即0<6Z<1

所以a+b>c,1—a1—Q解得

1V5-1

—<a<----

所以22

'1A/5-1

252

故。的取值范圍是:

故選：B.

16.C

【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列和等差數(shù)列的前九項(xiàng)和性質(zhì)分析①的真假，由等比數(shù)列和等

比數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì)分析②的真假，綜合可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于命題①，｛g｝是公差不為零的等差數(shù)列，

若可?出…七=0,則在％，。2,…,如中，至少有一項(xiàng)為。,

(2"I)，+*)=(2〃7_1以=0

假設(shè)冊(cè)=0,（"〃日），則

必有S?$2…s2k_x=o,

反之，在等差數(shù)列.J中,若…〃-3,

則%=-1,。2=1,有邑=0,則…5上=0成立,

但丹?生???%=。不成立，

故邑…$21=0是％?。2??q=0的必要非充分條件,故①正確；

對(duì)于命題②，若｛%｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為若上eN,上22時(shí),

有S].邑…邑=0,則與邑，…M中，至少有一項(xiàng)為0,貝

SyG"o

假設(shè)鼠二°，則有""q，必有q"=i,

又由q―,必有機(jī)為偶數(shù)且O=T,故處+-=°,

反之，若如+&+i=°,貝1]夕=-1,必有$2=°,則有AeN,k>2,

貝/，S2…S=°,

若｛"'｝是等比數(shù)列且上eN,k>2,則山邑…S「0的充要條件是%+軟+1=0,

故②正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵點(diǎn)是，熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求

和公式，從而分析得解.

兀1

/(x)=sin(x--)+-

17.(1)62

71

(2)12

【分析】(1)根據(jù)降募公式，二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)“X),再根據(jù)＞=圖象的兩

條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為兀求出。即可;

f(A)=-A=——ZACD=-

(2)由2得出3,過點(diǎn)C作/5,CD于點(diǎn)。，得出6,分別求出

ND,CD的長(zhǎng)，結(jié)合即可得出30=進(jìn)而得出/5四，根據(jù)

/4CB=/BCD-ZACD即可求得答案.

r,、1-C0SGXV3../71.1

/(X)=--------+——sina)x=sm(公r——)+—

【詳解】⑴2262,

因?yàn)楹瘮?shù)昨"X)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為兀,

T2兀

-=717=——二2兀

所以2，則。，解得。=1,

TT1

f(x)=sin(x--)+-

所以62.

/U)=sin(^--)+-=-^^--=2foi+-^GZ

(2)由f(A)=-2得，/62262

.7171.271

A——=—A=——

因?yàn)椤癳(0,n),所以62,即3,

cos/」+"《.2+。2-3___V6—V2

2bc2也。2,解得”一2—(舍負(fù)),

過點(diǎn)C作/3LCD于點(diǎn)。，如圖所示,

Z.D——,Z.BAC=ZACD=-AD――AC—-^-,CD—ACxcos—=

由23得，6,則2262,

所以222則BD=CD,

rrTT7TTT

ZBCD=-/ACB=/BCD—/ACD=-----二—

所以4,則4612.

18.(1)證明見解析

⑵6

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理，證出/2//平面PCO,然后根據(jù)平面NBEc平面

PCD=EF,利用線面平行的性質(zhì)定理證出EF//CD.

(2)連接8。，取/。中點(diǎn)H,連接28、9，根據(jù)線面垂直的判定定理，證出3"，平面

PAD,可得ZBE〃是直線3E與平面的所成角，然后在RtABE”中利用銳角三角函數(shù)

的定義算出答案.

【詳解】(1)證明「?平面4班與直線PC相交于點(diǎn)尸，.?.平面48EC平面尸四=斯，

；四邊形"CD是菱形，，/2//CO,

:48(Z平面尸CD,CDu平面尸CD,48〃平面尸CD,

???48u平面/BE,平面平面PC￡>=￡7"

:.EFIICD.

(2)連接8。，取/。中點(diǎn)H,連接出/、EH,

菱形/BCD中，AB=AD,/D4B=6Q°,.“4BD是等邊

三角形，

是/。中點(diǎn)，BHLAD,

???PD_L平面A8C。，BHU：^^4BCD,;.BHLPD,

PDAD=D

;PD、4Du平面P4D,C\tSH_L平面尸40.

?-?NBEH是直線BE與平面PAD的所成角，

r:.DE=-PD=142

是尸。中點(diǎn)，PD=32,2

PD_L平面ABC。，

;H為4D中點(diǎn)、，…0”2，D1,RtZ"?￡77中，EH=VDE2+DH2=3,

?.?等邊△/BD中，高2

tanZBEH=—道

/.Ri小BEH中,EH3,

可得6,即直線BE與平面PN。的所成角等于6.

23

19.(1)24

⑵月。2-2巧-A+3

⑶先派出甲

【分析】(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解；

(2)由題意可知，X的所有可能取值為1,2,3,利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的

概率，進(jìn)而得到X的分布，再結(jié)合期望公式求解；

(3)分別計(jì)算出依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)和依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，所派出人員數(shù)目的期望，

再利用作差法比較大小即可.

【詳解】(1)設(shè)事件A表示“該小組比賽勝利”，

z.x31211123

尸D(4)=—+—X—+—X-X—=—

貝［j',44343224.

(2)由題意可知，X的所有可能取值為1,2,3,

則P(X=1)=R,P(X=2)=(l-Pl)p2j尸(X=3)=(1-R)(1-2),

所以X的分布為：

X123

PPl"PM(1-01)(1-2)

所以E(X)=月+2(1-pl)p2+3(1-)(1--20-2+3；

(3)若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為耳，

由(2)可知，E\=p、p「2p「p33,

若依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為當(dāng)，

貝心2=202_203_02+3,

貝E「E]=(。也-2。1-P2+3)-血。2-2P3-+3)=-2。1-+2P3

=Pi（A-A）-2（AA）=（A-P3）（02-2）,

因?yàn)樗訮l-P3>0,P「2<°,

所以片一m<0,即&<瑪，

所以要使派出人員數(shù)目的期望較小，先派出甲.

20.⑴刈=也

交

⑵2

⑶-2+收或-1.

【分析】（1）根據(jù)已知求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性可得線段"N的長(zhǎng)；；

（2）線段尸。的中點(diǎn)在x軸上，得。點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入橢圓方程得。點(diǎn)橫坐標(biāo)，此時(shí)

。月,X軸，易得其面積；

（3）假設(shè)存在鳥尸為鄰邊的矩形耳°"尸，使得點(diǎn)E在橢圓C上，設(shè)尸

0日,必），頤々,力），由平行四邊形對(duì)角線互相平分把￡點(diǎn)坐標(biāo)用P，°點(diǎn)坐標(biāo)表示，然后把

21坐標(biāo)代入橢圓方程，利用垂直得向量的數(shù)量積為0,得出再，必廣。的關(guān)系，結(jié)合起來可得

%=°或％=一毛，再分別代入求得％,得結(jié)論.

「.y.__i-x2=1_____

【詳解】（1）由,2'可得：a=亞,b=l,從而c=〃2_/=i,

12?

1—+x=lx=±

所以令>=i,則2,解得:2,

所以幽M=血.

（2）線段P°的中點(diǎn)在x軸上，則力=L所以j=T,即名軸,

_4-X=1

所以令>=T則2,解得:2

S.POF=-|^2|-|^1=-><—x2=—

所以"帙21211121222.

⑶%帙=；四M用=gx*2=S

假設(shè)存在以8°,馬尸為鄰邊的矩形與使得點(diǎn)E在橢圓C上，

設(shè)。（王,必）E（x2,y2）7^（0,-1）

因?yàn)樗倪呅瘟RQEP是矩形，一定為平行四邊形，所以鳥尸+尸2。=尸2%

則％2=%o+項(xiàng),%=必+2,所以￡（/+再，必+2）,

^+x'=1

<

（必+2）"6?%y=l,

?E都在橢圓上，[2'變形得/+2網(wǎng)％+2弘+2=（）9,

又QF[[PF],所以尸2。?62=0,即（x”M+1>（%,2）=2（乂+1）+匹/=0,

則2%+2=-%/②，

②代入①得x；+%*=0,解得：％=°或％=f?,

X=±交（土"T）

若％=°時(shí)，必=T,'2,此時(shí)尸與耳重合，0點(diǎn)坐標(biāo)為2'；

金+"1

若％=一王時(shí)，聯(lián)立"2）*=[

消去為可得：弁+4弘+2=0,解得：乂=一2士/，

因?yàn)椤笆⒒?，所以?-2+亞，

所以存在滿足題意的。點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為-2+后或-1.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于圓錐曲線中探索性問題，求解步驟如下:

第一步：假設(shè)結(jié)論存在；

第二步：結(jié)合已知條件進(jìn)行推理求解；

第三步：若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設(shè);

第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.

21.(1)2

(2)證明見解析

(3)證明見解析

Xa

g(x)-lnx+—>0g'(x)=

【分析】(1)根據(jù)題以，得到x，求得一,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義,

求得切線方程，將原點(diǎn)代入切線方程，即可求解;

itz\]n4

(2)設(shè)函數(shù)"(x)=/(x)+“/-x”>°,求得W-n,—x,求得函數(shù)'(無)的單調(diào)性和最

//(—)A(x)>A(—)

小值為2,得到2,即可得證；

?1ex?1d1

mx+—<-----cosxInx+—<-----1

(3)根據(jù)題意，得到1%，結(jié)合COSX￡[-M],把轉(zhuǎn)化為1工，設(shè)

/、le"

k(x)=InxH----------F1,x〉0

'xx利用導(dǎo)數(shù)求得上(無)的單調(diào)性和最大值"°)=2-e,即可得證.

【詳解】(1)解：由題意，函數(shù)昨"Inx+a,且"〃x)=x-g(x