2025屆永州市寧遠(yuǎn)縣高三數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)聯(lián)考試卷附答案解析

屆永州市寧遠(yuǎn)縣高三數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)聯(lián)考試卷全卷滿分150分，時(shí)量120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A．3 B． C．5 D．3．已知向量，，若，則m的值為（

）A．2 B．1 C． D．4．在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．20 B．30 C．40 D．505．若，則（

）A． B． C． D．6．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則7．函數(shù)的部分圖象大致是（

）A．B．C．D．8．現(xiàn)有4名男生和3名女生計(jì)劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們?cè)诰皡^(qū)附近訂購(gòu)了一家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個(gè)房間都要住人，每個(gè)房間最多住2人，且男女不能混?。畡t不同的安排方法有（

）種A．1960 B．2160 C．2520 D．2880二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列求導(dǎo)過(guò)程正確的選項(xiàng)是（）A．B．C．（xa）′＝axa﹣1D．（logax）′＝10．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的一個(gè)零點(diǎn)為D．的最大值為111．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．線性回歸分析中可以用決定系數(shù)來(lái)刻畫回歸的效果，若的值越大，則模型的擬合效果越好B．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則C．已知關(guān)于的回歸直線方程為，則樣本點(diǎn)的殘差為D．已知隨機(jī)事件，滿足，，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知平面向量，，求.13．已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為.14．若函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．已知、，分別是ΔABC內(nèi)角，，的對(duì)邊，，．（1）求；（2）若ΔABC的面積為，求．16．如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)O、D分別是的中點(diǎn)，底面．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大?。?7．已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)若過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．18．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．19．已知數(shù)組，如果數(shù)組滿足，且，其中，則稱為的“兄弟數(shù)組”.（1）寫出數(shù)組的“兄弟數(shù)組”；（2）若的“兄弟數(shù)組”是，試證明：成等差數(shù)列；（3）若為偶數(shù)，且的“兄弟數(shù)組”是，求證：.1．D【分析】先求集合A，再根據(jù)交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D.2．C【分析】根據(jù)題意求得，進(jìn)而求模長(zhǎng).【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：C.3．D【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程等于零求解，可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意知，，，則，解之可得故選：D4．C【分析】直接由等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意.故選：C.5．B【分析】根據(jù)輔助角公式求得，再用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：B6．C【分析】利用空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系判斷各項(xiàng)；【詳解】對(duì)于A，若，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則或，相交或異面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，C正確；對(duì)于D，若，則或兩平面相交，D錯(cuò)誤；故選：C.7．D【分析】先利用奇函數(shù)定義判斷函數(shù)為奇函數(shù)，排除A；再利用y軸右側(cè)有兩個(gè)零點(diǎn)排除B；在根據(jù)函數(shù)值的符號(hào)排除C，即可判斷.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除A；易知，排除B；當(dāng)且無(wú)限趨近于0時(shí)，，即，排除.故選：D8．C【分析】就3名女生需要的房間數(shù)分類討論后可得正確的選項(xiàng).【詳解】3名女生需要住2個(gè)房間或3個(gè)房間．若3名女生住2個(gè)房間，則不同的方法種數(shù)為，若3名女生住3個(gè)房間，則不同的方法種數(shù)為，則不同的安排方法有種．故選:．9．BCD【解析】利用導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式逐一判斷即可.【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，（）′＝（x﹣1）′＝﹣，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，（）′＝（）′＝＝，B正確；對(duì)于C，（xa）′＝axa﹣1，C正確；對(duì)于D，（logax）′＝（）′＝，D正確；則B、C、D計(jì)算正確.故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.10．AC【分析】根據(jù)fx【詳解】，故A正確；，所以不是對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；，所以是的一個(gè)零點(diǎn)，故C正確；因?yàn)檎穹?，所以的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．ABCD【分析】根據(jù)決定系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算公式、線性回歸方程的殘差以及條件概率的計(jì)算公式，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，線性回歸分析中可以用決定系數(shù)用來(lái)刻畫回歸的效果，若的值越大，則模型的擬合效果越好，故A正確；對(duì)于B，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則，解得，故B正確；對(duì)于C，關(guān)于的線性回歸方程為，將代入回歸方程中得，即殘差為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?所以，故D正確；故選：ABCD12．【分析】利用向量坐標(biāo)的加減運(yùn)算和模長(zhǎng)計(jì)算公式得到答案.【詳解】，所以模長(zhǎng)為.故答案為：.13．【分析】根據(jù)題意可得，由即可得解.【詳解】由題意可知，所以.故答案為：.14．【分析】函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有且只有1個(gè)焦點(diǎn)，借助指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得函數(shù)的大致圖象，即可得解.【詳解】由，得，設(shè)函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，可作出的大致圖象，如圖所示，由圖可知，的取值范圍是．故答案為：.15．（1）；（2）2.【解析】（1）由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合余弦定理可求；（2）由已知結(jié)合三角形的面積公式即可直接求解．【詳解】（1）由及正弦定理可得，，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，，?）由（1）知，因?yàn)棣BC的面積為，所以，解可得，則【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔試題．16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由已知，根據(jù)點(diǎn)O、D分別是的中點(diǎn)，可知，然后利用線面平行的判定定理即可完成證明；（2）取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于，連接，先證明平面，得到，從而證明平面，得到是與平面所成的角，設(shè)邊長(zhǎng)，計(jì)算即可.【詳解】（1）由已知，點(diǎn)O、D分別是的中點(diǎn)，所以,又平面，平面，所以平面，得證.（2）因?yàn)?，，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，取的中點(diǎn)，連接，則，平面，平面，所以，，且，所以平面，過(guò)點(diǎn)作交于，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，且，所以平面，因?yàn)?，所以直線與平面所成角就是與平面所成的角，所以是與平面所成的角，可設(shè)，所以，，，，，，在中，.所以直線與平面所成角的大小為.17．(1)(2)直線的方程為或.【分析】（1）代入兩點(diǎn)得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）方法一：以為底，求出三角形的高，即點(diǎn)到直線的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到點(diǎn)坐標(biāo)，則得到直線的方程；方法二：同法一得到點(diǎn)到直線的距離，再設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離和點(diǎn)在橢圓上得到方程組，解出即可；法三：同法一得到點(diǎn)到直線的距離，利用橢圓的參數(shù)方程即可求解；法四：首先驗(yàn)證直線斜率不存在的情況，再設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，得到點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線斜率不存在的情況，再設(shè)，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式即可得到答案；法六：設(shè)線法與法五一致，利用水平寬乘鉛錘高乘表達(dá)面積即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以.（2）法一：，則直線的方程為，即，，由（1）知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)該平行線的方程為：，則，解得或，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，，此時(shí)該直線與橢圓無(wú)交點(diǎn).綜上直線的方程為或.法二：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，則，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，其中，則有，聯(lián)立，解得或，即或，以下同法一；法四：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，符合題意，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，解得或，，，令，則，則同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則，解得，此時(shí)，則得到此時(shí)，直線的方程為，即，綜上直線的方程為或.法五：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，令，，消可得，，且，即，，到直線距離，或，均滿足題意，或，即或.法六：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，令，則，聯(lián)立，則有，，其中，且，則，則，解的或，經(jīng)代入判別式驗(yàn)證均滿足題意.則直線為或，即或.18．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時(shí)，即可.【詳解】（1）定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），且時(shí)，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問(wèn)題得證19．（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)“兄弟數(shù)組”的定義直接求解即可得到結(jié)果；（2）依次列舉出時(shí)的式子，將第②④⑥⑧⑩個(gè)等式的兩邊分別乘以，再與其他等式相加可整理得到，進(jìn)而得到結(jié)論；（3）依次列舉出時(shí)的式子，將上述個(gè)等式中的第個(gè)等式的兩邊分別乘以，再與其他等式相加整理可得結(jié)果.【詳解】（1）由知：，，，，，.，，，，，同理