2025高考數(shù)學一輪復習-7.2-離散型隨機變量及其分布列【課件】

7.2離散型隨機變量及其分布列

第七章

隨機變量及其分布知識梳理1.概念：一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω都有

的實數(shù)X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量.2.表示：用

表示隨機變量，如X，Y，Z；用

表示隨機變量的取值，如x，y，z.3.特征：隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數(shù)與之對應，隨機變量有如下特征：(1)取值依賴于

.(2)所有可能取值是

.知識點一隨機變量的概念、表示及特征唯一大寫英文字母小寫英文字母樣本點明確的可能取值為

或可以

的隨機變量，我們稱之為離散型隨機變量.知識點二離散型隨機變量有限個一一列舉1.定義：一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.2.分布列的性質(zhì)(1)pi≥

，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝

.知識點三離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)01如果P(A)＝p，則P()＝1－p，那么X的分布列為知識點四兩點分布X01P1－pp我們稱X服從兩點分布或0－1分布.思考隨機變量X只取兩個值，該分布是兩點分布嗎？答案不一定，如果X只取0和1，則是兩點分布，否則不是.1.離散型隨機變量的取值是任意的實數(shù).(

)2.隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個.(

)3.離散型隨機變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值.(

)4.手機電池的使用壽命X是離散型隨機變量.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√×題型探究一、隨機變量的概念及分類例1下列變量中，哪些是隨機變量，哪些是離散型隨機變量？并說明理由.(1)某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量；解某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量可能為0,1,2,3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨機變量.(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)；解某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0,1,2,3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨機變量.(3)明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；解明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)可能為0,1,2,3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨機變量.(4)一瓶果汁的容量為500±2mL.解由于果汁的容量在498mL～502mL之間波動，是隨機變量，但不是離散型隨機變量.跟蹤訓練1

指出下列隨機變量是不是離散型隨機變量，并說明理由.(1)從10張已編好號碼的卡片(1號到10號)中任取一張，被取出的卡片的號數(shù)；解只要取出一張，便有一個號碼，因此被取出的卡片號數(shù)可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義.(2)一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)；解從10個球中取3個球，所得的結(jié)果有以下幾種：3個白球；2個白球和1個黑球；1個白球和2個黑球；3個黑球，即其結(jié)果可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義.(3)某林場的樹木最高達30m，則此林場中樹木的高度；解林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以取(0,30]內(nèi)的一切值，無法一一列舉，不是離散型隨機變量.(4)某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差.解實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量.例2

一個箱子里裝有5個大小相同的球，有3個白球，2個紅球，從中摸出2個球.(1)求摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率；設摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的事件為A，二、求離散型隨機變量的分布列(2)用X表示摸出的2個球中的白球個數(shù)，求X的分布列.解用X表示摸出的2個球中的白球個數(shù)，X的所有可能取值為0,1,2.故X的分布列為跟蹤訓練2

袋中有1個白球和4個黑球，每次從中任取一個球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球為止，求取球次數(shù)X的分布列.解X的可能取值為1,2,3,4,5，所以X的分布列為三、分布列的性質(zhì)及應用例3

設隨機變量X的分布列P ＝ak(k＝1,2,3,4,5).(1)求常數(shù)a的值；解由題意，所給分布列為由分布列的性質(zhì)得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，跟蹤訓練3若離散型隨機變量X的分布列為X01P9c2－c3－8c試求出離散型隨機變量X的分布列.解由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，故所求分布列為隨堂練習1.下列表格中，不是某個隨機變量的分布列的是A.

B.C.

D.12345X012P0.70.150.15X－2024P0.50.20.30X123Plg1lg2lg5√解析C項中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特點，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特點.所以C項不是隨機變量的分布列.123452.(多選)下列變量中，不是離散型隨機變量的是A.到2020年5月1日止，我國被確診的患新型冠狀病毒肺炎的人數(shù)B.一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高C.某人在車站等出租車的時間D.某人投籃10次，可能投中的次數(shù)√√√123453.設離散型隨機變量X的分布列如下：

則p的值為√123454.已知X，Y均為離散型隨機變量，且X＝2Y，若X的所有可能取值為0,2,4，則Y的所有可能取值為______.0,1,2得Y∈{0,1,2}.123455.若隨機變量X服從兩點分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，則P(Y＝－2)＝_____.0.8解析因為Y＝3X－2，所以當Y＝－2時，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.12345對點練習1.(多選)下面是離散型隨機變量的是A.某機場候機室中一天的游客數(shù)量XB.某外賣員一天內(nèi)收到的點餐次數(shù)XC.某水文站觀察到一天中長江的最高水位XD.某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X基礎鞏固12345678910111213141516√√√解析ABD中隨機變量X所有可能取的值我們都可以按一定次序一一列出，因此它們都是離散型隨機變量，C中X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法一一列出，故不是離散型隨機變量.123456789101112131415162.設離散型隨機變量X的分布列為

若隨機變量Y＝X－2，則P(Y＝2)等于A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7解析由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.X01234P0.20.10.10.3m√123456789101112131415163.某人進行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為ξ，則“ξ＝5”表示的試驗結(jié)果是A.第5次擊中目標

B.第5次未擊中目標C.前4次均未擊中目標

D.第4次擊中目標√解析ξ＝5表示前4次均未擊中目標，故選C.123456789101112131415164.設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量ξ描述一次試驗的成功次數(shù)，則P(ξ＝0)等于√解析設P(ξ＝1)＝p，則P(ξ＝0)＝1－p.123456789101112131415165.離散型隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20則P等于A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55√12345678910111213141516解析根據(jù)分布列的性質(zhì)，知隨機變量的所有取值的概率之和為1，可解得x＝2，y＝5，123456789101112131415166.一用戶在打電話時忘記了最后3個號碼，只記得最后3個數(shù)兩兩不同，且都大于5.于是他隨機撥最后3個數(shù)(兩兩不同)，設他撥到正確號碼所用的次數(shù)為X，隨機變量X的可能值有____個.24解析后3個數(shù)是從6,7,8,9四個數(shù)中取3個組成的，共有A＝24(個).123456789101112131415167.設隨機變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么P(X＝1)＝____，n＝____.100.1解析由題意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.123456789101112131415168.把3個骰子全部擲出，設出現(xiàn)6點的骰子個數(shù)是X，則P(X<2)＝____.123456789101112131415169.一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)為ξ.(1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應的ξ的值；解ξ0123結(jié)果取得3個黑球取得1個白球，2個黑球取得2個白球，1個黑球取得3個白球12345678910111213141516(2)若規(guī)定抽取3個球中，每抽到一個白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管結(jié)果都加上6分.求最終得分η的可能取值，并判定η的隨機變量類型.解由題意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值為0,1,2,3，所以η對應的各值是5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值為6,11,16,21，顯然η為離散型隨機變量.1234567891011121314151610.從含有2名女生的10名大學畢業(yè)生中任選3人進行某項調(diào)研活動，記女生入選的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列.12345678910111213141516解ξ的所有可能取值為0,1,2，“ξ＝0”表示入選3人全是男生，“ξ＝1”表示入選3人中恰有1名女生，“ξ＝2”表示入選3人中有2名女生，因此ξ的分布列為12345678910111213141516綜合運用11.已知隨機變量X的分布列如下：則P(X＝10)等于√1234567891011121314151612.一木箱中裝有8個同樣大小的籃球，編號為1,2,3,4,5,6,7,8，現(xiàn)從中隨機取出3個籃球，以ξ表示取出的籃球的最大號碼，則ξ＝8表示的試驗結(jié)果數(shù)為A.18 B.21 C.24 D.10√解析ξ＝8表示3個籃球中一個編號是8，12345678910111213141516X－101Pabc13.(多選)已知隨機變量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，則√√解析∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.1234567891011121314151614.若隨機變量X的分布列如下表所示：

則a2＋b2的最小值為____.123456789101112