2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.2-離散型隨機(jī)變量及其分布列【課件】

7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列

第七章

隨機(jī)變量及其分布知識(shí)梳理1.概念：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω都有

的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.2.表示：用

表示隨機(jī)變量，如X，Y，Z；用

表示隨機(jī)變量的取值，如x，y，z.3.特征：隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，隨機(jī)變量有如下特征：(1)取值依賴于

.(2)所有可能取值是

.知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)變量的概念、表示及特征唯一大寫英文字母小寫英文字母樣本點(diǎn)明確的可能取值為

或可以

的隨機(jī)變量，我們稱之為離散型隨機(jī)變量.知識(shí)點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量有限個(gè)一一列舉1.定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.2.分布列的性質(zhì)(1)pi≥

，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝

.知識(shí)點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)01如果P(A)＝p，則P()＝1－p，那么X的分布列為知識(shí)點(diǎn)四兩點(diǎn)分布X01P1－pp我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布.思考隨機(jī)變量X只取兩個(gè)值，該分布是兩點(diǎn)分布嗎？答案不一定，如果X只取0和1，則是兩點(diǎn)分布，否則不是.1.離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù).(

)2.隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無限個(gè).(

)3.離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值.(

)4.手機(jī)電池的使用壽命X是離散型隨機(jī)變量.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√×題型探究一、隨機(jī)變量的概念及分類例1下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些是離散型隨機(jī)變量？并說明理由.(1)某機(jī)場(chǎng)一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量；解某機(jī)場(chǎng)一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量可能為0,1,2,3，…，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量，也是離散型隨機(jī)變量.(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)；解某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0,1,2,3，…，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量，也是離散型隨機(jī)變量.(3)明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；解明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)可能為0,1,2,3，…，是隨機(jī)變化的，因此是隨機(jī)變量，也是離散型隨機(jī)變量.(4)一瓶果汁的容量為500±2mL.解由于果汁的容量在498mL～502mL之間波動(dòng)，是隨機(jī)變量，但不是離散型隨機(jī)變量.跟蹤訓(xùn)練1

指出下列隨機(jī)變量是不是離散型隨機(jī)變量，并說明理由.(1)從10張已編好號(hào)碼的卡片(1號(hào)到10號(hào))中任取一張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)；解只要取出一張，便有一個(gè)號(hào)碼，因此被取出的卡片號(hào)數(shù)可以一一列出，符合離散型隨機(jī)變量的定義.(2)一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)；解從10個(gè)球中取3個(gè)球，所得的結(jié)果有以下幾種：3個(gè)白球；2個(gè)白球和1個(gè)黑球；1個(gè)白球和2個(gè)黑球；3個(gè)黑球，即其結(jié)果可以一一列出，符合離散型隨機(jī)變量的定義.(3)某林場(chǎng)的樹木最高達(dá)30m，則此林場(chǎng)中樹木的高度；解林場(chǎng)樹木的高度是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取(0,30]內(nèi)的一切值，無法一一列舉，不是離散型隨機(jī)變量.(4)某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差.解實(shí)際測(cè)量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量.例2

一個(gè)箱子里裝有5個(gè)大小相同的球，有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中摸出2個(gè)球.(1)求摸出的2個(gè)球中有1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率；設(shè)摸出的2個(gè)球中有1個(gè)白球和1個(gè)紅球的事件為A，二、求離散型隨機(jī)變量的分布列(2)用X表示摸出的2個(gè)球中的白球個(gè)數(shù)，求X的分布列.解用X表示摸出的2個(gè)球中的白球個(gè)數(shù)，X的所有可能取值為0,1,2.故X的分布列為跟蹤訓(xùn)練2

袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從中任取一個(gè)球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球?yàn)橹梗笕∏虼螖?shù)X的分布列.解X的可能取值為1,2,3,4,5，所以X的分布列為三、分布列的性質(zhì)及應(yīng)用例3

設(shè)隨機(jī)變量X的分布列P ＝ak(k＝1,2,3,4,5).(1)求常數(shù)a的值；解由題意，所給分布列為由分布列的性質(zhì)得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，跟蹤訓(xùn)練3若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P9c2－c3－8c試求出離散型隨機(jī)變量X的分布列.解由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，故所求分布列為隨堂練習(xí)1.下列表格中，不是某個(gè)隨機(jī)變量的分布列的是A.

B.C.

D.12345X012P0.70.150.15X－2024P0.50.20.30X123Plg1lg2lg5√解析C項(xiàng)中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特點(diǎn)，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特點(diǎn).所以C項(xiàng)不是隨機(jī)變量的分布列.123452.(多選)下列變量中，不是離散型隨機(jī)變量的是A.到2020年5月1日止，我國被確診的患新型冠狀病毒肺炎的人數(shù)B.一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高C.某人在車站等出租車的時(shí)間D.某人投籃10次，可能投中的次數(shù)√√√123453.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：

則p的值為√123454.已知X，Y均為離散型隨機(jī)變量，且X＝2Y，若X的所有可能取值為0,2,4，則Y的所有可能取值為______.0,1,2得Y∈{0,1,2}.123455.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，則P(Y＝－2)＝_____.0.8解析因?yàn)閅＝3X－2，所以當(dāng)Y＝－2時(shí)，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.12345對(duì)點(diǎn)練習(xí)1.(多選)下面是離散型隨機(jī)變量的是A.某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的游客數(shù)量XB.某外賣員一天內(nèi)收到的點(diǎn)餐次數(shù)XC.某水文站觀察到一天中長江的最高水位XD.某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√√√解析ABD中隨機(jī)變量X所有可能取的值我們都可以按一定次序一一列出，因此它們都是離散型隨機(jī)變量，C中X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量.123456789101112131415162.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

若隨機(jī)變量Y＝X－2，則P(Y＝2)等于A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7解析由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.X01234P0.20.10.10.3m√123456789101112131415163.某人進(jìn)行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為ξ，則“ξ＝5”表示的試驗(yàn)結(jié)果是A.第5次擊中目標(biāo)

B.第5次未擊中目標(biāo)C.前4次均未擊中目標(biāo)

D.第4次擊中目標(biāo)√解析ξ＝5表示前4次均未擊中目標(biāo)，故選C.123456789101112131415164.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量ξ描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(ξ＝0)等于√解析設(shè)P(ξ＝1)＝p，則P(ξ＝0)＝1－p.123456789101112131415165.離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20則P等于A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55√12345678910111213141516解析根據(jù)分布列的性質(zhì)，知隨機(jī)變量的所有取值的概率之和為1，可解得x＝2，y＝5，123456789101112131415166.一用戶在打電話時(shí)忘記了最后3個(gè)號(hào)碼，只記得最后3個(gè)數(shù)兩兩不同，且都大于5.于是他隨機(jī)撥最后3個(gè)數(shù)(兩兩不同)，設(shè)他撥到正確號(hào)碼所用的次數(shù)為X，隨機(jī)變量X的可能值有____個(gè).24解析后3個(gè)數(shù)是從6,7,8,9四個(gè)數(shù)中取3個(gè)組成的，共有A＝24(個(gè)).123456789101112131415167.設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么P(X＝1)＝____，n＝____.100.1解析由題意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.123456789101112131415168.把3個(gè)骰子全部擲出，設(shè)出現(xiàn)6點(diǎn)的骰子個(gè)數(shù)是X，則P(X<2)＝____.123456789101112131415169.一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)為ξ.(1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對(duì)應(yīng)的ξ的值；解ξ0123結(jié)果取得3個(gè)黑球取得1個(gè)白球，2個(gè)黑球取得2個(gè)白球，1個(gè)黑球取得3個(gè)白球12345678910111213141516(2)若規(guī)定抽取3個(gè)球中，每抽到一個(gè)白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管結(jié)果都加上6分.求最終得分η的可能取值，并判定η的隨機(jī)變量類型.解由題意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值為0,1,2,3，所以η對(duì)應(yīng)的各值是5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值為6,11,16,21，顯然η為離散型隨機(jī)變量.1234567891011121314151610.從含有2名女生的10名大學(xué)畢業(yè)生中任選3人進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)研活動(dòng)，記女生入選的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列.12345678910111213141516解ξ的所有可能取值為0,1,2，“ξ＝0”表示入選3人全是男生，“ξ＝1”表示入選3人中恰有1名女生，“ξ＝2”表示入選3人中有2名女生，因此ξ的分布列為12345678910111213141516綜合運(yùn)用11.已知隨機(jī)變量X的分布列如下：則P(X＝10)等于√1234567891011121314151612.一木箱中裝有8個(gè)同樣大小的籃球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)籃球，以ξ表示取出的籃球的最大號(hào)碼，則ξ＝8表示的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)為A.18 B.21 C.24 D.10√解析ξ＝8表示3個(gè)籃球中一個(gè)編號(hào)是8，12345678910111213141516X－101Pabc13.(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，則√√解析∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.1234567891011121314151614.若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：

則a2＋b2的最小值為____.123456789101112