2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.5-古典概型、概率的基本性質(zhì)

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第5節(jié)古典概型、概率的基本性質(zhì)ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1具有以下特征的試驗(yàn)叫做古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有________；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性______.1.古典概型有限個(gè)相等2.古典概型的概率公式性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝____________________；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝______________；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).3.概率的性質(zhì)P(A)＋P(B)1－P(B)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時(shí)P(A∩B)＝0.×(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其樣本點(diǎn)是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(

)(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.(

)(3)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.(

)(4)概率為0的事件一定是不可能事件.(

)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)×√×解析對(duì)于(1)，發(fā)芽與不發(fā)芽不一定是等可能，所以(1)不正確；對(duì)于(2)，三個(gè)事件不是等可能，其中“一正一反”應(yīng)包括正反與反正兩個(gè)樣本點(diǎn)，所以(2)不正確；對(duì)于(4)，概率為0的事件有可能發(fā)生，所以(4)不正確.B解析由題意可得，甲連續(xù)三天參加活動(dòng)的所有情況為：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四種情況，2.(易錯(cuò)題)安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動(dòng)，每天只需一人參加，其中甲參加三天活動(dòng)，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動(dòng)的概率為(

)3.我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是(

)A4.設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為(

)A5.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為(

)C解析拋擲一枚骰子，樣本空間出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{1，2，3，4，5，6}，6.(易錯(cuò)題)拋擲一枚骰子，記A為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2解析設(shè)5只兔子中測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)的3只為a1，a2，a3，未測(cè)量過這項(xiàng)指標(biāo)的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能.例1(1)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo).若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為(

)B其中恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能.(2)10件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________.訓(xùn)練1(1)在一個(gè)不透明的容器中有6個(gè)小球，其中有4個(gè)黃球，2個(gè)紅球，它們除顏色外完全相同，如果一次隨機(jī)取出2個(gè)球，那么至少有1個(gè)紅球的概率為(

)BD(1)求表中字母a的值；例2

從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里，遇到紅燈個(gè)數(shù)的概率如表所示：紅燈個(gè)數(shù)0123456個(gè)及6個(gè)以上概率0.020.1a0.350.20.10.03解

由題意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.解

設(shè)事件A為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為4，事件B為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為5，事件C為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為6個(gè)及以上，則事件“至少遇到4個(gè)紅燈”為A∪B∪C，因?yàn)槭录嗀，B，C互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4個(gè)紅燈的概率為0.33.(2)求至少遇到4個(gè)紅燈的概率；解

設(shè)事件D為遇到6個(gè)及6個(gè)以上紅燈，(3)求至多遇到5個(gè)紅燈的概率.解析只用非現(xiàn)金支付的概率為1－(0.15＋0.45)＝0.4.訓(xùn)練2(1)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則只用非現(xiàn)金支付的概率為(

) A.0.3 B.0.4

C.0.6 D.0.7B解析法一

A包含向上點(diǎn)數(shù)是1，3，5的情況，B包含向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3的情況，B例3

某城市100戶居民的月平均用電量(單位：千瓦時(shí))以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖.解

由(0.0020＋0.0095＋0.0110＋0.0125＋x＋0.0050＋0.0025)×20＝1得x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075.(1)求直方圖中x的值；因?yàn)?0.0020＋0.0095＋0.0110)×20＝0.45<0.5，且(0.0020＋0.0095＋0.0110＋0.0125)×20＝0.7>0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220，240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.0020＋0.0095＋0.0110)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5，解得a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為[240，260)，[260，280)，[280，300]的三組用戶中，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6戶居民，并從抽取的6戶中任選2戶參加一個(gè)訪談節(jié)目，求參加節(jié)目的2戶來自不同組的概率.解

月平均用電量為[240，260)，[260，280)，[280，300]內(nèi)的用戶分別有0.0075×20×100＝15(戶)，0.005×20×100＝10(戶)，0.0025×20×100＝5(戶).抽樣方法為分層隨機(jī)抽樣，所以在[240，260)，[260，280)，[280，300]中分別抽取3戶、2戶和1戶.解

由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人、9人、10人.訓(xùn)練32019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況. (1)應(yīng)從老、中、青員工分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率.解

①?gòu)囊阎?人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間為{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共15個(gè)樣本點(diǎn).FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升31.一枚硬幣連擲2次，恰好出現(xiàn)1次正面的概率是(

)A解析將2名男同學(xué)分別記為x，y，3名女同學(xué)分別記為a，b，c.設(shè)“選中的2人都是女同學(xué)”為事件A，則從5名同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)的所有可能情況有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10種，2.從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為(

) A.0.6

B.0.5

C.0.4 D.0.3D解析一個(gè)袋子中裝有大小形狀完全相同的4個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中一次摸出3個(gè)球，3.一個(gè)袋子中裝有大小形狀完全相同的4個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中一次摸出3個(gè)球，則摸出白球個(gè)數(shù)多于黑球個(gè)數(shù)的概率為(

)C4.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.下圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，其中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的.我們將圖中陰影所在的四個(gè)三角形稱為“風(fēng)葉”，若從該“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，則該兩點(diǎn)取自同一片“風(fēng)葉”的概率為(

)A解析ABD為古典概型，因?yàn)槎歼m合古典概型的兩個(gè)特征：有限性和等可能性，而C不適合等可能性，故不為古典概型.5.(多選)下列是古典概型的是(

) A.從6名同學(xué)中，隨機(jī)選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性的大小 B.同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻地骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率 C.近三天中有一天降雨的概率 D.10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率ABD6.(多選)若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)a的值可以是(

)CD解析2位男同學(xué)記為男1，男2，則三位同學(xué)依次走出教室包含的樣本點(diǎn)有：男1男2女，男1女男2，女男1男2，男2男1女，男2女男1，女男2男1，共6種，其中第2位走出的是女同學(xué)包含的樣本點(diǎn)有2種.7.下課以后，教室里還剩下2位男同學(xué)和1位女同學(xué)，若他們依次走出教室，則第2位走出的是女同學(xué)的概率是________.8.2020年國(guó)慶檔上映的影片有《奪冠》，《我和我的家鄉(xiāng)》，《一點(diǎn)就到家》，《急先鋒》，《木蘭·橫空出世》，《姜子牙》，其中后兩部為動(dòng)畫片.甲、乙兩位同學(xué)都跟隨家人觀影，甲觀看了六部中的兩部，乙觀看了六部中的一部，則甲、乙兩人觀看了同一部動(dòng)畫片的概率為________.9.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6，故我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)： 812，832，569，683，271，989，730，537，925，907

由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為________.0.210.空氣質(zhì)量指數(shù)(簡(jiǎn)稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；＞300為嚴(yán)重污染.一環(huán)保人士記錄了某地2021年某月10天的數(shù)據(jù)為45，52，74，75，103，104，117，118，199，215. (1)利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)；(按這個(gè)月總共有3