山東省臨沂市郯城縣2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE20-山東省臨沂市郯城縣2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】是函數(shù)的定義域，是不等式的解集，分別求出后再由集合的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】由題意，，，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，解題時(shí)需先確定集合中的元素，然后才可能利用集合運(yùn)算法則計(jì)算．2.復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】本題首先可以通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，得到，即可得出復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，問題得解．【詳解】，所以復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)為，它在其次象限，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，考查運(yùn)算實(shí)力，考查推理實(shí)力，是簡潔題．3.已知向量，若，則的值為（）A.4 B.-4 C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】先求出，再利用求出的值.【詳解】故選【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量平行的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.4.已知，，，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：，．

．

故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．5.綻開式的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】寫出綻開式的通項(xiàng)，整理可知當(dāng)時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，代入通項(xiàng)求解結(jié)果．【詳解】綻開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)，即時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為：，故答案選D．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中求解指定項(xiàng)系數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題．6.雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求雙曲線的一條漸近線為，再利用直線相互垂直得，代入即可.【詳解】雙曲線一條漸近線為，漸近線與直線垂直，得，即，代入故選C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率求法，漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.7.已知圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為，則的值為()A.-2或2 B.2或 C.-2或 D.或2【答案】D【解析】【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)和半徑，依據(jù)圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為，得出，利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解．【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則，因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直線的最短距離為，所以，即，解得或，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中把圓上的點(diǎn)到直線的最短距離轉(zhuǎn)化為，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算與求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．8.已知函數(shù)，（是自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根、，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解方程，得，再作函數(shù)的圖像，及直線的圖象，在兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的前提下可知，存在實(shí)數(shù)，使得，再建立與的函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)推斷的單調(diào)性求最值即可.【詳解】解：∵，∴恒成立，∴，∴，作函數(shù)，的圖象如下，結(jié)合圖象可知，存在實(shí)數(shù)，使得，故，令，則，故在遞減，在遞增，∴，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.下表是某電器銷售公司2024年度各類電器營業(yè)收入占比和凈利潤占比統(tǒng)計(jì)表：則下列推斷中正確的是（）A.該公司2024年度冰箱類電器銷售虧損B.該公司2024年度小家電類電器營業(yè)收入和凈利潤相同C.該公司2024年度凈利潤主要由空調(diào)類電器銷售供應(yīng)D.剔除冰箱類電器銷售數(shù)據(jù)后，該公司2024年度空調(diào)類電器銷售凈利潤占比將會降低【答案】ACD【解析】【分析】凈利潤占比小于0即為虧損,即可推斷A；占比相同,但總收入與總凈利潤不同,即可推斷B；空調(diào)類電器凈利潤占比超過,明顯主要凈利潤由其供應(yīng),可推斷C；去掉虧損的冰箱類電器的銷售數(shù)據(jù),則總凈利潤提高,則空調(diào)類電器銷售凈利潤占比降低,即可推斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A,因?yàn)?說明2024年度冰箱類電器銷售虧損,故A正確；對于選項(xiàng)B,雖然小家電類營業(yè)收入占比和凈利潤占比相同,但總營業(yè)收入和總凈利潤不同,故小家電類電器營業(yè)收入和凈利潤不同,故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C,空調(diào)類電器凈利潤占比,故C正確；對于選項(xiàng)D,剔除冰箱類電器銷售數(shù)據(jù)后,空調(diào)類電器銷售凈利潤占比為,明顯有所降低,故D正確；故選:ACD【點(diǎn)睛】本題考查利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析實(shí)際問題,屬于基礎(chǔ)題.10.下列命題中，是真命題的是（）A.已知非零向量，若則B.若則C.在中，“”是“”的充要條件D.若定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】對A，對等式兩邊平方；對B，全稱命題的否定是特稱命題；對C，兩邊平方可推得或；對D，由奇函數(shù)的定義可得也為奇函數(shù).【詳解】對A，，所以，故A正確；對B，全稱命題的否定是特稱命題，量詞隨意改成存在，結(jié)論進(jìn)行否定，故B正確；對C，，所以或，明顯不是充要條件，故C錯(cuò)誤；對D，設(shè)函數(shù)，其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為奇函數(shù)，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的推斷，考查向量的數(shù)量積與模的關(guān)系、全稱命題的否定、解三角形與三角恒等變換、奇函數(shù)的定義等學(xué)問，考查邏輯推理實(shí)力，留意對C選項(xiàng)中得到的是的兩種狀況.11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，，，使得成立，則稱為“漂亮函數(shù)”.下列所給出的函數(shù)，其中是“漂亮函數(shù)”的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)“漂亮函數(shù)”的定義，分別求得個(gè)數(shù)函數(shù)的值域，即可作出判定，得到答案.【詳解】由題意知，函數(shù)定義域?yàn)?，，，使得成立，所以函?shù)的值域關(guān)于原點(diǎn)對稱，對于A中，函數(shù)的值域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，不符合題意；對于B中，函數(shù)的值域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，符合題意；對于C中，函數(shù)的值域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，符合題意；對于D中，函數(shù)的值域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，符合題意，故選BCD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用，其中解答中正確理解題意，分別求解函數(shù)的值域，判定值域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于中檔試題.12.如圖,在棱長均相等的四棱錐中,為底面正方形的中心,,分別為側(cè)棱,的中點(diǎn),有下列結(jié)論正確的有：()A.∥平面 B.平面∥平面C.直線與直線所成角的大小為 D.【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A,利用線面平行的判定定理即可證明；選項(xiàng)B,先利用線面平行的判定定理證明CD∥平面OMN，再利用面面平行的判定定理即可證明；選項(xiàng)C，平移直線，找到線面角，再計(jì)算；選項(xiàng)D,因?yàn)镺N∥PD，所以只需證明PD⊥PB，利用勾股定理證明即可.【詳解】選項(xiàng)A,連接BD，明顯O為BD的中點(diǎn)，又N為PB的中點(diǎn)，所以∥ON,由線面平行的判定定理可得，∥平面；選項(xiàng)B,由,分別為側(cè)棱,的中點(diǎn),得MN∥AB,又底面為正方形，所以MN∥CD，由線面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又選項(xiàng)A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；選項(xiàng)C,因?yàn)镸N∥CD，所以∠PDC為直線與直線所成的角，又因?yàn)槿坷忾L都相等，所以∠PDC=，故直線與直線所成角的大小為；選項(xiàng)D，因底面為正方形，所以,又全部棱長都相等，所以,故,又∥ON，所以，故ABD均正確.【點(diǎn)睛】解決平行關(guān)系基本問題的3個(gè)留意點(diǎn)(1)留意判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的條件中線在面外易忽視．(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出推斷．(3)會舉反例或用反證法推斷命題是否正確．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知點(diǎn)在拋物線上，則______；點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是______.【答案】(1).2(2).2【解析】【分析】將點(diǎn)M坐標(biāo)代入拋物線方程可得p值，然后由拋物線的定義可得答案.詳解】點(diǎn)代入拋物線方程得：，解得：；拋物線方程為：，準(zhǔn)線方程為：，點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離：故答案為2,2【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于簡潔題.14.已知，則的值為_____________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)的值，分別求出的值，再求和即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，則，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的余弦公式，重點(diǎn)考查了角的拼湊，屬中檔題.15.為了提高命題質(zhì)量，命題組指派5名老師對數(shù)學(xué)卷的選擇題、填空題和解答題這3種題型進(jìn)行改編，則每種題型至少指派一名老師的不同分派方法種數(shù)為_____種．【答案】150【解析】【分析】采納分步計(jì)數(shù)原理，首先將5人分成三組，計(jì)算出分組的方法，然后將三組進(jìn)行全排，即可得到答案．【詳解】依據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5人分成3組，若分為1、1、3的三組，有＝10種分組方法；若分為1、2、2的三組，＝15種分組方法；則有10+15＝25種分組方法；②，將分好的三組全排列，對應(yīng)選擇題、填空題和解答題3種題型，有種狀況，則有25×6＝150種分派方法；故答案為150．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．16.三棱錐的個(gè)頂點(diǎn)在半徑為的球面上，平面，是邊長為的正三角形，則點(diǎn)到平面的距離為______．【答案】【解析】分析】由題意，球心在三棱錐各頂點(diǎn)的距離相等，球心究竟面的距離等于三棱錐的高PA的一半，求出PA,，然后利用等體積求點(diǎn)到平面的距離【詳解】△ABC是邊長為的正三角形，可得外接圓的半徑2r2，即r＝1．∵PA⊥平面ABC，PA＝h，球心究竟面的距離d等于三棱錐的高PA的一半即，那么球的半徑R,解得h=2,又由知，得故點(diǎn)到平面的距離為故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查外接球問題，錐的體積，考查計(jì)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)的和為，且當(dāng)時(shí)，滿意．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）證明：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣Sn﹣1?Sn﹣Sn﹣1＝Sn?Sn﹣1（n≥2），取倒數(shù)，可得1，利用等差數(shù)列的定義即可證得：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（2）利用進(jìn)行放縮并裂項(xiàng)求和即可證明【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，即從而構(gòu)成以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可知，，．則當(dāng)時(shí)．故當(dāng)時(shí)又當(dāng)時(shí)，滿意題意，故．法二：則當(dāng)時(shí)，那么又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿意題意，【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的判定，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，突出裂項(xiàng)法、放縮法應(yīng)用的考查，屬于難題．18.在中，角、、所對的邊分別為、、，且.（1）求的值；（2）若，且的面積，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理邊角互化思想得，然后在等式兩邊同時(shí)除以，利用余弦定理可求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，從而可求出的值；（2）由正弦定理邊角互化思想得出，然后利用三角形的面積公式可求出的值.【詳解】（1）因?yàn)?，故，，故，因此，；?）因?yàn)?，故，即，的面積為，即，故，解得.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，同時(shí)也考查了三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，求二面角平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明平面，從而得出；（2）證明出平面，可得出、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后計(jì)算出平面、的法向量，利用空間向量法求出二面角平面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，.是的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，，.，平面，平面，；（2）由（1）知，，平面平面，平面平面，平面，平面，則、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、.設(shè)平面的法向量為，，.由，得，令，得，，所以，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，，由，得，取，得，.所以，平面的一個(gè)法向量為.則.結(jié)合圖形可知，二面角的平面角為銳角，其余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線垂直的判定，同時(shí)也考查了二面角余弦值的計(jì)算，一般須要建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法來求解，考查推理論證實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.20.某公司為了預(yù)料下月產(chǎn)品銷售狀況，找出了近7個(gè)月的產(chǎn)品銷售量（單位：萬件）的統(tǒng)計(jì)表：月份代碼1234567銷售量（萬件）但其中數(shù)據(jù)污損不清，經(jīng)查證，，.（1）請用相關(guān)系數(shù)說明銷售量與月份代碼有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（2）求關(guān)于的回來方程（系數(shù)精確到0.01）；（3）公司經(jīng)營期間的廣告宣揚(yáng)費(fèi)（單位：萬元）（），每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元，預(yù)料第8個(gè)月的毛利潤能否突破15萬元，請說明理由.（毛利潤等于銷售金額減去廣告宣揚(yáng)費(fèi)）參考公式及數(shù)據(jù)：，相關(guān)系數(shù)，當(dāng)時(shí)認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，回來方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】(1)見解析；(2)(3)見解析【解析】【分析】(1)依據(jù)中條件，計(jì)算相關(guān)系數(shù)的值，即可得出結(jié)論；（2）依據(jù)題中數(shù)據(jù)，計(jì)算出，即可得到回來方程；（3）將代入（2）的結(jié)果，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得，，，∴，因?yàn)樗凿N售量與月份代碼有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.(2)由及(Ⅰ)得所以關(guān)于的回來方程為（3）當(dāng)時(shí)，代入回來方程得（萬件）第8個(gè)月的毛利潤為，預(yù)料第8個(gè)月的毛利潤不能突破萬元.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回來分析，熟記最小二乘法求，以及線性回來分析的基本思想即可，屬于?？碱}型.21.已知橢圓：過點(diǎn)，且離心率．（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率為的直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線與的傾斜角分別為，證明：．【答案】（1）（2）詳見解析【解析】【分析】(1)由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；(2)設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，將原問題