湖南省長沙市2024年中考數(shù)學(xué)押題試卷（含解析）

湖南省長沙市2024年中考數(shù)學(xué)押題試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（共10小題，每小題3分,共30分）

1.下列命題中假命題是（）

A.正六邊形的外角和等于B.位似圖形必定相似

C.樣本方差越大，數(shù)據(jù)波動越小D.方程:-x-l=0無實數(shù)根

2.下列哪一個是假命題（）

A.五邊形外角和為360。

B.切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

C.（3,-2）關(guān)于y軸的對稱點為（-3,2）

D.拋物線y=x2-4x4-2017對稱軸為直線x=2

3.如圖是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)，則該幾何體的全面積是（）

5.某班為獎勵在學(xué)校運動會上取得好成績的同學(xué)，計劃購買甲、乙兩種獎品共20件.其中甲種獎品每件40元，乙種

獎品每件30元.如果購買甲、乙兩種獎品共花費了650元，求甲、乙兩種獎品各購買了多少件.設(shè)購買甲種獎品x

件，乙種獎品y件.依題意，可列方程組為（）

x+y=20[x+y=20

A.《B.<

40.x+30y=650[40%+20y=650

Jx+y=20x+y=70

C30x+40y=650D.《

40x+30y=650

6.下列各組單項式中,不是同類項的一組是（)

A.和2孫2B.3町和一羨C.5%2y和一2yx：2D.—3?和3

7.下列因式分解正確的是()

A.X2+9=(X+3)2B.a2+2a+4=(a+2)2

C.a3-4a2=a2(a-4)D.l-4x2=(l+4x)(l-4x)

X+3n7

8.若關(guān)于x的方程——+——=3的解為正數(shù)，則m的取值范圍是()

x-33-x

99口3

A.m<—B.m<一且m^一

222

993

C.m>-----D.m>-----且mg-----

444

9.已知點A(0,-4),B(8,0)和C(a,-a),若過點C的圓的圓心是線段AB的中點，則這個圓的半徑的最小

值是()

A叵B.72C.73D.2

2

10.如圖，已知AC是。O的直徑，點B在圓周上(不與A、C重合)，點D在AC的延長線上，連接BD交。。于

點E,若NAOB=3NADB,貝!]()

A.DE=EBB.72DE=EBC.逝DE=DOD.DE=OB

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11.關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點從原點。出發(fā)，沿著箭頭所示方向，每次移動一個單位，依次得到點Pi(0,

1)；Pl(1,1)；尸3(1,0)；尸4(1,-1)；Ps(2,-1);尸6(2,0)……，則點P2019的坐標(biāo)是.

13.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的折線圖如圖，設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為S,2、si,則sM_si(填

“V”)

15.化簡:

16.如圖，某景區(qū)的兩個景點A、B處于同一水平地面上、一架無人機(jī)在空中沿MN方向水平飛行進(jìn)行航拍作業(yè)，MN

與AB在同一鉛直平面內(nèi)，當(dāng)無人機(jī)飛行至C處時、測得景點A的俯角為45。，景點B的俯角為30。，此時C到地面

的距離CD為100米，則兩景點A、B間的距離為一米（結(jié)果保留根號）.

17.（8分）湯姆斯杯世界男子羽毛球團(tuán)體賽小組賽比賽規(guī)則：兩隊之間進(jìn)行五局比賽，其中三局單打，兩局雙打，五

局比賽必須全部打完，贏得三局及以上的隊獲勝.假如甲，乙兩隊每局獲勝的機(jī)會相同.若前四局雙方戰(zhàn)成2：2,那

么甲隊最終獲勝的概率是;現(xiàn)甲隊在前兩局比賽中已取得2：0的領(lǐng)先，那么甲隊最終獲勝的概率是多少？

18.（8分）某農(nóng)場急需核肥8噸，在該農(nóng)場南北方向分別有一家化肥公司A、B,A公司有錢肥3噸，每噸售價750

元；B公司有錢肥7噸，每噸售價700元，汽車每千米的運輸費用b（單位：元/千米）與運輸重量a（單位：噸）的

（1）根據(jù)圖象求出b關(guān)于a的函數(shù)解析式（包括自變量的取值范圍）；

（2）若農(nóng)場到B公司的路程是農(nóng)場到A公司路程的2倍，農(nóng)場到A公司的路程為m千米，設(shè)農(nóng)場從A公司購買x

噸錠肥，購買8噸錢肥的總費用為y元（總費用=購買錢肥費用+運輸費用），求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式（m為常數(shù)）,

并向農(nóng)場建議總費用最低的購買方案.

19.（8分）計算：|-2|+7+（2017-7T）0-4cos45°

20.（8分）如圖，AB是。。的直徑，點C在。O上，CE^AB于E,CD平分DECB,交過點B的射線于D,交

AB于F,且BC=BD.

（1）求證：BD是。O的切線；

（2）若AE=9,CE=12,求BF的長.

21.（8分）已知是關(guān)于%的方程/+4%—5=0的一個根，則2〃/+8〃2=_

22.（10分）某商場將進(jìn)價40元一個的某種商品按50元一個售出時，每月能賣出500個.商場想了兩個方案來增加利

潤：

方案一：提高價格，但這種商品每個售價漲價1元，銷售量就減少10個；

方案二：售價不變，但發(fā)資料做廣告.已知當(dāng)這種商品每月的廣告費用為皿千元）時，每月銷售量將是原銷售量的p

倍,且p=-涮期產(chǎn)+%淤

試通過計算，請你判斷商場為賺得更大的利潤應(yīng)選擇哪種方案？請說明你判斷的理由！

23.（12分）先化簡，再求值：2（m-1）2+3（2m+l）,其中m是方程2x?+2x-1=0的根

24.根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問題：

1ft人大理4智共io個

放入一個小球水面升高，cm,放入一個大球水面升高cm.

如果要使水面上升到50cm,應(yīng)放入大球、小球各多少個?

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、C

【解析】

試題解析：A、正六邊形的外角和等于360。，是真命題；

B、位似圖形必定相似，是真命題；

C、樣本方差越大，數(shù)據(jù)波動越小，是假命題；

D、方程x2+x+l=0無實數(shù)根，是真命題；

故選：C.

考點：命題與定理.

2、C

【解析】

分析：

根據(jù)每個選項所涉及的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析判斷即可.

詳解：

A選項中，“五邊形的外角和為360?！笔钦婷}，故不能選A；

B選項中，“切線垂直于經(jīng)過切點的半徑”是真命題，故不能選B；

C選項中，因為點(3,-2)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)是(-3,-2),所以該選項中的命題是假命題，所以可以選C；

D選項中，“拋物線y=x2-4x+2017對稱軸為直線x=2”是真命題，所以不能選D.

故選C.

點睛：熟記：(1)凸多邊形的外角和都是360。；(2)切線的性質(zhì)；(3)點P(a,b)關(guān)于y軸的對稱點為(-a,b)；

A

(4)拋物線丁=以2+法+。(。/0)的對稱軸是直線：x-等數(shù)學(xué)知識，是正確解答本題的關(guān)鍵.

2a

3、B

【解析】

解：根據(jù)三視圖得到該幾何體為圓錐，其中圓錐的高為4,母線長為5,圓錐底面圓的直徑為6,所以圓錐的底面圓的

面積=KX(—)2=9TT,圓錐的側(cè)面積=』x5x7tx6=157r,所以圓錐的全面積=97r+157r=247r.故選B.

22

點睛：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線長，扇形的弧長等于圓錐底面

圓的周長.也考查了三視圖.

4、C

【解析】

根據(jù)中心對稱圖形，軸對稱圖形的定義進(jìn)行判斷.

【詳解】

A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

B、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C、既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故本選項正確；

D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項錯誤.

故選C.

【點睛】

本題考查了中心對稱圖形，軸對稱圖形的判斷.關(guān)鍵是根據(jù)圖形自身的對稱性進(jìn)行判斷.

5、A

【解析】

根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，找到等量關(guān)系即可解題，見詳解.

【詳解】

解：設(shè)購買甲種獎品x件，乙種獎品y件.依題意，甲、乙兩種獎品共20件，即x+y=20,購買甲、乙兩種獎品共花費

了650元，即40x+30y=650,

x+y=20

綜上方程組為

40x+30y=650

故選A.

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的列式，屬于簡單題，找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

6、A

【解析】

如果兩個單項式，它們所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同，那么就稱這兩個單項式為同類項.

【詳解】

根據(jù)題意可知：x2y和2xy2不是同類項.

故答案選：A.

【點睛】

本題考查了單項式與多項式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握單項式與多項式的相關(guān)知識點.

7,C

【解析】

試題分析：A、B無法進(jìn)行因式分解；C正確；D、原式=(l+2x)(l-2x)

故選C,考點：因式分解

【詳解】

請在此輸入詳解！

8、B

【解析】

解：去分母得：x+m-3m=3x-9,

—2m+9

整理得：2x=-2m+9,解得：x=-------,

2

已知關(guān)于X的方程--+——=3的解為正數(shù)，

x—33—x

9

所以-2m+9>0,解得m<一,

2

._2/77+93

當(dāng)x=3時，x=-------=3,解得：m=—,

22

93

所以m的取值范圍是：m<—且mj—.

22

故答案選B.

9、B

【解析】

首先求得AB的中點D的坐標(biāo)，然后求得經(jīng)過點D且垂直于直線y=-x的直線的解析式，然后求得與y=-x的交點坐標(biāo),

再求得交點與D之間的距離即可.

【詳解】

AB的中點D的坐標(biāo)是(4,-2),

VC(a,-a)在一次函數(shù)y=-x上，

二設(shè)過D且與直線y=-x垂直的直線的解析式是y=x+b,

把(4,-2)代入解析式得：4+b=2

解得：b=-l,

則函數(shù)解析式是y=x-l.

y=x—6

根據(jù)題意得：「

y=-x

%=3

解得：-3

則交點的坐標(biāo)是(3,-3).

則這個圓的半徑的最小值是：J(4-3y+(-2+3產(chǎn)=也

故選：B

【點睛】

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及兩直線垂直的條件，正確理解C(a,-a),一定在直線y=-x上，是關(guān)鍵.

10>D

【解析】

解：連接EO.

：.ZB=ZOEB,

VZOEB=ZD+ZDOE,ZAOB^iZD,

:.ZB+ZD=3ZD,

：.ZD+ZDOE+ZD=3ZD,

：.ZDOE=ZD,

:.ED=EO=OB,

故選D.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、kVl且krl

【解析】

試題分析：根據(jù)一元二次方程的定義和A的意義得到后1且△>1,即(-2)2-4xkxl>l,然后解不等式即可得到k

的取值范圍.

解：關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x+l=l有兩個不相等的實數(shù)根，

Ak^l且4>1,即(-2)2-4xkxl>l,

解得kVl且導(dǎo)1.

，k的取值范圍為k<l且片1.

故答案為k<l且k#l.

考點：根的判別式；一元二次方程的定義.

12>(673,0)

【解析】

ri

由P3、「6、P9可得規(guī)律：當(dāng)下標(biāo)為3的整數(shù)倍時，橫坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為0,據(jù)此可解.

【詳解】

解：由尸3、尸6、尸9可得規(guī)律：當(dāng)下標(biāo)為3的整數(shù)倍時，橫坐標(biāo)為一，縱坐標(biāo)為0,

3

V20194-3=673,

/.P2019(673,0)

則點P2019的坐標(biāo)是(673,0).

故答案為(673,0).

【點睛】

本題屬于平面直角坐標(biāo)系中找點的規(guī)律問題，找到某種循環(huán)規(guī)律之后，可以得解.本題難度中等偏上.

13、>

【解析】

要比較甲、乙方差的大小，就需要求出甲、乙的方差；

首先根據(jù)折線統(tǒng)計圖結(jié)合根據(jù)平均數(shù)的計算公式求出這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

接下來根據(jù)方差的公式求出甲、乙兩個樣本的方差，然后比較即可解答題目.

【詳解】

m㈤3十3皿位3+6+2+6+4+3

甲組的平均數(shù)為：----------------------=4,

6

17

2222222

S￥=-X[(3-4)+(6-4)+(2-4)+(6-4)+(4-4)+(3-4)]=-,

63

,十,,.、，4+3+5+3+4+5

乙組的平均數(shù)為：----------------------=4,

6

12

Sz,2=-X[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=-,

63

.72

?一〉一，

33

?\S甲2>si.

故答案為：>.

【點睛】

本題考查的知識點是方差，算術(shù)平均數(shù)，折線統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握方差，算術(shù)平均數(shù)，折線統(tǒng)計圖.

16

14、——

3

【解析】

設(shè)AC=x,貝!)43=如，根據(jù)面積公式得A3c=2xJi-cos?C，由余弦定理求得cosC代入化簡

4

，由三角形三邊關(guān)系求得§<X<4，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得以A6C取得最大值.

【詳解】

1-------------

2

設(shè)AC=x,貝!|Ab=2x,根據(jù)面積公式得:c=/AdCsinC=2xsinC=2x^/1_cosQ.由余弦定理可

16-3x2

得:cosC

8x

2x+x>44

由三角形三邊關(guān)系有1+4>2x,解得

故當(dāng)x=拽時，g<x<4取得最大值E，

333

故答案為：—?

3

【點睛】

本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了計算能力,當(dāng)涉及最值問題時,

可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題,屬于中檔題.

15、正

4

【解析】

直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案.

【詳解】

y/11yf2..,y/2

3=1==故答案為sJ.

V82V244

【點睛】

本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16、100+10073

【解析】

【分析】由已知可得NACD=NMCA=45。，NB=NNCB=30。，繼而可得/DCB=60。，從而可得AD=CD=100米，DB=

1006米，再根據(jù)AB=AD+DB計算即可得.

【詳解】VMN//AB,ZMCA=45°,ZNCB=30°,

/.ZACD=ZMCA=45°,NB=NNCB=30。，

VCD1AB,.*.ZCDA=ZCDB=90°,ZDCB=60°,

,:CD=100米，:.AD=CD=100米，DB=CD?tan60°=73CD=100上米，

/.AB=AD+DB=100+10073（米），

故答案為：100+100

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角

形.注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

三、解答題（共8題，共72分）

17

17、(1)-；(2)-

28

【解析】

分析：（1）直接利用概率公式求解;

（2）畫樹狀圖展示所有8種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出甲至少勝一局的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求.

詳解：（1）甲隊最終獲勝的概率是工；

2

（2）畫樹狀圖為：

第三局獲勝甲

第四局獲勝甲乙甲乙

△AAA

第五局獲勝甲乙甲乙甲乙甲乙

共有8種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲至少勝一局的結(jié)果數(shù)為7,

7

所以甲隊最終獲勝的概率=『

點睛：本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n,再從中選出符合事件A或B

的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.

，3a(0<a<4)

18、(1)b=<(2)詳見解析.

5a-8(4<a)

【解析】

⑴分別設(shè)兩段函數(shù)圖象的解析式，代入圖象上點的坐標(biāo)求解即可；

⑵先求出農(nóng)場從A、B公司購買錢肥的費用，再求出農(nóng)場從A、8公司購買錢肥的運輸費用，兩者之和即為總費用，

可以求出總費用關(guān)于x的解析式是一次函數(shù)，根據(jù)機(jī)的取值范圍不同分兩類討論，可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)有圖象可得，函數(shù)圖象分為兩部分，設(shè)第一段函數(shù)圖象為代入點(4,12),即12=hx4,可得怎=3,設(shè)

4k2+c=12

第二段函數(shù)圖象為y=A*+c,代入點(4,12)、(8,32)可列出二元一次方程組”，解得：k2=5,c=-S,

8k2+c=32

f3a(0<a<4)

所以函數(shù)解析式為：8=u、；

5a-8(4<a)

(2)農(nóng)場從A公司購買鍍肥的費用為750x元，因為3公司有核肥7噸，10吐3,故農(nóng)場從3公司購買錢肥的重量(8

-x)肯定大于5噸，農(nóng)場從3公司購買錢肥的費用為700(8-x)元，所以購買錢肥的總費用=750x+700(8-x)

=50x+5600(0<x<3)；農(nóng)場從A公司購買錢肥的運輸費用為3x機(jī)元，且滿足10吐3,農(nóng)場從8公司購買錢肥的運輸

費用為[5(8-x)—8]x2機(jī)元，所以購買錢肥的總運輸費用為3ATM+[5(8—X)—8]X2?I=-7"zx+64機(jī)元，因此農(nóng)場

購買錢肥的總費用y=50x+5600—7znx+64?i=(50—7m)x+5600+64/ra(10於3),分一下兩種情況進(jìn)行討論；

①當(dāng)50—7吟0即"蠟時，y隨x的增加而增加，則x=l使得y取得最小值即總費用最低，此時農(nóng)場鍍肥的購買方

案為：從A公司購買1噸，從3公司購買7噸，

②當(dāng)50—7機(jī)<0即m時，y隨x的增加而減少，則x=3使得y取得最小值即總費用最低，此時農(nóng)場鐵肥的購買

7

方案為：從A公司購買3噸，從3公司購買5噸.

【點睛】

本題主要考查了方案比較以及函數(shù)解析式的求解，解本題的要點在于根據(jù)題意列出相關(guān)方程式.

19、1.

【解析】

直接利用零指數(shù)塞的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值和絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案.

【詳解】

解：原式=2+2r+1-4x-

=2+2-+1-2-

=1.

【點睛】

此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

20、（1）證明見解析；（2）1.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)垂直的定義可得NCEB=90。，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，判斷出N1=ND,

從而根據(jù)平行線的判定得到CE〃BD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得/DBA=NCEB,由此可根據(jù)切線的判定得證結(jié)果；

（2）連接AC,由射影定理可得二二：=二二二二，進(jìn)而求得EB的長，再由勾股定理求得BD=BC的長，然后由“兩角

對應(yīng)相等的兩三角形相似”的性質(zhì)證得△EFC-ABFD,再由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)果.

試題解析：（1）證明：I,一二.二一，

.??二二二二=可.

；CD平分二二二二，BC=BD,

.?—■—-9———■?

?一；一--

??一————?

二二二二=二二二二=好.

；AB是。O的直徑，

；.BD是（DO的切線.

（2）連接AC,

TAB是（DO直徑，

???二二二二=打.

可得二二.=二二二二.

在RtACEB中，NCEB=90。，由勾股定理得

二二二、，二二?+二二'=20.

???.——-'

VZ；二二二，ZEFC=ZBFD,

.?.△EFC^ABFD.

?」

..一二—

*01

.\BF=1.

考點：切線的判定，相似三角形，勾股定理

21、10

【解析】

利用一元二次方程的解的定義得到m2+4m=5,