2024年桂林市高考三模（第三次聯(lián)合模擬考試）數(shù)學試卷（含答案解析）

2024年高考第三次聯(lián)合模擬考試

數(shù)學2024.5

（才試川時120分仲，得分150分）

注意事項:

1.冬卷前.考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等埴寫在茶超卡上.

2.回冬選擇題時.選出玨小題答案后,川鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動.用撐皮擦干凈后,再逸於其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在冬題卡上.

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

1.若集合人=（-2?一］，3,5）,3=6|標＜4萬,則八05=

AJ-1}B.⑶

C.{-2,-1}D.{-2,-1,3}

2.已知l+zi=3i.則z=

A3+iB.3—i

C.-3+iD.l-3i

3,若（工一1）'+Cr—1）6=。（＞+。1工+?12、-1---卜0,d,則at=

A.18B.-18

C.12D.-12

4.具有線性相關(guān)關(guān)系的變量工2有一組觀測數(shù)據(jù)5，y）（箱=23—1,：=】，2-、5）,其經(jīng)驗回

歸方程為5=1.2H2,則言y=

A.40B.32

C.8D.12.8

5.某校組織社會實踐活動，將參加活動的3名老師與6名同學分成三組，每組1名老師與2名

同學，不一樣的分法共吊j

A.45種B.90種

C180種D.270種

6.在《九章算術(shù)》中，將四個前都是直角三珀形的四而體稱為蟹憂，花費懦P-A3C中,PBJL平

面人/SC,〃C_L&b且/"3=〃C=C八=2.M為PA的中點，則異而直線HM與AC所成加的

余弦儀為

數(shù)學試卷笫1頁（共4頁）

7.已知橢圓C：亨+專=1的右焦點為尸?過F的直線與C交于A、B兩點,其中點A在工軸上

方且屆^=2港，則B點的橫坐標為

A.-yB.|

乙乙

8.已知函數(shù)/（.r）=cos5一2sin2（u.rs\n"b（3>0）在（0,2萬）上有極小值沒有最大值，則GJ的取

值范圍是

A.（十號］

。?［居）口（得,彳1

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合要

求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.在ZXABC中,sinJ=4,BC=1,AC=5冽

乙乙

A.cosC=4-B.AB=5/21

乙

c.AABC的面積為搟D.AABC外接圓的直徑是2/7

10.小明計劃高考結(jié)束后，從廣西自然生態(tài)類的3處景點、歷史文化類的4處玨點中隨機選擇一

處開始旅游，要求所有景點全部游玩且不重復，記“第k站游玩自然生態(tài)類的景點”為事件

Ak/=1,2g…97g則

A.P（A6）=-1B.P（A2|A1）=4

C.P（A］+4）若D.P（A2瓦）=普

11.如圖，已知圓錐PO的底面半徑為點，高為痣,AB為底面圓的直徑，點C為底面圓周上的動

點，則

A當C為弧AR的三等分點時,△PAC的面積等于乎或工誓

B.該圓錐可以放入表面積為14K的球內(nèi)/\\

C.邊長為A的正方體可以放入到該圓錐內(nèi)二”.…、

D.該圓錐可以放入邊長為2四的正方體中上

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.拋物線。：寸=-2"。>0）經(jīng)過點。（一1,2）,則點P到。的焦點的距離為.

13.在中國傳統(tǒng)文化中，“九”被視為至尊之數(shù)，象征長壽、福氣和完美，若直線I與圓C相切，直

線/在兩坐標軸上的截距均為9,圓C的半徑為9,點C到才軸的距離為9?則圓C的一個方

程為.

M.若勺￡>2ainz-i）S>0）對任意的工6（0,十8）恒成立，則人的取值范圍是.

船舟川?上NQ1^1*fII-I而\

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

年菜一詞指舊俗過年時所備的菜籽，也就姑俗稱的“年夜飯”，為了了解消費者對年菜開支的接

受區(qū)間，某媒體統(tǒng)計了1000名消明者對年菜開支接受怕況，經(jīng)統(tǒng)計這1000名消費者對年菜

開支接受區(qū)間都在[0,]們內(nèi)(內(nèi)位J百元)，按照[0,2),[2"),[4,6),[6,8),[8,]。),口0,12),

口2,14]分組,蛆到如下頻率分布立力圖(同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點色為代表).

(D根據(jù)頻率分布直方圖求出這100。名消我#對年菜開支接爻價格的75%分位數(shù)(精確到

0.])?

(2)根據(jù)頻率分布直方圖可認為消費者對年菜開支接受價格X近似服從正態(tài)分布N(〃,

3.24。),其中〃近似為樣本平均數(shù).用樣本估計總體,求所有消費者對年菜開支接受價格

大于972元的概率.

參考數(shù)據(jù):若X?則P("—68,P(〃-2(<X&〃+20)=O.95,

16.(本小題滿分15分)

已知數(shù)列｛an｝的前n項和為S”,且4al—3s.=a.

(1)求數(shù)列(4)的通項公式；

⑵設(shè)”網(wǎng),且數(shù)列的)的前〃項和為了”,若V〃6N?都有不等式。4竽+3&恒成立,

求久的取值范圍.

數(shù)學試發(fā)第3頁(北4幣)

17.(本小題滿分15分)

如圖，在直三棱柱ABC-AiBG中,AB_LAC,AB=AC=1,三棱錐Ai-ABC的體積為

率，點Q為BBi的中點.

(1)求證:平而ACD_L平而AiBCi

(2)求宜線CD與平面人13c所成角的正弦值.

18.(本小題滿分17分)

雙曲線C：Y-￡=1S>O)的左、右焦點分別為6r2,過6且傾斜角為60°的直線為6,

過F2且傾斜角為60°的直線為儲已知l\M之間的距離為473.

(D求C的方程；

(2)若過點F2的直線I與C的左、右兩支分別交于M、N兩點(點M、N不在n軸上)，判斷

是否存在實數(shù)k使得IIMF?I-INF?11=A|MFz11NF,I.若存在，求出k的值;若不存

在,請說明理由.

19.(本小題滿分17分)

已知/(x)=(x—1—a*—x+(l+a)ln(x+l).

(D討論/(N)的單調(diào)性；

(2)若a>0且fCr)有2個極值點力，劭(ziVr?),求證J5)+/5)?<21n3—45+不).

數(shù)學試卷第4頁(共4頁)

2024年高考第三次聯(lián)合模擬考試?數(shù)學

參考答案、提示及評分細則

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

題號12345678

答案BACABCDD

二、選擇題;本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求。全部選對的

得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

題號91011

答案ABDABABD

1.B因為A={—2,—1,3,5},B={x|x2<4x}={x|0<j：<4}，所以AAB={3}，故選B.

2.A因為l+zi=3i,所以z=~~1J3i=3+i,故選A

3.C。2=0(—D+Q(―1”=12,故選C.

4.Ax=1+3+:+7+9=5,由點(五?在回歸直線上得5=L2X5+2=8,所以$父=5歹=40.

D1=1

「2「2A3

5.B。6：盧=90.

A3

6.C取PC的中點N,連接MN、BN,如圖所示:

???M、N分別為PA、PC的中點，則MN〃CA且MN=3CA=1,

二異面直線BM與AC所成的角為NBMN或其補角.

,.,PB,平面ABCBCU平面ABC,：.PB±BC,PC=7PB2+BC2=272,

：.BN=^PC=V2,同理可得PA=73,ABN2+MN2=BNP,

則cosNBMN=第=與.故選C.

7.D由題意得F(l,0),設(shè)4q，例)，夙亞，北)，由而=2蓬得，1=—2”，1—為=2(亞一1)，為=3—272,所

j(3—2論)」|(—2)2)2=

4'37Qfc

以<22，由點A在兄軸上方小=一22>0,即2<0,解得B(+，一竿)，故選D.

1號+”

8.D/(I)=COS(23;—3%)—2sin2axzsin3*=cos(2aAz+tor)=cos3OAZ,當zG(0,2冗)時，3爪：6(0,6g7t),若

/⑺在(0,2小上有最小值沒有最大值，則欠〈6s<2k,所以?，故選D.

00

「11

9.ABD對于A,cosC=l-2sin2券=1-2乂十=合,故A正確；

乙4乙

對于B,由A選項知cosC=J■，由余弦定理得AB2=BC2+AC2—2BC?ACcosC=l+25—2X5xJ=2L

乙乙

故AB=/K,故B正確；

對于C,由于在aABC中,CG(0,7t),故sinC>0,所以sinC=/1一府0=Jl—4=岑,S*=yBC-

ACsinC=4X5X§=乎，故C錯誤;對于D,設(shè)AABC外接圓半徑為R,2R="=窄=2療，故D

NN4smCy3

T

數(shù)學參考答案第1頁(共5頁)

正確.故選ABD.

10.AB由題意可得P(Ae)=誓=^,A正確;P(AQ=等=3，P(A2AQ=/冬=J,P(A2|A])=

1

與贊?=!=等，故B正確;由于P(Ai+A2)=P(Ai)+P(A2)—P(AmA2)=^+9—3=3，M

T

誤;P(A?瓦)=墨&=第=率所以D錯誤.故選AB.

11.ABD對于A,取AC的中點D,連接OD,PD,OC,則OD±AC,PD,AC,如圖1,當C為弧AB的三等分點

B^t，ZAOC=120°或ZAOC=60°,當/AOC=120°時，OD=4OC=織PD=vW+QD2=

乙乙

J函>+(烏)=苧,DC=§OC=等,AC=2DC=3,所以aPAC的面積為看AC?PD="|X3X唱

=唾，當NAOC=60°時,OD=哮OC=^,PD=VP&+OD2=A/(V6)2+(4)2=^P,AC=OC=73,

4乙乙V乙乙

所以△PAC的面積為^AC?「。=3*乃*號=號亙,故A正確；

對于B,因為圓錐的底面半徑為點，高為乃,所以圓錐的外接球球心在圓錐內(nèi)部，設(shè)圓錐外接球的半徑為R,

過點A的軸截面如圖2Q為外接球球心，則(痣-R)2+(e/=R2,解得火=乎，外接球的表面積為

4TTR2=與",予7t<147r,故B正確；

對于C,設(shè)放入圓錐內(nèi)最大的正方體邊長為a,沿著正方體對角面的軸截面如圖3,因為圓錐的底面半徑為

42a

點,高為四，所以黑磊，所以PH=a,所以2a=痣,a=亨，因為好杏羽>與，所以C不正確；

對于D,過正方體一邊的中點作與體對角線垂直的平面，如圖4,此平面到頂點P的距離為體對角線的一

半，即為得，(2回?+(2夜)?+(2慮)2=低平面截正方體得到邊長為2的正六邊形，該正六邊形的內(nèi)切

圓的半徑為盜，以該圓作為圓錐的底面，點P為頂點即可得到圓錐.故D正確.故選ABD.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.2把P(—1,2)代入L工得力=2,C的焦點為F(—l,0),|PF\=2.

13.(z—9「)2+(y—9尸=81(答案不唯一)由題意可得直線I的方程為彳+?—9=0,設(shè)C(a,±9),由直線I

與圓C相切，得星浮2=9,所以。=士9女或a=18±9北■，所以圓C的一個方程可以為(了一?/)？+

V2

3—9)2=81.

_kQ.r1yJtk#

14.(0,e]由；—>2(Ain力一得-7—l>21n丁，即二一21n—7—1>0,設(shè)％=—7,則L21n1》0,設(shè)

eeeeee

/(Z)=Z-21nT,則/⑴=1—看='4所以f(Z)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，且/(I)

數(shù)學參考答案第2頁(共5頁)

=0,y(2)=l—2In2<0,又1r-*+8時方=，-?(),所以0<方41,即，丁)/Inz,設(shè)〃(x)=

x—^lnx,則/i/(x)=l——,h(x')^h(k')=k—々In人>O,ln1<l,OVA〈e.

JC

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

15.解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，可得(0.04+0.08+0.12+0.10)X2=0.68<0.75,

(0.04+0.08+0.12+0.10+0.08)X2=0.84>0,75,

所以這1000名消費者對年菜開支接受價格的75%分位數(shù)是8+吟奈8.9...........................6分

U.Uo

(2)由〃=0.08X1+0.16X3+0.24X5+0.20X7+0.16X9+0.10X11+0.06X13=6.48,..............9分

所以X?N(6.48,3.242),

所以P(X>9.72)=匕￡仁哆運&應=I-j68=0.16,

故所有消費者對年菜開支接受價格大于972元的概率為0.16...............................................................13分

16.解：(1)因為4幻一3s“=表，

當??=1時可得4al—3al=1,即=1得0,3S”=4一.L①，..............................................................2分

當時,3S,i=4一/②，.................................................................................................................3分

由①一②得3a“=^^一住7，。”=/y,又a1=1也滿足，......................................5分

所以a?=(-y)..........................................................................................................................................6分

111—1

(2)因為6"="a”=〃(十)，.....................................................................................................................7分

1011]21H-1,

所以]?=1X(W)+2><(彳)+3X(-)+---+?7X(―)9..............................................................9分

111121IIn

-7-T=lX(-T-)+2X(丁)+???+(72-1)X(丁)+nX(-7"),......................................................10分

4n4444

9[0]][21n—11n

兩式相減得,"^^=(彳)+(W)+(-T)-----^(7)—〃X(1),

In

R]1--(k--4-)7In,2441〃

即7T〃=-------------n(-J-)，則-(7z+-y)(]),

1-T

故Z尸號—■-...............................................................12分

由著+3/a〃，得￥——一!-(%+g)(J)&著+3/(,)，即義》^-—得，.................13分

yI/Oo^x?7Tcy乙/

依題意，V7?GN*不等式人》一■^一言恒成立，

y乙/

因為卷一《隨著"增大而減小，.......................................................14分

所以義》一千，即久的取值范圍為［一￡,十8)......................................................................................15分

17.⑴證明:在直三棱柱ABC—A出G中,ACLAAi,

因為AC±AB,ABpAA1=A,

所以4：_1平面43為4,

因為ABU平面ABB】A,所以AC,A】B,.................................................................................................2分

由咻_田=￡*2"?AC?AA1=《,得"】=伍........................................3分

1OZ0

數(shù)學參考答案第3頁(共5頁)

在矩形ABB!A.中，tan/ABAi=第=畬，tanZADB=^=/,

/1￡）1DU

所以NASA】=NAD3,

因為NADB+NBAD=90°,所以NASA】+/BAD=90°,

所以AD_[_AB,.............................................................................5分

因為ADnAC=A，所以A]平面ACD.

因為ABU平面ABC,

所以平面ACDJ_平面ABC.................................................................7分

⑵解：因為AB,AC,AA1兩兩垂直，以點A為坐標原點，以AB,AC,AA1所在

直線分別為z軸,？軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則A(0,0,0),B(l,0,0),C(0,l,0),Ai(0,0,y^),D(l,0,g),

所以病=(-1,1,0),禍=(-1,0,"),無=(1,一1，￥)...........9分

(n,BC=0

設(shè)平面A]BC的法向量為〃=(N,;y,N),則有一＞,

In?BAy=0

次/-x+j/=0

I—T+42Z=Q

取z=l,得"=(畬，作，1),..................................................................12分

設(shè)直線CD與平面AiBC所成角為心

同.一回_9+(-DX〃+gxi|J

則se逐甫一/⑴二F

在+(一1)2+(華)y(V2)2+(72)2+l2

所以直線CD與平面ABC所成角的正弦值為卷..............................................15分

18.解：（1）設(shè)c="F^,

因為Z1,22之間的距離為4痣,所以2csin60°=4痣述=4,......................................2分

則

&2=C2-4=12,

所以C的方程為與一名=1.................................................................4分

4XLt

（2）由（1）知尸2（4,0）,設(shè)直線Z：J?=7HJ/+4（772#0）,3/1）,N（J:2?J^2）?

（之一丈=1

聯(lián)立方程組4412—\消去1,得（37/-1*2+2癡^+36=0,

Vx=my+^

飛/一170

△=144（7/+1）＞0

所以《I24/727分

以+"一詬=T

36

[加北=石￡=1

因為IMF?|2=(^1—4)2+j/i=(7?22+l)j/i,

所以|乂尸2]=/^阡1|以|,同理|7\^2|=/^干1|2|.…9分

因為直線I過點F2且與c的左、右兩支分別交于M,N兩點,

所以M,N兩點在了軸同側(cè)，.?.例2>0，此時3/一1>0,即4>春

O

IMF?1—|NFz|2_11____________2

所以（IMF2I[NF?]）_IMF/十WK/|MF,I-|NF2|

數(shù)學參考答案第4頁(共5頁)

=1,]____________2

(?7?2+1)J/](m2+l)j/2(m2+1)13/13/2I

=1./1I121.()】+62――41/

222

m+lylyly\y2m+l(3^13^2)

1?722+1_1

14分

7刀2+199'

^n\\MF2\~\NF2\\=1

叨以IMF2IINF2I—3，

所以存在歸=[,使得IIMFZI—INFZI|=a|MF2||NFz|...................................................................17分

o

19.解：(1)/(2)的定義域為(一1,十8),

由題可得f'(J?)=(X—a)e*—1+：：；=(z—a)(er-工；1),

1分

設(shè)g(工)=^.一巖，則g(z)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，且g(0)=0,......................................................2分

若a<—1,則x—a〉0,zG(—1,0)時,f'(z)<0,/(z)單調(diào)遞減,zG(0,+8)時,/(z)>0,/(工)單調(diào)遞