2025年天津市寶坻區(qū)等部分區(qū)高三數(shù)學試題下學期期中考試數(shù)學試題含解析

2025年天津市寶坻區(qū)等部分區(qū)高三數(shù)學試題下學期期中考試數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設為定義在上的奇函數(shù)，當時，(為常數(shù))，則不等式的解集為（）A． B． C． D．2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A．8 B．32 C．64 D．1283．設等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．294．已知函數(shù)，以下結論正確的個數(shù)為（）①當時，函數(shù)的圖象的對稱中心為；②當時，函數(shù)在上為單調遞減函數(shù)；③若函數(shù)在上不單調，則；④當時，在上的最大值為1．A．1 B．2 C．3 D．45．已知，，分別為內角，，的對邊，，，的面積為，則（）A． B．4 C．5 D．6．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，則A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}7．函數(shù)f(x)=lnA． B． C． D．8．總體由編號01，,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A．08 B．07 C．02 D．019．已知拋物線和點，直線與拋物線交于不同兩點，，直線與拋物線交于另一點．給出以下判斷：①直線與直線的斜率乘積為；②軸；③以為直徑的圓與拋物線準線相切.其中，所有正確判斷的序號是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③10．某設備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為，，，，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計劃維修費用超過15萬元將該設備報廢，則該設備的使用年限為（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年11．已知復數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則（）A． B．2 C． D．12．已知，是函數(shù)圖像上不同的兩點，若曲線在點，處的切線重合，則實數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，則的值為________.14．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，且與圖象的交點為，，…，，則______．15．已知實數(shù)，滿足則的取值范圍是______.16．已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經過點，則該雙曲線的標準方程為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求的前項和及使得最小的的值.18．（12分）若函數(shù)在處有極值，且，則稱為函數(shù)的“F點”.（1）設函數(shù)（）.①當時，求函數(shù)的極值；②若函數(shù)存在“F點”，求k的值；（2）已知函數(shù)（a，b，，）存在兩個不相等的“F點”，，且，求a的取值范圍.19．（12分）設函數(shù)（其中），且函數(shù)在處的切線與直線平行.（1）求的值；（2）若函數(shù)，求證：恒成立.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調性；（2）當時，求證：.21．（12分）某大學生在開學季準備銷售一種文具套盒進行試創(chuàng)業(yè)，在一個開學季內，每售出1盒該產品獲利50元，未售出的產品，每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料，得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.該同學為這個開學季進了160盒該產品，以（單位：盒，）表示這個開學季內的市場需求量，（單位：元）表示這個開學季內經銷該產品的利潤.（1）根據(jù)直方圖估計這個開學季內市場需求量的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）將表示為的函數(shù)；（3）以需求量的頻率作為各需求量的概率，求開學季利潤不少于4800元的概率.22．（10分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

由可得，所以，由為定義在上的奇函數(shù)結合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，可知在上單調遞增，注意到，再利用函數(shù)單調性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數(shù).所以，解得，所以當時，，且時，單調遞增，所以在上單調遞增，因為，故有，解得.故選：D.本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調性解不等式，考查學生對函數(shù)性質的靈活運用能力，是一道中檔題.2．C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，逐次計算，結合判斷條件，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行上述程序框圖，可得第1次循環(huán)，滿足判斷條件，；第2次循環(huán)，滿足判斷條件，；第3次循環(huán)，滿足判斷條件，；第4次循環(huán)，滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出.故選：C.本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，結合判斷條件求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3．D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數(shù)列，又，公差為，，故選：D考查等差數(shù)列的有關性質、運算求解能力和推理論證能力，是基礎題.4．C【解析】

逐一分析選項，①根據(jù)函數(shù)的對稱中心判斷；②利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性；③先求函數(shù)的導數(shù)，若滿足條件，則極值點必在區(qū)間；④利用導數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù)，其圖象的對稱中心為原點，根據(jù)平移知識，函數(shù)的圖象的對稱中心為，正確．②由題意知．因為當時，，又，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上為單調遞減函數(shù)，正確．③由題意知，當時，，此時在上為增函數(shù)，不合題意，故．令，解得．因為在上不單調，所以在上有解，需，解得，正確．④令，得．根據(jù)函數(shù)的單調性，在上的最大值只可能為或．因為，，所以最大值為64，結論錯誤．故選：C本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎題型.5．D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出，結合余弦定理即可求出的值.【詳解】解：，即，即.，則.，解得.，故選:D.本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關系.本題的關鍵是通過正弦定理結合已知條件，得到角的正弦值余弦值.6．D【解析】

解一元二次不等式化簡集合,再由集合的交集運算可得選項.【詳解】因為集合，故選：D.本題考查集合的交集運算，屬于基礎題.7．C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=8．D【解析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為：08,02,14,07,01，所以第5個個體是01，選D.考點：此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機數(shù)表法，考查學習能力和運用能力.9．B【解析】

由題意，可設直線的方程為，利用韋達定理判斷第一個結論；將代入拋物線的方程可得，，從而，，進而判斷第二個結論；設為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點．設，到準線的距離分別為，，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，，三點不共線，進而判斷第三個結論.【詳解】解：由題意，可設直線的方程為，代入拋物線的方程，有．設點，的坐標分別為，，則，．所．則直線與直線的斜率乘積為．所以①正確．將代入拋物線的方程可得，，從而，，根據(jù)拋物線的對稱性可知，，兩點關于軸對稱，所以直線軸．所以②正確．如圖，設為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點．設，到準線的距離分別為，，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，，三點不共線，則．所以③不正確．故選：B.本題主要考查拋物線的定義與幾何性質、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想,屬于難題．10．D【解析】

根據(jù)樣本中心點在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，，由，估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應用，屬于基礎題.11．C【解析】

把代入，利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求解即可．【詳解】∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，解得．故選C．本題考查復數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．12．B【解析】

先根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出在兩點處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關系樹，從而得出，令函數(shù)，結合導數(shù)求出最小值，即可選出正確答案.【詳解】解：當時，，則;當時，則.設為函數(shù)圖像上的兩點，當或時，，不符合題意，故.則在處的切線方程為；在處的切線方程為.由兩切線重合可知，整理得.不妨設則，由可得則當時，的最大值為.則在上單調遞減，則.故選:B.本題考查了導數(shù)的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉化與化歸等思想方法.本題的難點是求出和的函數(shù)關系式.本題的易錯點是計算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

運用等比數(shù)列的通項公式，即可解得．【詳解】解：，，，，，，，，，，，．故答案為：．本題考查等比數(shù)列的通項公式及應用，考查計算能力，屬于基礎題．14．18【解析】

由題意得函數(shù)f（x）與g（x）的圖像都關于點對稱，結合函數(shù)的對稱性進行求解即可．【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)關于點對稱，，函數(shù)關于點對稱，所以兩個函數(shù)圖象的交點也關于點（1，2）對稱，與圖像的交點為，，…，,兩兩關于點對稱，.故答案為：18本題考查了函數(shù)對稱性的應用，結合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質求出函數(shù)的對稱性是解決本題的關鍵，屬于中檔題.15．【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，即可由直線的平移方法求得的取值范圍.【詳解】.由題意，畫出約束條件表示的平面區(qū)域如下圖所示，令，則如圖所示，圖中直線所示的兩個位置為的臨界位置，根據(jù)幾何關系可得與軸的兩個交點分別為，所以的取值范圍為.故答案為：本題考查了非線性約束條件下線性規(guī)劃的簡單應用，由數(shù)形結合法求線性目標函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.16．【解析】

設雙曲線方程為，代入點，計算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為，則設雙曲線方程為：，代入點，則.故雙曲線方程為：.故答案為：.本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線，設雙曲線方程為是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）；時，取得最小值【解析】

（1）設等差數(shù)列的公差為，由，結合已知，聯(lián)立方程組，即可求得答案.（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由及，得解得數(shù)列的通項公式為（2）由（1）知時，取得最小值.本題解題關鍵是掌握等差數(shù)列通項公式和前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.18．（1）①極小值為1，無極大值.②實數(shù)k的值為1.（2）【解析】

（1）①將代入可得，求導討論函數(shù)單調性，即得極值；②設是函數(shù)的一個“F點”（），即是的零點，那么由導數(shù)可知，且，可得，根據(jù)可得，設，由的單調性可得，即得.（2）方法一：先求的導數(shù)，存在兩個不相等的“F點”，，可以由和韋達定理表示出，的關系，再由，可得的關系式，根據(jù)已知解即得.方法二：由函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，可知，是關于x的方程組的兩個相異實數(shù)根，由得，分兩種情況：是函數(shù)一個“F點”，不是函數(shù)一個“F點”，進行討論即得.【詳解】解：（1）①當時，（），則有（），令得，列表如下：x10極小值故函數(shù)在處取得極小值，極小值為1，無極大值.②設是函數(shù)的一個“F點”（）.（），是函數(shù)的零點.，由，得，，由，得，即.設，則，所以函數(shù)在上單調增，注意到，所以方程存在唯一實根1，所以，得，根據(jù)①知，時，是函數(shù)的極小值點，所以1是函數(shù)的“F點”.綜上，得實數(shù)k的值為1.（2）由（a，b，，），可得（）.又函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，，是關于x的方程（）的兩個相異實數(shù)根.又，，，即，從而，，即..，，解得.所以，實數(shù)a的取值范圍為.（2）（解法2）因為（a，b，，）所以（）.又因為函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，所以，是關于x的方程組的兩個相異實數(shù)根.由得，.（2.1）當是函數(shù)一個“F點”時，且.所以，即.又，所以，所以.又，所以.（2.2）當不是函數(shù)一個“F點”時，則，是關于x的方程的兩個相異實數(shù)根.又，所以得所以，得.所以，得.綜合（2.1）（2.2），實數(shù)a的取值范圍為.本題考查利用導數(shù)求函數(shù)極值，以及由函數(shù)的極值求參數(shù)值等，是一道關于函數(shù)導數(shù)的綜合性題目，考查學生的分析和數(shù)學運算能力，有一定難度.19．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導得到，解得答案.（2）變形得到，令函數(shù)，求導得到函數(shù)單調區(qū)間得到，，得到證明.【詳解】（1），，解得.（2）得，變形得，令函數(shù)，，令解得，當時，時.函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，，，即，即，恒成立.本題考查了根據(jù)切線求參數(shù)，證明不等式，意在考查學生的計算能力和轉化能力，綜合應用能力.20．（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)的導函數(shù)進行分類討論單調性（2）欲證，只需證，構造函數(shù)，證明，這時需研究的單調性，求其最大值即可【詳解】解：（1）的定義域為，，①當時，由得，由，得，所以在上單調遞增，在單調遞減；②當時，由得，由，得，或，所以在上單調遞增，在單調遞減，在單調遞增；③當時，，所以在上單調遞增；④當時，由，得，由，得，或，所以在上單調遞增，在單調遞減，在單調遞增.（2）當時，欲證，只需證，令，，則，因存在，使得成立，即有，使得成立.當變化時，，的變化如下：0單調遞增單調遞減所以.因為，所以，所以.即，所以當時，成立.考查求函數(shù)單調性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法，難題.21．（1），眾數(shù)為150；（2）；（3）【解析】

（1）由頻率直方圖分別求出各組距內的頻率，由此能求出這個開學季內市場需求量的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）由已知條件推導出當時，，當時，，由此能將表示為的函數(shù)；（3）利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率．【詳解】（1）由直方圖可估計需求量的眾數(shù)