線性代數(shù)知識點歸納

線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點1.排列的逆序數(shù)2.行列式按行（列）展開法則3.行列式的性質(zhì)及行列式的計算行列式的定義D=naaaa…a…a…an2n2Σ(-1)τ(j1j2jn)aa1j12j2j1j2jnnjn行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.A,i=j,③(化為三角型行列式)上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.A=****b0***b...b==AO*B**a*a2n-1aa2n-1aO221x1x211x2x221xnxn-11xn-11…xn-1n2)ijabbbabbba.........n-1⑧(升階法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不變的方法.⑨(遞推公式法)對n階行列式D找出D與D或D,D之間的一種關(guān)系——稱為遞推公式，其中nnn-1n-1n-2D,D,D等結(jié)構(gòu)相同，再由遞推公式求出D的方法稱為遞推公式法.nn-1n-2n(拆分法)把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡化以例計算.③、構(gòu)造齊次方程組Ax=0，證明其有非零解；④、利用秩，證明r(A)<n；⑤、證明0是其特征值.ij1.矩陣的運算性質(zhì)2.矩陣求逆3.矩陣的秩的性質(zhì)4.矩陣方程的求解=(-1)i+jAijA=(-1)i+jMijija)a)a)a)同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等.矩陣相等:兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等.矩陣運算a.矩陣加（減）法：兩個同型矩陣，對應(yīng)元素相加（減）.b.數(shù)與矩陣相乘：數(shù)λ與矩陣A的乘積記作λA或Aλ,規(guī)定為λA=(λa).ijEQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up30(b),b)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up19(1),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up19(j),j)i11ji22jissj注：矩陣乘法不滿足：交換律、消去律,EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(n),2)ab12bEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(n),2)ab12bb.用對角矩陣乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量； c.用對角矩陣右c.用對角矩陣右乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量. d.兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘.⑤矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT.a.對稱矩陣和反對稱矩陣:A是對稱矩陣AAT.A是反對稱矩陣AAT.DTDTijAA…AAAA…AAijn2，A為A中各個元素的代數(shù)余子式.ijAAAA*A*AAE,A*An1,A1A1.A*BA*AB*BA*(A（cA（cd)ad-bc（-ca)副…變號T)T-1)-1*)*=An-2AA(n(A-1)TT)-1(A-1)kk)-1-kABTAT(AB)-1=B-1A-1AT=AA-1=A-1A*=An-1(AT)**)T(Ak)**)kAk=Ak-A*((A)-1(A-1)(A)-1(B-1)（B)（B-1)（B)（A-1)（OB)（OB)（CB)（-B-1CA-1B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up35(1),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(1),a2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483623(1),a3)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483623(1),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(1),a2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up35(1),a3)3.行階梯形矩陣可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素非零.當(dāng)非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是0時，稱為行最簡形矩陣4.初等變換與初等矩陣對換變換、倍乘變換、倍加（或消法）變換初等矩陣的逆初等矩陣的逆E(i,j)-1=E(i,j)kE[i,j(k)]-1=E[i,j(-k)]初等變換r~r(c~c)ijijiiijij初等矩陣的行列式E(i,j)=-1E[i(k)]=kE[i,j(k)]=1初等矩陣E(i,j)E(i(k))E(i,j(k))?矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對A施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘A；對A施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘A.注意：初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣.5.矩陣的秩關(guān)于A矩陣秩的描述：①、r(A)=r，A中有r階子式不為0，r+1階子式(存在的話)全部為0；②、r(A)<r，A的r階子式全部為0；?矩陣的秩的性質(zhì)：②r(A)=r(AT)=r(ATA)⑤r(AB)≤min{r(A),r(B)}⑥若P、Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；即：可逆矩陣不影響矩陣的秩.常EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(x),r)(EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up16(=o),AB))解EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up8(AB),AB)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up8(O),AC)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up8(常),常)O)(EEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(r),OO)(EEQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up14(O),O)為矩陣A的等價標準型.⑨r(A土B)≤r(A)+r(B),max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(A),O)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(O),B)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(O),B)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(A),O)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(A),O)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(C),B)||||（bn));|2a|2|||||（bn));|2a|2|2.向量組的線性相關(guān)性5.線性方程組的解的判定6.線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）（1）齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）（2）非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）則稱β是a,a,...,a的線性組合，或稱稱β可由a,a,...,a的線性表示.線性表示的判別定理:β可由a,a,,a的線性表示由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程：EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up17(a),a)n||||||aaaam2a)(xEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up12(1n),2n)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up12(1),2)m)（)（bm)(b)1b2)|x1n))||(b..(b...||||||)...||n2n2ii)(c)(c)|||2EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up17(1n),2n|||2n2)n2)（cm)122m3.線性相關(guān)性推論壘線性相關(guān)性判別法（歸納）壘線性相關(guān)性的性質(zhì)①零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交.②單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān).③部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān).（向量個數(shù)變動）④原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān).（向量維數(shù)變動）⑤兩個向量線性相關(guān)常對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān).⑥向量組C,C,...,C中任一向量C(4.最大無關(guān)組相關(guān)知識向量組的秩向量組C,C,,C的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩.記作r(C1,C2,,Cn)矩陣等價A經(jīng)過有限次初等變換化為B.①矩陣的行向量組的秩=列向量組的秩=矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).②矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行（列）向量間的線性關(guān)系⑤任一向量組和它的極大無關(guān)組等價.向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價.⑥向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一確定.⑦若兩個線性無關(guān)的向量組等價,則它們包含的向量個數(shù)相等.⑧設(shè)A是mxn矩陣,若r(A)=m，A的行向量線性無關(guān)；5.線性方程組理論(a|aEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up18(1),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up18(1),1)|mn)（xn)（bm)2n2n（1）解得判別定理(C)|1j|mj)mj)||||(3)||EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up16(5),6)|(7)|EQ\*jc3\*hps38\o\al(\s\up1(η),1)01122ii一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一.EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up14(A),B)①它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等；②它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；③它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.矩陣A與B的列向量組等價常AQ=B（右乘可逆矩陣Q）.1.施密特正交化過程2.特征值、特征向量的性質(zhì)及計算3.矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化1.標準正交基n個n維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個向量長度為1.（an)（an)3.設(shè)A是一個n階方陣,若存在數(shù)λ和n維非零列向量x,使得則稱λ是方陣A的一個特征值，x為方陣A的對應(yīng)于特征值λ的一個特征向量.ΣΣ1⑥上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的n各元素.|||||112+ab2...⑨若A的全部特征值λ,λ,,λ,f(A)是多項式,則:①若A滿足f(A)=O常A的任何一個特征值必滿足f(λ)=0i②f(A)的全部特征值為f(λ),f(λ),…,f(λ)；⑩A與AT有相同的特征值，但特征向量不一定相同.4.特征值與特征向量的求法i(1)寫出矩陣A的特征方程A-λE=0，求出特征值λ.i(2)根據(jù)(A-λE)x=0得到A對應(yīng)于特征值λ的特征向量.iif(A)=f(λ)f(λ)f(λ)設(shè)(A-λE)x=0的基礎(chǔ)解系為ξ,ξ,ξii12n-riiiiii1122n-rniii12n-riA可以相似對角化A與對角陣Λ相似.（稱Λ是A的相似標準形）①λE-A=λE-B,從而A,B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.a是A關(guān)于λ的特征向量,P-1a是B關(guān)于λ的特征向量④r(A)=r(B)⑤若A與B相似,則A的多項式f(A)與B的多項式f(A)相似.7.矩陣對角化的判定方法①n階矩陣A可對角化(即相似于對角陣)的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量.設(shè)a為對應(yīng)于λii(λP-1AP(λ2.②A可相似對角化常n-r(λE-A)=k，其中k為λ的重數(shù)常A恰有n個線性無關(guān)的特征向量.iiiii③若n階矩陣A有n個互異的特征值常A可相似對角化.i①特征值全是實數(shù),特征向量是實向量；②不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交；：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；③一定有n個線性無關(guān)的特征向量.若A有重的特征值,該特征值λ的重數(shù)=n-r(λE-A)；ii④必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標準形；⑤與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標準形；⑥兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值.③正交陣的行列式等于1或-1；④A是正交陣,則AT，A-1也是正交陣；⑤兩個正交陣之積仍是正交陣；⑥A的行（列）向量都是單位正交向量組.施密特正交規(guī)范化施密特正交規(guī)范化a,a,a線性無關(guān),22|1β21β112β223β33技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量代入方程，確定其自由變量.1.二次型及其矩陣形式2.二次型向標準形轉(zhuǎn)化的三種方式3.正定矩陣的判定(aTAxn2n)|正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項項數(shù)p負慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負項項數(shù)r-p符號差2p-r(r為二次型的秩)④兩個矩陣合同常它們有相同的正負慣性指數(shù)常他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等.