人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)-2.4～2.5 圓 習(xí)題課（含解析）

2.4～2.5圓習(xí)題課（原卷版）1．已知集合A＝{(x，y)|x，y為實(shí)數(shù)，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y為實(shí)數(shù)，且x＋y＝1}，則A∩B中的元素個(gè)數(shù)為()A．4 B．2C．3 D．12．已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝3 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝23．圓x2＋y2－4x＋6y－12＝0過(guò)(－1，0)的最大弦長(zhǎng)為m，最小弦長(zhǎng)為n，則m－n等于()A．10－2eq\r(7) B．5－eq\r(7)C．10－3eq\r(3) D．5－eq\f(3\r(2),2)4．已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝95．已知點(diǎn)O(0，0)，A(0，2)，點(diǎn)M是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，則△OAM面積的最小值為()A．1 B．2C．3 D．46．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上的點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的最短距離為1，則圓的半徑r為()A．4 B．5C．6 D．97．【多選題】已知點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，若圓(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝3，則實(shí)數(shù)a的值可以為()A．－2 B．－1C．2 D．08．設(shè)曲線x＝eq\r(2y－y2)上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離的最大值為a，最小值為b，則a－b的值為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)＋1 D．29．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋eq\f(1,2)m2＝0所確定的圓中，面積最大的圓為_(kāi)_______；最大面積是________．10．一條光線從點(diǎn)(－2，3)射出，經(jīng)x軸反射后與圓x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，則反射光線所在直線的斜率為_(kāi)_______．11．過(guò)直線x＋y－2eq\r(2)＝0上點(diǎn)P作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．12.如圖是一公路隧道截面圖，下方ABCD是矩形，且AB＝4m，BC＝8m，隧道頂APD是一圓弧，拱高OP＝2m，隧道有兩車道EF和FG，每車道寬3.5m，車道兩邊留有0.5m的人行道BE和GC，為了行駛安全，車頂與隧道頂端至少有0.6m的間隙，則此隧道允許通行車輛的限高是________m．(精確到0.01m，eq\r(51)≈7.141)13．已知圓C過(guò)點(diǎn)(1，1)，圓心在x軸正半軸上，且與直線y＝x－4相切．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)P(1，3)的直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，求直線l的方程．14．已知圓O：x2＋y2＝1與x軸的正半軸交于點(diǎn)P，直線l：kx－y－k＋3＝0與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)設(shè)直線PA，PB的斜率分別是k1，k2，試問(wèn)k1＋k2是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．已知圓O：x2＋y2＝4和點(diǎn)M(1，a)．(1)若過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，求實(shí)數(shù)a的值，并求出切線方程；(2)若a＝eq\r(2)，過(guò)點(diǎn)M的兩條弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．2.4～2.5圓習(xí)題課（解析版）1．已知集合A＝{(x，y)|x，y為實(shí)數(shù)，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y為實(shí)數(shù)，且x＋y＝1}，則A∩B中的元素個(gè)數(shù)為()A．4 B．2C．3 D．1答案B2．已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝3 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2答案B解析方法一：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)，由圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切可得eq\f(|2a|,\r(2))＝eq\f(|2a－4|,\r(2))，解得a＝1，所以半徑r＝eq\r(2)，故該圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.方法二：圓心在x＋y＝0上，可排除C、D，再結(jié)合圖象，或者驗(yàn)證A、B中圓心到兩直線的距離是否等于半徑，可知B正確．3．圓x2＋y2－4x＋6y－12＝0過(guò)(－1，0)的最大弦長(zhǎng)為m，最小弦長(zhǎng)為n，則m－n等于()A．10－2eq\r(7) B．5－eq\r(7)C．10－3eq\r(3) D．5－eq\f(3\r(2),2)答案A解析將原方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式得(x－2)2＋(y＋3)2＝25，最大弦應(yīng)為直徑，故m＝10，最小弦長(zhǎng)為弦心距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的弦，此時(shí)弦應(yīng)與點(diǎn)(－1，0)，(2，－3)的連線垂直．∴n＝2eq\r(25－[（2＋1）2＋（－3）2])＝2eq\r(7).4．已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9答案D解析因?yàn)榘霃綖?的動(dòng)圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，所以動(dòng)圓圓心到(5，－7)的距離為4＋1或4－1，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9.5．已知點(diǎn)O(0，0)，A(0，2)，點(diǎn)M是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，則△OAM面積的最小值為()A．1 B．2C．3 D．4答案A6．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上的點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的最短距離為1，則圓的半徑r為()A．4 B．5C．6 D．9答案A解析由圓的方程可知圓心為(3，－5)，圓心到直線4x－3y－2＝0的距離d＝eq\f(|4×3－3×（－5）－2|,\r(42＋（－3）2))＝5.依題意知，d－r＝1，所以r＝4.7．【多選題】已知點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，若圓(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝3，則實(shí)數(shù)a的值可以為()A．－2 B．－1C．2 D．0答案BD解析設(shè)點(diǎn)M(x，y)，則eq\o(MA,\s\up6(→))＝(－x－1，－y)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(－x＋1，－y)，所以eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(－x－1)(－x＋1)＋y2＝3，所以M的軌跡方程為x2＋y2＝4，圓心為(0，0)，半徑為2，由此可知圓(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1與x2＋y2＝4有公共點(diǎn)，又圓(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1的圓心為(2a－1，2a＋2)，半徑為1，所以1≤eq\r(（2a－1）2＋（2a＋2）2)≤3，解得－1≤a≤eq\f(1,2).8．設(shè)曲線x＝eq\r(2y－y2)上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離的最大值為a，最小值為b，則a－b的值為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)＋1 D．2答案C解析將x＝eq\r(2y－y2)化為x2＋(y－1)2＝1(x≥0)，所以圓心(0，1)，半徑r＝1.曲線x＝eq\r(2y－y2)與直線x－y－2＝0的圖象如圖所示．因?yàn)閳A心到直線x－y－2＝0的距離d＝eq\f(3\r(2),2)，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離b＝eq\f(3\r(2),2)－1，最大值為(0，2)到直線的距離，即a＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)，則a－b＝eq\f(\r(2),2)＋1.9．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋eq\f(1,2)m2＝0所確定的圓中，面積最大的圓為_(kāi)_______；最大面積是________．答案x2＋y2＋x－2y＋eq\f(1,2)＝0eq\f(3π,4)解析所給圓的半徑為r＝eq\f(\r(1＋（m－1）2－2m2),2)＝eq\f(1,2)eq\r(－（m＋1）2＋3).當(dāng)m＝－1時(shí)，半徑r取最大值eq\f(\r(3),2)，此時(shí)圓為x2＋y2＋x－2y＋eq\f(1,2)＝0，最大面積是eq\f(3π,4).10．一條光線從點(diǎn)(－2，3)射出，經(jīng)x軸反射后與圓x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，則反射光線所在直線的斜率為_(kāi)_______．答案eq\f(4,3)或eq\f(3,4)11．過(guò)直線x＋y－2eq\r(2)＝0上點(diǎn)P作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．答案(eq\r(2)，eq\r(2))解析∵點(diǎn)P在直線x＋y－2eq\r(2)＝0上，∴可設(shè)點(diǎn)P(x0，－x0＋2eq\r(2))，且其中一個(gè)切點(diǎn)為M.連接OP，OM，∵兩條切線的夾角為60°，∴∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由兩點(diǎn)間的距離公式，得OP＝eq\r(x02＋（－x0＋2\r(2)）2)＝2，解得x0＝eq\r(2).故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(eq\r(2)，eq\r(2))．12.如圖是一公路隧道截面圖，下方ABCD是矩形，且AB＝4m，BC＝8m，隧道頂APD是一圓弧，拱高OP＝2m，隧道有兩車道EF和FG，每車道寬3.5m，車道兩邊留有0.5m的人行道BE和GC，為了行駛安全，車頂與隧道頂端至少有0.6m的間隙，則此隧道允許通行車輛的限高是________m．(精確到0.01m，eq\r(51)≈7.141)答案3.9713．已知圓C過(guò)點(diǎn)(1，1)，圓心在x軸正半軸上，且與直線y＝x－4相切．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)P(1，3)的直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，求直線l的方程．解析(1)由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a，0)(a>0)，由題意，得eq\r(（a－1）2＋（0－1）2)＝eq\f(|a－4|,\r(2))，解得a＝－6(舍)或a＝2，所以圓的半徑為r＝eq\f(|2－4|,\r(2))＝eq\r(2)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝2.(2)若斜率不存在，則直線方程為x＝1，弦心距d＝1，半徑為eq\r(2)，則|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2，符合題意；若斜率存在，設(shè)直線方程為y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0.弦心距d＝eq\f(|k＋3|,\r(1＋k2))，得|AB|＝2eq\r(2－\f(（k＋3）2,1＋k2))＝2，解得k＝－eq\f(4,3)，直線方程為4x＋3y－13＝0.綜上所述，直線l的方程為x＝1或4x＋3y－13＝0.14．已知圓O：x2＋y2＝1與x軸的正半軸交于點(diǎn)P，直線l：kx－y－k＋3＝0與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)設(shè)直線PA，PB的斜率分別是k1，k2，試問(wèn)k1＋k2是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析因?yàn)閳AO：x2＋y2＝1與x軸的正半軸交于點(diǎn)P，所以圓心O(0，0)，半徑r＝1，P(1，0)．(1)因?yàn)橹本€l：kx－y－k＋3＝0與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，所以圓心O到直線l的距離d＝eq\f(|k－3|,\r(k2＋1))<1，即|k－3|<eq\r(k2＋1)，解得k>eq\f(4,3).(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y－k＋3＝0，,x2＋y2＝1，))可得(1＋k2)x2－(2k2－6k)x＋k2－6k＋8＝0，所以x1＋x2＝eq\f(2k2－6k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(k2－6k＋8,1＋k2)，所以k1＋k2＝eq\f(y1,x1－1)＋eq\f(y2,x2－1)＝eq\f(k（x1－1）＋3,x1－1)＋eq\f(k（x2－1）＋3,x2－1)＝2k＋eq\f(3,x1－1)＋eq\f(3,x2－1)＝2k＋eq\f(3（x1＋x2－2）,x1x2－（x1＋x2）＋1)＝2k＋eq\f(3[2k2－6k－2（1＋k2）],k2－6k＋8－（2k2－6k）＋1＋k2)＝2k＋eq\f(－18k－6,9)＝－eq\f(2,3).所以k1＋k2是定值，定值為－eq\f(2,3).15．已知圓O：x2＋y2＝4和點(diǎn)M(1，a)．(1)若過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，求實(shí)數(shù)a的值，并求出切線方程；(2)若a＝eq\r(2)，過(guò)點(diǎn)M的兩條弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．解析(1)由題意知點(diǎn)M在圓O上，所以1＋a2＝4，解得a＝±eq\r(3).當(dāng)a＝eq\r(3)時(shí)，點(diǎn)M為(1，eq\r(3))，所以kOM＝eq\r(3)，k切線＝－eq\f(\r(3),3)，此時(shí)切線方程為y－eq\r(3)＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x＋eq\r