利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題（常規(guī)問題）解析版-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練

專題02利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題(常規(guī)問題)

(典型題型歸類訓(xùn)練)

目錄

一、必備秘籍........................................................1

二、典型題型........................................................2

題型一：求已知函數(shù)(不含參)的單調(diào)區(qū)間..........................2

題型二：已知函數(shù)/(”)在區(qū)間。上單調(diào)求參數(shù).......................3

題型三：已知函數(shù)/(”)在區(qū)間。上存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)...............5

題型四：已知函數(shù)/(”)在區(qū)間。上不單調(diào)求參數(shù).....................7

題型五：已知函數(shù),(X)在單調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù)............................9

三、專項(xiàng)訓(xùn)練........................................................9

一、必備秘籍

1、求已知函數(shù)(不含參)的單調(diào)區(qū)間

①求y=/(x)的定義域

②求/'⑴

③令/'(x)〉0,解不等式，求單調(diào)增區(qū)間

④令/'(x)<0,解不等式，求單調(diào)減區(qū)間

注：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，令/'(x)〉0(或/'(x)<0)不跟等號(hào).

2、已知函數(shù)/(x)的遞增(遞減)區(qū)間為(凡人)

=西=4,%=b是/'(x)=0的兩個(gè)根

3、已知函數(shù)/(x)在區(qū)間。上單調(diào)

①已知/(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞增=VxeD,/'(x"0恒成立.

②已知/(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞減oVxeD,/'(x)<0恒成立.

注：已知單調(diào)性，等價(jià)條件中的不等式含等號(hào).

4、已知函數(shù)/(X)在區(qū)間。上存在單調(diào)區(qū)間

①已知/(x)在區(qū)間￡)上存在單調(diào)遞增區(qū)間=/'(x)>0有解.

②已知/(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞區(qū)間減=3x&D,y'(x)<0有解.

5、已知函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不單調(diào)O使得/'(%)=0(且不是變號(hào)零點(diǎn))

二、典型題型

題型一：求已知函數(shù)(不含參)的單調(diào)區(qū)間

1.(2023上?河南?高三滎陽市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)〃x)=xlnx+l的單調(diào)遞減區(qū)間是(

A.B.(0,e)C.&+°°)D.(e,+co)

【答案】A

【詳解】令八尤)=l+lnx=0nx=L

e

/,(x)<0,xe]：,+oo),#(x)〉0,

則/(x)在(0,J上單調(diào)遞減，在&+s)上單調(diào)遞增.

故選：A

2.(2023下?陜西漢中?高二?？计谥?函數(shù)/(尤)=x2-51nx-3x-l的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.[-臼B.恒)Cg+HD-

【答案】D

【詳解】函數(shù)/(x)=*-51nx-3尤-1的定義域?yàn)?0,+丁),

/(%)=2%---3=2%2-3%-5<0,

XX

因?yàn)椋?gt;0,可得2%2-3x-5<0,解得一可得0<x<7，

22

因此，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為“非

故選：D.

3.(2023下?陜西寶雞?高二統(tǒng)考期末)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(一8,0)和(0,2)B.(2,+oo)C.(0,2)D.(一應(yīng)。)和(2,+oo)

【答案】D

【詳解】/(X)=X-In1的定義域?yàn)?一雙0)U(0,+8),

7V-?y-7

廣(力=1一4=—,令/，")==>0,解得x>2或x<0,

XXX

故/(x)=x-In/的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)和(2,+8).

故選：D

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知/■(無)=xlnx,求了⑴的單調(diào)性.

【答案】函數(shù)〃x)在日上單調(diào)遞減，在g+s)上單調(diào)遞增.

【詳解】由，'(6=l+mx,xe(0,+oo),

令#(x)>0,解得令/'(x)<0,解得0<x<L

ee

所以函數(shù)/(X)在［o,，］上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增.

題型二：已知函數(shù)/(X)在區(qū)間。上單調(diào)求參數(shù)

1.(2023上?廣東汕頭?高三統(tǒng)考期中)設(shè)ae(O,l),若函數(shù)〃>=優(yōu)+(1+°),在(0,+8)遞增,則。的取值

范圍是()

「程mc.邛?

【答案】B

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(力=合+(1+。>在(。,+8)遞增,

所以/'(x)="ln“+(1+a)*ln(l+a)20在(0,+e)上恒成立，

則(l+a)1n(l+a)WF'lna,BPf—“如“在(0,+為上恒成立,

\a)ln(l+a)

由函數(shù)y=1匕單調(diào)遞增得(—T=1>-——,

\a)\a)ln(l+a)

又ae(O,l),所以a+le(l,2),所以ln(a+l)>0,

+21,解得口<1,

所以即

0<。<10<(7<1

所以。的取值范圍是存M

故選：B

2.（2023上?山西晉中?高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)/（x）=^-lnx在區(qū)間（1,+⑹單調(diào)遞增，則上的取值范圍

是（）

A.（-℃,1）B.（-℃,1］

C.（1,+℃）D.［1,+<?）

【答案】D

【詳解】若函數(shù)/（x）=Ax-lnx在區(qū)間（1,+⑹單調(diào)遞增，

則/（力=左一!20在（1,+8）上恒成立，即左在（1,+⑹上恒成立；

XX

又函數(shù)y在（1,+⑹上遞減，所以1<1恒成立，則421

XX

故上的取值范圍是［L+8）.

故選：D.

3.（2023上?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)〃x）=sinx+alnx的圖象在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)

數(shù)”的最小值為

【答案】兀

【詳解】因?yàn)椤▁)=sinx+alnx,所以(⑺=cosx+q=匯吧上區(qū).

XX

由“X）的圖象在區(qū)間號(hào),兀）上單調(diào)遞增，

可知不等式/'（X）"即xcosx+aNO在區(qū)間6,兀］上恒成立.

令g（x）=xcosx+a,貝"g'（x）=cosx-xsinx,

當(dāng)》€(wěn)日兀］時(shí)，g，（X）<0,所以g（無）在［，兀］上單調(diào)遞減,

故要使r（x）2o在工€仁兀）上恒成立，只需g（*o.

由g（兀）=一兀+aN0,解得a2兀,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為［兀,+°°）,則a的最小值為兀.

故答案為：k

4.(2023上?安徽亳州?高三蒙城縣第六中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ae，-Inx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞

增，則。的取值范圍是：.

【答案】[二,+“)

【詳解】依題可知，/'(x)=ae-LN0在(1,2)上恒成立，顯然0>0,所以xe-L

xa

設(shè)g(x)=xe，,xe(l,2),所以g1x)=(x+l)e*>0,所以g(無)在(1,2)上單調(diào)遞增，

g(x)>g⑴=e,故ewL即即0的最小值為e!

ae

故a的取值范圍是[「,+").

故答案為：[「,+8)

5.(2023下?高二課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)〃x)=gx3-；ax2+(a-l)x(aeR)是區(qū)間(1,4)上的單調(diào)函數(shù)，則。

的取值范圍是.

【答案】(F,2]U[5,+S)

【詳角軍]/f(x)-x2-ax+(a-1)=(尤一1)[尤一(?-1)],

令/'(x)=0,貝！]尤=1或a-1,

因?yàn)?(尤)是區(qū)間(1,4)上的單調(diào)函數(shù)，

所以"141或解得。42或。25,

所以。的取值范圍是(-°°,2]U[5,+OO).

故答案為：(-<?,2]u[5,+co).

題型三：已知函數(shù)/(X)在區(qū)間。上存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

1.(2019下?安徽六安?高二校聯(lián)考期末)若函數(shù)存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】C

【詳解】若函數(shù)/(無)不存在增區(qū)間，則函數(shù)/(x)單調(diào)遞減,

此時(shí)/,(x)=2ax+l-1<0在區(qū)間(0,+動(dòng)恒成立，

可得則:卜卜與4-41可得rT

故函數(shù)存在增區(qū)間時(shí)實(shí)數(shù)。的取值范圍為--,+8.故選C.

8

2.(2023下?江西撫州?高二江西省臨川第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))函數(shù)在R上存在單調(diào)遞增區(qū)

間，則。的取值范圍是.

【答案】(T+8)

/一°、2xex-(x2-a)ex2x-(x2-a)2x-x2+a

【詳解】函數(shù)yx)=/(x)=——z\v—2—-=—下一，

e⑹)ee

:函數(shù)/'(x)=三』在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，“，(x)=2L>o,即.1a〉，-2x有解，

e'e'

令g(x)=x?—2x,g(x)=(x-1)-12-1,.,.當(dāng)x=1，寸，g(x)而”=-1,a>—1即可.

故答案為：(-1,+s)

3.(2020上?北京?高三北師大二附中校考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)="3--+1在(Qi)上有增區(qū)間，則。

的取值范圍是.

【答案】

【詳解】由題得/'(X)=3一_2%,

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)="J/+］在(0,1)上有增區(qū)間，

所以存在X￡(0,1)使得/'(X)>o成立，

2

即一成立，

3x

22

因?yàn)?<x<l時(shí)，一>—,

3x3

所以〃>不2

故答案為：

4.(2019下?遼寧沈陽?高二校聯(lián)考期中)設(shè)/*)=-白3+；/+辦.

(1)若〃x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；

2

【答案】(1)a>--;

【詳解】解：(1)f(x)=-x2+x+a=-^x--^+；+o,

當(dāng)工仁|>+8)時(shí)，/(X)max=7'［［］="|+4，

(2\22

則當(dāng)x￡［§,+ooj時(shí)，令§+〃〉0,得。>一§,

所以，當(dāng)。>-￡時(shí)，/(x)在||,+8］上存在單調(diào)遞增區(qū)間;

題型四：已知函數(shù)/(”)在區(qū)間。上不單調(diào)求參數(shù)

1.(2021上?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=ax4+(x-l)/在區(qū)間［1,3］上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是()

(efe(e3e2}(e

A'［一了一記JB'［一這一記］C?^-36，-16)°。J

【答案】A

【詳解】因?yàn)?(力=。/+(叱1"，在區(qū)間［1,3］上不是單調(diào)函數(shù)，

所以r(x)=4a/+疣、=0在區(qū)間(1,3)上有解，即-4a=烏在區(qū)間(1,3)上有解.

X

令g(x)=3貝9(外=①羋.

當(dāng)無?1,2)時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)xe(2,3)時(shí)，g'(x)>0.

23

故g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,3)上單調(diào)遞增.又因?yàn)間6=e,g⑵=(,g(3)=1~<e,

所以〃x)在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞增，所以且<-4a<e,解得一藝.

4e16

故選：A

2.(2023上?山東濟(jì)南?高三山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2x-msinx在R上

不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是.

【答案】〃？<-2或加>2

【詳解】因?yàn)?(x)=2x-〃7sinx,所以/'<x)=2-mcosx,

又/(x)不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)/(尤)有極值點(diǎn)，即/(無)在R上有變號(hào)零點(diǎn)，

貝!］2-/cosx=0成立，

當(dāng)cosx=0時(shí)，2-加cosx=0可化為2=0,顯然不成立；

2

當(dāng)cosxwO時(shí)，m=------,

COSX

22

因?yàn)閤eR,-1＜COSX＜1,所以----4-2或----＞2,

COSXCOSX

所以實(shí)數(shù)冽的取值范圍為初＜-2或冽＞2(因?yàn)橐凶兲?hào)零點(diǎn)，故不能取等號(hào))，

經(jīng)檢驗(yàn)，m＜-2或機(jī)＞2滿足要求.

故答案為：加＜-2或加＞2.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))若對于任意作[1,2],函數(shù)g(x)=x3+[g+2卜-2r在區(qū)間億3)上總不為

單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是.

【答案】-9)

【詳解】g，(x)=3x2+(/M+4)x-2,若存在g(x)在區(qū)間&3)上為單調(diào)函數(shù)，

則①g'(x)N0在&3)上恒成立,或②g'(x)40在&3)上恒成立.

由①得3/+(m+4)》-230在億3)上恒成立,由于所以x＞0,

即加+42——3%在工￡&3)上恒成立，由于函數(shù)＞=—/=-3%均為XE&3)上的單調(diào)遞減函數(shù)，

XX

22

所以V=—3%單調(diào)遞減，當(dāng)％=%時(shí)，取最大值，則加+42—3t,

xt

2

又存在所以俏+42：-3f,

2

當(dāng)f=2時(shí)，—3/取到最小值-5,所以加+42-5,即加2-9；

t

2237

由②得加+4W——3%在x￡(/，3)上恒成立，則加+4Mg■—9,即加W—■—,

37

所以存在函數(shù)g(x)在區(qū)間(7,3)上為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為加V-半或加2-9,

37

因此使函數(shù)g(x)在區(qū)間億3)上總不為單調(diào)函數(shù)的冽的取值范圍為＜冽＜-9.

故答案為：(-子'「可

4.(2022?全國?高二專題練習(xí))已知函數(shù)g(無)=#-羅+2x+l.若g(x)在(-2,-1)內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

【答案】卜3,-2亞)

【詳解】由g(x)=-+2x+l,得/(工)=m2_辦+2,

當(dāng)g(x)在(―2,7)內(nèi)為減函數(shù)時(shí)，則g〈x)=x2—辦+2?0在(一2,—1)內(nèi)恒成立，

所以aVx+士在(-2,-1)內(nèi)恒成立，

當(dāng)g(x)在(-2,-1)內(nèi)為增函數(shù)時(shí)，則g'(x)=d一辦+220在內(nèi)恒成立,

所以。Nx+4在(-2,-1)內(nèi)恒成立，

令〉=x+j,因?yàn)閥=x+j在卜2,-亞)內(nèi)單調(diào)遞增，在卜后,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,

所以y=x+：在(-2,-1)內(nèi)的值域?yàn)?-3,-271],所以。M-3或az-272，

所以函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)單調(diào)時(shí)，a的取值范圍是(-*-3]口[-2拒,+勾，

故g(x)在(-2,-1)上不單調(diào)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是卜3,-28).

故答案為：卜3,-2/).

題型五：已知函數(shù)/(力在單調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù)

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)"X)=辦3_3一+X+1恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.[3,+<?)B.(-a>,3)C.(-oo,0)u(0,3)D.(-?,,0)

【答案】C

【詳解】由題意得函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,八x)=3"2_6x+l,

要使函數(shù)/(x)=&_3尤2+x+1恰有二個(gè)單調(diào)區(qū)間，

,/、[aw0

則/'X=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，???AMS八，解得。<3且〃wo,

[A=36-12q>0

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一*0)5。,3),

故選：C.

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.(2023上?遼寧?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=2x?+"，貝l?"(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增"的一

個(gè)充分不必要條件為()

A.〃W—4B.a<0

C.a>-5D.a>4

【答案】D

【詳解】/(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增等價(jià)于/'(x)=4x+。在區(qū)間［1,2］上大于等于0恒成立，

即a2-4x在xe［1,2］上恒成立，即a2(-4可呢=T,

故a>4是-4的充分不必要條件，故D正確.

故選：D.

2.(2023上?遼寧大連?高三大連市金州高級中學(xué)校考期中)若函數(shù)/(x)=(x+l)lnr-ax在(0,+e)具有單調(diào)性,

則a的取值范圍是()

A.(2,+co)B.［2,+oo)C.(^?,2］D.(-<?,2)

【答案】C

【詳解】由/(x)=(x+l)lnx-axn/G)=lnxd---Fl-a,

當(dāng)函數(shù)〃x)=(x+l)lnx-依在(0,+e)單調(diào)遞增時(shí)，

/'(x)20恒成立，得aWlnx+^+1,設(shè)g(x)=lnx+」+lng'(無)=工--\=

尤xxxx

當(dāng)x>l時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，所以8⑴皿=g(l)=2,

因止匕有aV2,

當(dāng)函數(shù)/(x)=(x+l)lnx-ar在(0,+e)單調(diào)遞減時(shí)，

/'(無)40恒成立，得aNlnx+1+l,設(shè)g(x)=lnx+，+lng'(x)=工一-=

XXXXX

當(dāng)x>l時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，所以8⑴皿=g(l)=2,

顯然無論。取何實(shí)數(shù)，不等式/‘。b。不能恒成立，

綜上所述，a的取值范圍是(一*2］,

故選：C

3.(2023上?北京?高三北京市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí))下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)內(nèi)不單調(diào)的是()

A.y=ln(x+l)B.j=21-x

C.y=tan2尤D.y=x2+4x

【答案】C

【詳解】A選項(xiàng)，y'=±>0在(0,1)上恒成立，故V=ln(x+1)在(0,1)上單調(diào)遞增,A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)，y'=-2iln2<0在(0,1)上恒成立，故y=2一在(0,1)上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng),當(dāng)xe(O,l)時(shí),2xe(O,2),

由于y=tanz在上單調(diào)遞增，在ze(0,2)上不單調(diào)，

故了42112%在(0,1)上不單調(diào)，C正確；

D選項(xiàng)，由于>=/和y=?在(0,1)上單調(diào)遞增，故夕=工2+4在(0,1)上單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.

故選：C

4.(2023上?四川遂寧?高三四川省蓬溪中學(xué)校校考階段練習(xí))若函數(shù)/(x)=e=田nx在區(qū)間(1,e)上是增

函數(shù)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為()

A.(―co,0]B.卜8,一

C.(-00,e]D.(-8,ee]

【答案】C

【詳解】由/'(x)=e'_』W0,可得后Wxe"記g(x)=xe*,xe(l,e),

則g'(x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(Le)單調(diào)遞增,所以左Vg(l)=e.

故選：C

5.(2023下?重慶江北?高二重慶十八中?？计谥?若函數(shù)/(x)=x+ahr在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,-l)B.(-oo,-l]

C.(-oo,-2)D.(-oo,-2]

【答案】A

【詳解】因?yàn)?'(x)=l+￡,

由題意可知：存在xe(l,2),使得r(x)=i+￡<0,整理得°<_x,

且〉=一%在(1,2)上單調(diào)遞減，則T<-1,可得。<一1,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故選：A.

6.(2023下?廣東江門?高二?？计谥?函數(shù)/(%)=4x-皿的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.jB.1g+jC.(0,+為D.

【答案】B

4r-11

【詳解】/(x)=4x—liun/'(x)=----(x>0),令r(x)>Onx>a，

即/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為&,+[.

故選：B

7.(2023下?四川巴中?高二四川省通江中學(xué)?？计谥?若函數(shù)/("=丘-Inx在區(qū)間&,+，|上單調(diào)遞增,

則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

A.(-co,2]B.(-GO,-2]C.[2,+oo)D.(2,+8)

【答案】C

【詳解】=

1?1函數(shù)/(x)=Ax-lru在區(qū)間(g,+co)單調(diào)遞增,

;,+°0)上恒成立,

二/'卜”0在區(qū)間上恒成立.二女」在

X

而>在區(qū)間上單調(diào)遞減,:.k>2.

X

故選：C

二、多選題

8.(2023下?高二單元測試)函數(shù)>=/-2/+5的單調(diào)減區(qū)間可以為()

A.(-叫-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,+cc)

【答案】AC

【詳解】由題意得y'=41-4x=4x(?-l)=4x(x+l)(x-l),

令y<o,解得x<-i或o<x<i,

結(jié)合選項(xiàng)可知函數(shù)>=/一2/+5的單調(diào)減區(qū)間可以為(一叫7),(0,1),

故選:AC.

9.(2023下?江蘇南通?高二統(tǒng)考階段練習(xí))若函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),則/(x)可能是()

A./(x)=ln(x-2)+xB.

C./(無)=x+：D./(x)=x(lnx-l)

【答案】BD

【詳解】A選項(xiàng)，/(月=皿》-2)+》的定義域?yàn)?2,+8),故單調(diào)遞增區(qū)間不可能為(1,+⑹，A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)，〃制=.定義域?yàn)?-8,0"(0,+向，

/令/牛)〉0,解得x>l,

所以〃句=《單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+s),B正確；

C選項(xiàng)，/37+)定義域?yàn)?-8,0"(0,+8),

/'(x)=l-J=^L令［'卜)=>0,解得x>l或x<—l,

所以〃x)=x+：單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+s),(-*-1),C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，/(x)=x(lnx-l)定義域?yàn)?0,+“)，

/,(x)=lnx-l+l=lnx,令/''(x)=ln尤>0,解得x>l,

故/(x)=x(lnx-l)單獨(dú)遞增區(qū)間為(1,+8),D正確.

故選：BD

三、填空題

10.(2023上?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)"X)=--ax+l