高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

基礎(chǔ)知限要打牢掌握程度

1強(qiáng)雙基固本源得基礎(chǔ)分

［知識(shí)能否憶起］

一、直線與平面垂直

1.直線和平面垂直的定義

直線，與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說(shuō)直線/與平面a互相垂直.

2,直線與平面垂直的判定定理及推論

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

a,6u

一條直線與一個(gè)平面

b=0

內(nèi)的兩條相交直線都>=

判定定理1la

垂直，則該直線與此平

k11b,

面垂直

71Q

如果在兩條平行直線

卜J

中，有一條垂直于平b]

推論心6_La

面，那么另一條直線也._L°J

垂直這個(gè)平面

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

垂直于同一個(gè)平面的兩:L_ala'

性質(zhì)定理>=>a〃b

條直線平行75_La

二、平面與平面垂直

1.平面與平面垂直的判定定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面

判定定理的垂線,則這兩個(gè)平面〉=4J.￡

/_L。J

垂直￡b

2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

a工B、

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)lu￡

>

性質(zhì)定理平面內(nèi)垂直于交線的直aCB=a

線垂直于另一個(gè)平面11a,

今7_La

［小題能否全取］

1.（教材習(xí)題改編）已知平面。，￡,直線若ac8=1,則（）

A.垂直于平面￡的平面一定平行于平面a

B.垂直于直線1的直線一定垂直于平面。

C..垂直于平面￡的平面一定平行于直線1

D.垂直于直線1的平面一定與平面a、B都垂直

解析：選DA中平面可與a平行或相交，不正確.

B中直線可與。垂直或斜交，不正確.

C中平面可與直線,平行或相交，不正確.

2.（?廈門模擬）如圖，。為正方體ABCD-ABCM的底面ABCD的中心，則下列

直線中與瓜。垂直的是（）

A.AiDB.AAi

C.A\D\D.4G

解析：選D易知4G，平面BB\DiD.

又Bg平面BBiDiD,：.A\C\VB\O.

3.已知￡是兩個(gè)不同的平面，W〃是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是（）

A.若m//a,aC\8=n,則m//n

B,若ml.Q,mVn,貝ljn//a

C.若m_La,,a_L￡,貝［］mLn

口.若。_1￡,aCf=n,ml.n,則ml.B

解析：選C對(duì)于選項(xiàng)A,若加〃QC8=n,則〃〃億或見(jiàn)〃是異面直線，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于

選項(xiàng)B,〃可能在平面。內(nèi)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,〃與￡的位置關(guān)系還可以是m￡,必〃￡,或必

與￡斜交，所以D錯(cuò)誤；由面面垂直的性質(zhì)可知C正確.

4.如圖，已知以，平面/比；BCVAQ則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為

解析：由線面垂直知，圖中直角三角形為4個(gè).

答案：4

5.(教材習(xí)題改編)如圖，已知六棱錐尸比頌的底面是正六邊形，為_(kāi)L平面

ABC,為=2小則下列命題正確的有一.

①以，志；②平面46人平面PBC-,③直線6勿平面PAE-,④直線PD與平面

F

/回所成角為30°.

解析：由以1.平面ABC,：.PAVAD,故①正確；②中兩平面不垂直，③中與平面為￡相交，BC//

AD,故不正確；④中如與平面/回所成角為45°.

答案：①

1.在證明線面垂直、面面垂直時(shí)，一定要注意判定定理成立的條件.同時(shí)抓住線線、線面、面

面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：

2.在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可

通過(guò)作輔助線來(lái)解決，如有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理.

3.幾個(gè)常用的結(jié)論：

(1)過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

(2)過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

色|高頻考點(diǎn)要單差TONGGUAN抓考點(diǎn)I學(xué)技法|得拔高分|掌握程度

*垂直關(guān)系的基本問(wèn)題

典題導(dǎo)入

[例1](?襄州模擬)若名〃為兩條不重合的直線，￡為兩個(gè)不重合的平面，給出下列命題：

①若〃，〃都平行于平面a,則名〃一定不是相交直線；②若以〃都垂直于平面a,則W〃一定是平

行直線；③已知a、￡互相垂直，m,〃互相垂直，若卬，a,則”_L￡；④勿，〃在平面。內(nèi)的射影互相

垂直，則〃，〃互相垂直.其中的假命題的序號(hào)是_.

［自主解答］①顯然錯(cuò)誤，因?yàn)槠矫鎍〃平面￡,平面。內(nèi)的所有直線都平行￡,所以￡內(nèi)的兩

條相交直線可同時(shí)平行于a;②正確，?如圖1所示，若aC￡=/,且n//1,當(dāng)。時(shí)，但n//

￡,所以③錯(cuò)誤；如圖2顯然當(dāng)，In'0^,〃不垂直于億所以④錯(cuò)誤.

圖1圖2

［答案］①W）

由題悟法

解決此類問(wèn)題常用的方法有：①依據(jù)定理?xiàng)l件才能得出結(jié)論的，可結(jié)合符合題意的圖形作出判斷；②

否定命題時(shí)只需舉一個(gè)反例.③尋找恰當(dāng)?shù)奶厥饽Ｐ停ㄈ鐦?gòu)造長(zhǎng)方體）進(jìn)行篩選.

以題試法

1.（?長(zhǎng)春模擬）設(shè)a,6是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題：

①若alb,ala,Ma,則6〃a；②若a//a,a」￡,貝1Ja_L￡；③若a_L￡,a_L￡,則a〃

。或zua;④若alb,a_La,bl.,貝（Ja_L￡.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選D對(duì)于①，由，不在平面。內(nèi)知，直線6或者平行于平面a,或者與平面。相交，若直

線6與平面n相交，則直線6與直線a不可能垂直，這與已知"a,〃’相矛盾，因此①正確.對(duì)于②，

由a〃a知，在平面。內(nèi)必存在直線&〃a,又aLS,所以有a】J,￡,所以②正確.對(duì)于③，

若直線a與平面。相交于點(diǎn)4過(guò)點(diǎn)力作平面a、￡的交線的垂線〃，則又aLS,則有a〃q

這與“直線a、/有公共點(diǎn)"’相矛盾，因此③正確.對(duì)于④，過(guò)空間一點(diǎn)。分別向平面a、￡弓|垂線&、

也、則有a〃ai,b"b\、又a，b、所以&所以a16,因此④正確.綜上所述，其中正確命題的個(gè)

數(shù)為4.

直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

典題導(dǎo)入

［例2］（?廣東高考）如圖所示，在四棱錐P及/中，相，平面PAD,

AB//CD,PD=AD,￡是陽(yáng)的中點(diǎn)，戶是"上的點(diǎn)且如PH為4PAD中

邊上的高.

⑴證明：平面/6切；

⑵若加=1,AD=y[2,FC=1,求三棱錐￡-"方的體積；

⑶證明：皮」平面以8.

：自主解答]⑴證明：因?yàn)锳B1.平面PAD,PHu平面PAD,

所以用，熊

因?yàn)橛脼椤麝?yáng)，中/。邊上的高，所以9，力〃

因?yàn)殛?yáng)：平面46。ABQAD=A,AB,/Zt平面/及〃

所以7%U平面相以

⑵如圖，連接班取剛的中點(diǎn)G,連接爆

因?yàn)椤晔顷?yáng)的中點(diǎn),

所以EG//PH,

且陽(yáng)=*

因?yàn)闉閁平面N8切,

所以比_L平面

因?yàn)?81.平面陽(yáng)〃4fc平面

所以幺6，/〃

所以底面融切為直角梯形.

所以上.2.FC、AD?￡G=*.

⑶證明：取為中點(diǎn)M,連接MD,ME.

因?yàn)椤晔顷?yáng)的中點(diǎn)，所以屹1延然

又因?yàn)榧?觸，及所以超觸此所以四邊形磔叨是平行四邊形，所以劭/也

因?yàn)镻D=AD,所以切_L序.

因?yàn)?平面陽(yáng)〃所以必_L/8

因?yàn)橛肁A6=4所以加_L平面序及所以歷\L平面用6.

由題悟法

證明直線和平面垂直的常用方法有：

(1)利用判定定理.

(2)利用判定定理的推論(a〃瓦alanb,a).

(3)利用面面平行的性質(zhì)(a_La,a〃￡na_L￡).

（4）利用面面垂直的性質(zhì).

當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.

以題試法

2.（?啟東模擬）如圖所示，已知身，矩形相切所在平面，X“分別是4瓦PC

的中點(diǎn).

（1）求證:MN1CD；

⑵若乙期=45。，求證：仞VI平面戶CZZ

證明：⑴連接四AN,BN,

?.?以_L平面：.PALAC,

在RtARIC中，”為尸C中點(diǎn)，.?/%='1%

,以_L平面/閱9,\PA_LBC,又BCLAB,

PA^AB=A,

PAB.：.BCVPB.

從而在Rt△咖中，m為斜邊相上的中線,

：.BN=~PC.

.?.4V=5Vm為等腰三角形，又〃為的中點(diǎn)，，始U/8,

又,：AB"CD、MNLCD.

⑵連接掰陽(yáng)期=45°,PALAR:.AP=AD.

二?四邊形極力為矩形，:.AD=BC,:.AP=BC.

又?.?〃為48的中點(diǎn)，

而乙用〃=ACBM=90

PM=CM.

又及為秋的中點(diǎn)，.?.如U知

由⑴知，MN1CD,PCCCD=C,.,.腑1平面也Z

面面垂直的判定與性質(zhì)

典題導(dǎo)入

[例3]（?江蘇高考）如圖，在直三棱柱/比'-4笈G中，48=44,4CD、￡分別是

棱BC、CG上的點(diǎn)（點(diǎn)，不同于點(diǎn)。，且ADVDE,F為BC的中點(diǎn).

B

求證：⑴平面/龍'，平面6s；

(2)直線4%平面ADE.

［自主解答］⑴因?yàn)?8C-48K是直三棱柱，所以CCU平面四乙

又ADc.平面ABC,所以CCi_LAR

又因?yàn)镃a,龐u平面6CGS,

CQnDE=E,

所以ADV平面BCQBr.又4fc平面ADE,

所以平面ADEL平面BCCB.

(2)因?yàn)?夕=4G,—為的中點(diǎn),

所以47U81G.

因?yàn)镃G_L平面AiBiCi,且4代平面ABCi,

所以CQVAxF.

又因?yàn)镾,8iGu平面及石瓦CGC8K=G,

所以4c平面8CGA.

由⑴知平面BCCB、所以A.F//AD.

又ADc.平面ADE,AM平面ADE,

所以4%平面/應(yīng)：

由題悟法

1,判定面面垂直的方法：

(1)面面垂直的定義.

(2)面面垂直的判定定理(a_L￡,aua=>a_L￡).

2.在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直.

轉(zhuǎn)化方法：在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

以題試法

3.(-瀘州一模)如圖，在四棱錐尸一四切中，底面/及/為菱形，乙BAD=60；

。為/〃的中點(diǎn).

⑴若序=PD,求證：平面PQBL平面PAD；

⑵若點(diǎn)〃在線段PC上，旦PM=tPCM),試確定實(shí)數(shù)大的值，使得為〃平面

MQB.

解：⑴因?yàn)橐远觯?為四的中點(diǎn)，所以被

連接BD,因?yàn)樗倪呅吻袨榱庑?，乙BAD=60°,

所以AB=BD

所以制，被

因?yàn)槿胸捌矫尕肤欓侰平面尸皺

BQCPQ-Q

所以四，平面園a

因?yàn)锳Dci平面PAD、所以平面PQBI平面PAD.

⑵當(dāng)力仁時(shí),為〃平面僅以

證明如下：

連接/c,設(shè)勿=。，連接掰在與△屐為中，

因?yàn)锳D//BC,所以乙0Q4=乙①（7,40AQ=Z_OCB.

AOAQ1AO10C2

所以所以不=而=5.所以力=可，即萬(wàn)=可.

ULUDZACoAC6

,1CM2CM0C「…〃

PM=-PC,知方=可，所以有=萬(wàn)所以"〃血

oUroUrriU

因?yàn)?。仁平面他為，平面頗5,所以孫〃平面欣以

EL解融訓(xùn)練要高效抓速度?抓規(guī)范?拒絕眼高手做?掌握程度

A級(jí)全員必做題

1.（?杭州模擬）設(shè)a,4c是三條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，則a,6的一個(gè)充分條件

是（）

A.a±c,bLcB.。_L￡,aua,6u￡

C.a_La,b//aD.alff,bLa

解析：選C對(duì)于選項(xiàng)C,在平面。內(nèi)存在。〃6,因?yàn)閍，a,所以a，c,故a，6；A,B選項(xiàng)中，

直線a,6可能是平行直線，相交直線，也可能是異面直線；D選項(xiàng)中一定有a〃4

2.設(shè)。，￡,7是三個(gè)不重合的平面，/是直線，給出下列命題

①若a，￡,B"則a，尸；②若/上兩點(diǎn)到。的距離相等，則1//a；③若l'a、1"B、

則；④若aUBN￡,且/〃。，則/〃￡.

其中正確的命題是（）

A.①②B.②③

C.②④D.③④

解析：選D對(duì)于①：若?！阓L九則。，九前者不是后者的充分條件，比如當(dāng)。〃/時(shí),

也有a，Sly.對(duì)于②：顯然錯(cuò)誤，當(dāng)。。/時(shí)，/上到/距離相等的兩點(diǎn)到。的距離

相等.③④顯然正確.

3,給出命題：

（1）在空間里，垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行；

（2）設(shè)/,“是不同的直線，a是一個(gè)平面，若a,1//m,則〃，a;

（3）已知a,￡表示兩個(gè)不同平面，〃為平面a內(nèi)的一條直線，則“是的充要條

件；

（4）a,6是兩條異面直線，戶為空間一點(diǎn)，過(guò)戶總可以作一個(gè)平面與a,6之一垂直，與另一個(gè)平行.

其中正確命題個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B⑴錯(cuò)，也可能相交；⑵正確；⑶“。,夕'是『，夕’的必要條件，命題錯(cuò)誤；（4）

當(dāng)異面直線a,右垂直時(shí)才可以作出滿足要求的平面，命題錯(cuò)誤.

4.（?濟(jì)南模擬）如圖，在斜三棱柱46C-48K中，乙的C=90°

在底面/6C上的射影〃必在（）

A.直線四上

B.直線BC上

C.直線ACY.

D.△/白；內(nèi)部

解析：選A由閱，.?/UL平面/閱.

又；/ft面A6C.,.平面A6G_1_平面力6c，G在面/6C上的射影〃必在兩平面交線46上.

5，.（?曲阜師大附中質(zhì)檢）如圖所示，直線以垂直于。。所在的平面，△ABC內(nèi)接于

。。，且加為。。的直徑，點(diǎn)〃為線段外的中點(diǎn).現(xiàn)有結(jié)論：①BC1PC；②OM//平面

加/；③點(diǎn)6到平面用。的距離等于線段笈的長(zhǎng).其中正確的是（）

A.?（2）B.①統(tǒng)

c.aD.②③

解析：選B對(duì)于①，?.?用_L平面16c為。。的直徑，：.BCLAC.：.BCV^-^PAC.y^

止平面序c,.?.比工程；對(duì)于②，?.?點(diǎn)〃為線段外的中點(diǎn)，，在〃勿?.?用u平面為a.?.如〃平面用u

對(duì)于③，由①知BC1平面PAC,：.線段6c的長(zhǎng)即是點(diǎn)6到平面用C的距離，故①②③都正確.

6.（?濟(jì)南名校模擬）如圖，在四邊形短/中，AD//BC,AD^AB,乙BCD=45°,

乙BAD=90°,將△/劭沿初折起，使平面力劭，平面6。構(gòu)成三棱錐/I/\-BCD,則

在三棱錐力-灰/中，下面命題正確的是（）\八

A,平面ABD1平面ABCB,平面ADC1平面BDC

C,平面ABC1平面BDCD,平面ADC1平面ABC

解析：選D在平面圖形中CDYBD,折起后仍有CDLBD、由于平面/Ml.平面BCD,故CDL平面ABD,

CDVAB,又ABLAD,故居，平面4%所以平面/及71.平面4%

7.如圖所示，在四棱錐戶-融必中，*，底面加內(nèi)且底面各邊都相等，〃是

用上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)〃滿足時(shí)，平面掰切，平面23（只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)

為是正確的條件即可）

解析：由定理可知，BDVPC.

當(dāng)DMLPC(或BM1.PC)時(shí)，即有PCI平面MBD.

而PCu平面PCD,

平面MBDX.平面PCD.

答案：DM1PC@BM1PC等

8.（?忻州一中月考）正四棱錐S-4O的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,￡是理的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在四棱錐的

表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持必'L/C,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)為一一一.

解析：如圖，設(shè)4CCBD=0,連接SO,取切的中點(diǎn)F、SC的中點(diǎn)G,連接EF,EG,

FG,設(shè)站交立于點(diǎn)〃連接GH,

易知/人的GH//SO,

.?.而_L平面

：.ACLGH,：.ACLEFG,

故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是△笈場(chǎng)由已知易得鰭=也，

GE=GF=*，:.△郎G的周長(zhǎng)為小+乖,故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)為鏡+加.

答案：山+4

9.（?蚌埠模擬）點(diǎn)戶在正方體ABCD-A^CM的面對(duì)角線BQ上運(yùn)動(dòng)，給出下列

四個(gè)命題：

①三棱錐A-DW的體積不變；

②4%平面AC仄;

③DPIB6；

④平面PDBil.平面ACDi.

其中正確的命題序號(hào)是.

解析：連接BD交AC于0,連接DG交院干?,連接oa,則O（\//Ba.

.,.比1〃平面AflC,動(dòng)點(diǎn)P到平面/"C的距離不變,

???三棱錐尸-陽(yáng)。的體積不變.

又VP-ABC=%-DiPC,：.①正確.

???平面4G勿平面ABC,47t平面A,QB,

???4%平面/細(xì)，②正確.

由于血不垂直于6G顯然③不正確；

由于&DBiLADi,DiC^ADi=Di,

二比；_L平面ADiC.DBc平面PDB、、

，平面&SJ_平面/勿，④正確.

答案：①0)④

10.如圖所示，已知三棱錐力-如C中，APIPC,ACIBC,M為AB的中點(diǎn)，D為

%的中點(diǎn)，且△7W為正三角形.

(1)求證：％平面/AC；

(2)求證：平面ABC1平面APC.

證明：⑴由已知，得如是△/成的中位線，所以如〃相.

又Mffi平面APC,4t平面APC,

故陟〃平面APC.

⑵因?yàn)椤??為正三角形，，為心的中點(diǎn),

所以MDVPB.所以APLPB.

又APLPC,PBCPC=P、所以4Pl,平面小

因?yàn)?Cu平面如C,所以"，況:

又BCLAC,ACDAP=A,所以6C_L平面"C

因?yàn)锽Cu平面ABC,所以平面ABCV平面APC.

11.(?北京海淀二模)如圖所示，為，平面26"點(diǎn)C在以四為直徑的。。上,乙

物=30°,PA=AB=2,點(diǎn)￡為線段期的中點(diǎn)，點(diǎn)〃在石上，魚(yú)。刈AC.

(1)求證：平面加於'〃平面PAC；

⑵求證：平面PACV平面PCB.

證明：⑴因?yàn)辄c(diǎn)￡為線段陽(yáng)的中點(diǎn)，點(diǎn)。為線段"的中點(diǎn),

所以O(shè)E//PA.

因?yàn)樾騯平面PAC,OBt平面PAC,

所以施〃平面PAC.

因?yàn)?M//AC,

且ACc平面PAC、0MX平面FAQ

所以。稼平面PAC.

因?yàn)槟?u平面掰定，。仁平面磔OEC0M=0,

所以平面隨定'〃平面PAC.

⑵因?yàn)辄c(diǎn)。在以為直徑的O。上，所以乙/4=90°,^BCVAC.

因?yàn)橛胈1平面ABC,BCu平面ABC,所以PA1BC.

因?yàn)锳Cu平面用C,為u平面以C用C/C=4

所以笈1.平面PAC.

因?yàn)?ct平面產(chǎn)四,

所以平面用C_L平面PCB.

12.（?珠海摸底）如圖，在多面體/況嬌中，四邊形4夕切是梯形，AB//CD,

四邊形/C硬是矩形，平面/CK建平面/及〃AD=DC=CB=AE=a,[乙ACB*.

（1）求證:BCL平面ACFE；憶-;二三^

AB

⑵若〃是棱斯上一點(diǎn)，胡〃平面好求朗的長(zhǎng).

JI

解：⑴證明：因?yàn)?，所以6UL/C又因?yàn)閍t平面4及〃平面/仃“1平面"8（力=47,平

面ACFEL平面ABCD,

所以6C_L平面/第E

（2）記/CC如=〃，在梯形/及/中，因?yàn)锳D=DC=CB=a、AB//CD,所以447?=乙。6=乙〃4c

JIJIJI

所以n=乙/a"+4版=4力⑦=34〃4。+不，所以4〃4C=不，即4或。=豆.

又因?yàn)橐宜?5，CB=a,所以。。=乎a.連接做由4〃平面叱得力勿應(yīng)因?yàn)樗倪呅嗡?/p>

、后

矩形，所以朗=，。=￥口—

B級(jí)重點(diǎn)選做題

1.如圖，在三棱錐〃T胸中，若AB=CB,AD=CD,￡是〃的中點(diǎn)，則下列正確的是（）

A.平面ABC1.平面ABD口

B.平面ABDV平面BDC/

D.平面ABCX.平面ADC,且平面ADCL平面BDE

解析：選C要判斷兩個(gè)平面的垂直關(guān)系，就需固定其中一個(gè)平面，找另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與第

一個(gè)平面垂直.因?yàn)樾芏B且￡是熊的中點(diǎn)，所以龍同理有理UC,于是熊，平面延因?yàn)?/p>

在平面Z6C內(nèi)，所以平面/比二平面BDE.又由于ACc:平面ACD,所以平面Z67?_L平面BDE.

2.如圖所示，b,c在平面。內(nèi)，aCc=B,bC\c=A,且aJ_6,alc,blc,若CEa,DEb,則4

ACO是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

解析：選BaVb,bLc,aCc=B,Z）!?ABC,

：.ADLAC,故△力切為直角三角形.

3.（?莆田模擬）如圖，在三棱錐尸T根中，NPAC、分別是以4B為直角頂

點(diǎn)的等腰直角三角形，AB^\.

⑴現(xiàn)給出三個(gè)條件：①如=乖；②陽(yáng)，6C；③平面序6,平面力必試從中任意選

取一個(gè)作為已知條件，并證明：/^_L平面A6C；

⑵在⑴的條件下，求三棱錐尸-/歐的體積.

解：法一：（1）選取條件①

在等腰直角三角形四C中，

:48=1,

又?：PA=AC,：.PA=-\[2.

.?.在△246中，AB=1,PA=@.又?;PB;小,

:.A百'PN=P百.

...乙用6=90°,gpPALAB.

y^-：PAVAC,ABOAC^A,

二陽(yáng)_L平面ABC.

(2)依題意得，由(1)可知必_L平面

「三棱鋅=|■必?SAABc=~Xy[2X^XI2二

法二：(1)選取條件②

,:PBIBC,

又AB1BC,且PBCAB=B,

BC1,平面PAB,

,/PAu平面PAB,

BCLPA.

又???B4_L/C且BCD心C

.??用，平面ABC.

(2)依題意得，由(1)可知用_1平面/宛

?；AB=BC=\,AB1.BC,

；.AC=小,

■-PA=y^,

11111廠北

*,./三棱錐尸紀(jì)二144,SMBCMQXQAB,BJPA=-X-X1X1Xyl2=^T

33232Yb

法三：(1)選取條件③

若平面以反L平面ABC,

■.?平面必8G平面/回二股以七平面力比；BC1AB,

平面PAB.

'：PAu平面PAB、：.BCi.PA.

'：PALAC,AC=C,

平面ABC.

(2)同法二.

I.師各選題I

1.(?福建高考)如圖，在長(zhǎng)方體/及力-4笈G“中，AB=AD^1,44=2,〃為棱

/“I上的一點(diǎn).

(1)求三棱錐/-掰％的體積;

(2)當(dāng)4〃+團(tuán)取得最小值時(shí)，求證：笈以平面MAC.

解：⑴由長(zhǎng)方體Z靦-48K〃知,

/〃_L平面CDKC1、

?，?點(diǎn)A到平面CDDiG的距離等于AD=1.

“11

又SAMCG=-CGXCD=-X2X1=1,

1人1

VA-MCG=-AD*S/\MCG=~

UO

(2)證明將側(cè)面繞Z?逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°