利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新高考地區(qū)專用)(原卷版)

考向15利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【2022年新高考全國I卷】設(shè)。=0.卜°/,6=3，c=-ln0.9,貝ij()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

31I1

【2022年新高考全國II卷】已知〃=一/=cos-,c=4sin—,貝！J()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

1.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

(1)確定函數(shù)/(X)的定義域；

(2)求/'(x),令((x)=0,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；

(3)把函數(shù)/(幻的間斷點(即/(x)的無定義點)的橫坐標(biāo)和/'(x)=0的各實根按

由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)/(x)的定義域分成若干個小區(qū)間；

(4)確定了'(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)/'(x)的符號判斷函數(shù)/(幻在每個相應(yīng)小

區(qū)間內(nèi)的增減性.

注①使/'(%)=0的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)/'(x)在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為

零，在其余點處均為正(或負(fù))時，/(x)在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增(或遞減)的.例如,

在(一8,+8)上，/(%)=%3,當(dāng)x=0時，f'(x)=0；當(dāng)xwO時，f'(x)>0,而顯然

/(X)=d在(—8,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù).

②若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。/)上單調(diào)遞增，Mf(x)>0(一(%)不恒為0),反之不

成立.因為/(X)30,即八x)>0或/。)=0,當(dāng)/'(x)>0時，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間

(。力)上單調(diào)遞增.當(dāng)/'(x)=0時，/(%)在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)y=/(x)在

區(qū)間(。,6)上單調(diào)遞減，則/'(x)<0(7'(x)不恒為0),反之不成立.這說明在一個區(qū)間上

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：

((x)>0nf(x)單調(diào)遞增；f(x)單調(diào)遞增nf(x)>0；

f'(x)<0=>/(x)單調(diào)遞減；/(%)單調(diào)遞減=>f\x)<0.

L利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧

利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式.

2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路

①由函數(shù)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增（減）可知/（x）＞0（r（x）V0）在區(qū)間［a,b］上恒成立

列出不等式；

②利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題；

③對等號單獨檢驗，檢驗參數(shù)的取值能否使廣（“在整個區(qū)間恒等于0,若廣⑺恒等于

0,則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若只有在個別點處有廣（耳=0,則參數(shù)可取這個值.

【提醒】f（x）為增函數(shù)的充要條件是對任意的xe36）都有/（（X）20且在（a,b）內(nèi)的任

意一個非空子區(qū)間上r（x）豐0.應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解.

-：單調(diào)性基礎(chǔ)問題

1.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法:設(shè)函數(shù)y=/（x）在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f'（x）＞0,貝I］y=f（x）

為增函數(shù)；如果/''（MvO,則y=/（x）為減函數(shù).

2.已知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若〃尤）在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有了'（尤）20恒成立（但不恒等于0）；

反之，要滿足（（無）＞0,才能得出了（無）在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若/（無）在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有尸（x）WO恒成立（但不恒等于0）；

反之，要滿足「（無）＜0,才能得出了（尤）在某個區(qū)間上單調(diào)遞減.

二：討論單調(diào)區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的

區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分.定號部分:

已知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分）；

（3）求根做圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)

系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；

（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）;

（5）正負(fù)未知看零點（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點）；

（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點，

則求二階導(dǎo)）；

求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新

函數(shù)再求導(dǎo).

（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)

正負(fù)區(qū)間段）；

類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注

意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分.定號部分:

己知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分）；

（3）恒正恒負(fù)先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)

系）；

（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））已知a=e002,b=l.Q2,c=In2.02,則（）

A.c>a>bB.a>b>c

C.a>c>bD.b>a>c

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2°）在區(qū)間（0,］）上不是單調(diào)

函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,2)B.[0,1)C.(0,+a)D.(2,y)

3.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)〃制=-工如2-丁，則不等

式/（3-巧〉/（2尸5）的解集為（）

A.（-4,2）B.（-2,2）

C.（-8,一2）。（2,+8）D.（y,-4）（2,+oo）

4.（2022?湖北.房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)=不等式/卜2）>*X+2）的

解集為（）

A.（2,+oo）B.（-1,2）

C.（0，―2）（1,-HX））D.（-2,1）

5.（2022.吉林吉林.模擬預(yù)測（文））若函數(shù)〃%）=三十%2+必—1在（-oo,+oo）上單調(diào)遞增，

則實數(shù)〃的取值范圍（）

1

A.aN—B.aK—C.a>—D.CL<一

3333

】（2022.青海?模擬預(yù)測（理））若則（）

A.eb-ea<］nb-］naB.eb-ea>lnb-lna

C.bea<aebD.be。>aeb

2.（2022.河南.通許縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））定義：設(shè)函數(shù)/（%）的定義域為。,

如果=使得/（X）在［人上的值域為［人刃，則稱函數(shù)/（%）在［人〃］上為“等域

函數(shù)”，若定義域為-，e2的函數(shù)g（x）=。*（a>0,awl）在定義域的某個閉區(qū)間上為“等

e

域函數(shù)”，貝門的取值范圍為()

I-、「-Ir21\r211

21、21----

A.f，—B.—7，—C.ee,eeD.ee,ee

eejee

L7LJ

3.(2022?江蘇無錫?模擬預(yù)測)已知a=ln的1=e-1,c=(9-31n3)e-3,則a,。的大小為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.(2022.河南.開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)

w1001

/(x)=?e,a=f(log23),b=f(-log58),c=/(-2),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

5.（2022.青海玉樹.高三階段練習(xí)（文））定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/（%）滿足/（無）<2,若

/(^)-/(l-2m)>6m-2,則根的取值范圍是()

A.(―8,—1]B.18,；C.[-1,-HX))1

D.—,+00

3

6.（2022.貴州.貴陽一中高三階段練習(xí)（理））已知奇函數(shù)/（%）的導(dǎo)函數(shù)為廣（無），且/（幻

在上恒有工（立<」3成立，則下列不等式成立的（）

IzJsmxcosx

7.（2022?江蘇?南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知a>1,b>1,且S+l）ea=aeb+l+a（e為自然

對數(shù)），則下列結(jié)論一定正確的是

（）

A.ln（?+b）>lB.ln（a-b）<0

C.2"I<2"D.2a+2*<23

8.（2022?江西?上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)/（x）=asinx+2cosx在

上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（）

A.a>QB.-2<a<2C.a>-2D.a>0^a<-2

9.（多選題）（2022?全國?模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)/（X）滿足〃x）+r（x）>0,則

下列式子成立的是（）

A./（2021）<eA（2022）B./（2021）>ef（2022）

C.7'（x）是R上的增函數(shù)D.Vf>0,則〃x）ve"（x+r）

10.（2022?山東泰安?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/。）=-/+公2,寫出一個同時滿足下列兩個條件

的/⑴：.①在口,"）上單調(diào)遞減；②曲線y=/（x）（xNl）存在斜率為—1的切線.

11.（2022.青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)〃x）=a（x—1）-—OwR）,

A（x）=lnx-e,e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴討論〃x）的單調(diào)性；

⑵當(dāng)了>1時，不等式/（x）MXx）恒成立，求"的取值范圍.

12.（2022?上海?位育中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=?x2-x+2?-l（a為實常數(shù)）.

⑴設(shè)，(x)在區(qū)間口,2］上的最小值為g(“)，求g(〃)的表達(dá)式；

⑵設(shè)〃")=乎，若函數(shù)萬(X)在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

13.(2022?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃%)=%2-inx.

⑴求曲線y=在工乂處的切線方程；

⑵若g(%)=(/(%)+ax)-e-v在區(qū)間(0,1)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)〃的取值范圍.

14.(2022?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=aln(無+l)—3x.

⑴討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性;

(2)證明：當(dāng)。=1時，方程"x)=sinx_3x在泛,+8)上有且僅有一個實數(shù)解.

15.(2022?天津?二模)已知函數(shù)/(x)=-2a21nx+］尤2+辦(q?R).

⑴當(dāng)4=1時，求曲線y=/(x)在(1,/(1))處的切線方程；

⑵求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當(dāng)"0時,求函數(shù)在區(qū)間R,e］上的最小值.

1

16.(2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)/⑴=e(元-a)9(asR).

⑴設(shè)g(x)=/(%)e",討論函數(shù)g(%)=/(%)ex的單調(diào)性；

⑵當(dāng)了;0時，^(x)<x2-(tz-l)x+l,求實數(shù)a的取值范圍.

17.（2022?北京八十中模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（?=、=.

y/x

⑴當(dāng)4=1時，求函數(shù)/⑴在（"（D）處的切線方程；

⑵求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對任意xjl,"）,都有/（元）>%成立，求實數(shù)。的取值范圍.

18.（2022?陜西?寶雞中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)/（x）=g62-（2a+l）x+2hu（aeR）

（1）當(dāng)a=T時，求/（X）在點（i，〃i））處的切線方程；

⑵當(dāng)a>0時，求函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

，真題練)

1.(2022?全國?高考真題)設(shè)。=0.1e叫6=5c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

3111

2.(2022?全國考真題(理))已知。二—,b=cos—,c=4sin—,貝ij()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

3.(2022?北京?高考真題)已知函數(shù)f(%)=e1n(l+%).

⑴求曲線V=/(x)在點(0,7(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/'。)，討論函數(shù)g(%)在［。,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對任意的s1￡(0,+8),有/(s+，)>/(§)+/Q).

4.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)f（%）=xe〃-e，

(1)當(dāng)〃=1時，討論“工)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)%>o時，求〃的取值范圍;

11+I!>ln(n+l).

(3)設(shè)〃EN*證明：>TT+>T7+

7n+n

5.(2021?全國?高考真題(文))設(shè)函數(shù)/0)=4*2+依-3111*+1,其中〃>().

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)的圖象與x軸沒有公共點，求。的取值范圍.

6.(2021.全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=x(l-Inx).

(1)討論/(x