解三角形（兩大易錯(cuò)點(diǎn)+九大題型）（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（新高考專用）

解三角形

目錄

【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)

【應(yīng)試總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)一：正弦定理的邊角互化

易錯(cuò)點(diǎn)二：判斷三角形個(gè)數(shù)

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略

【題型一】最值與范圍：角與對(duì)邊

【題型二】最值與范圍：角與鄰邊

【題型三】范圍與最值：有角無邊型

【題型四】三大線：角平分線應(yīng)用

【題型五】三大線：中線應(yīng)用

【題型六】三大線：高的應(yīng)用

【題型七】圖形：內(nèi)切圓與外接圓

【題型八】圖形：“補(bǔ)角”三角形

【題型九】圖形：四邊形與多邊形

高考預(yù)測(cè)

概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆

題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題、解答題☆☆☆☆☆

考向預(yù)測(cè)正余弦定理求邊，求角。

應(yīng)試

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作為高考固定題型，每次會(huì)出現(xiàn)在解答題的第一題或者第二題，新高考出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不良題的新題型，

無外乎的就是和三角函數(shù)與解三角形結(jié)合出現(xiàn)在解答題第一題里，占10分，難度不大也適應(yīng)了新高考的新

題型，所以是熱門，必須要把各題型都能熟練掌握。

今年從九省聯(lián)考的試卷可以看出，新結(jié)構(gòu)試卷中把原有的解三角形大題弱化了，新結(jié)構(gòu)試卷解三角形

的位置會(huì)在選填中考察，出現(xiàn)在大題的機(jī)率也是有的，即使出現(xiàn)難度也是不大的，所以基礎(chǔ)題型和小題中

對(duì)于正余弦定理的運(yùn)用就需要掌握的透徹。

誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯(cuò)點(diǎn)一：正弦定理的邊角互化

1.正弦定理：="=1J=2R,其中R是三角形外接圓的半徑.

sinAsinBsinC

由正弦定理可以變形:(l)a：b：c=sin_A：sin_B：sin_C；(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C；(3)sin

A=-,sinB=-,sinC=￡等形式，以解決不同的三角形問題.

2R2R2R

易錯(cuò)提醒：

1.在用正弦定理進(jìn)行邊角互化時(shí)需要注意2R的存在，等式兩邊2R的數(shù)量一致才可相消。

2.在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在AABC中，

A>B=a>b=sinA>sinB.

,2「

例(2024?遼寧遼陽一模)在。8c中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且叱+4Z?=6c?,貝Ij‘人。

sin4sin8

的最小值為.

變式1：(2024?四川涼山?二模)設(shè)“3C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若。叫一封?空】,

QC0S8+力cos/C

則4=.

易錯(cuò)點(diǎn)二：判斷三角形個(gè)數(shù)

1.在AABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

Cccc

圖形A工

AZLBAB

關(guān)系

a=bsinAbsinA<a<ba>ba>b

式

解的

一解兩解一解一解

個(gè)數(shù)

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例（2022?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）在“BC中，內(nèi)角4叢C所對(duì)的邊分別為。?則下列條件能確定三角

形有兩解的是（）

._.71

B.a=4,b7=5,A=一

4

C.a=5,b=4,A=—

6

D.a==5,A=一

3

12

變式1:（2022高三?全國?專題練習(xí)）在中，cos^=—,smB=m,若角。有唯一解，則實(shí)數(shù)加的取

值范圍是（）

A-GHB?島1]C.腎卜{.D.嗚/{1}

搶分通關(guān)

【題型一】最值與范圍：角與對(duì)邊

注意正弦定理在進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換時(shí)等式必須是齊次，關(guān)于邊",6,c的齊次式或關(guān)于角的正弦sin4sin8,sinC的

齊次式，齊次分式也可以用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換.求范圍問題，通常是把量表示為三角形某個(gè)角的三角

函數(shù)形式，利用此角的范圍求得結(jié)論.

?—?

典例精講

【例1】（23-24高三下?河南濮陽?開學(xué)考試）已知。8c的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,3wC.若

A.gB.-C.2D.3

22

【例2】（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?一模）在銳角AABC中，角A,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=3,

/=60。，則6的取值范圍是（）

A.（0,6）B.（0,2⑹C.（73,273）D.（6,6）

【例3】（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知AA8C中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a,6,c,J§6-csird=V^acosC.

（1）求角A的大?。?/p>

第3頁共14頁

⑵若a=3,。為BC邊上一點(diǎn)，\AD\=2,2DB=DC,求的面積.

名校模擬

【變式1］（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知。8C的內(nèi)角48C的對(duì)邊分別為。也GA/BC的面積

回

S=--abcosCj■

（1）求角A的大?。?/p>

⑵若a=4,GsirU=sinS+sinC,求AA8C的面積S.

【變式2］（2024?云南貴州?二模）"BC的內(nèi)角4以C的對(duì)邊分別為a也c,已知acosB-bcoM=6+c.

（1）求角A的值；

⑵若。=2G,A/3C的面積為g,求瓦c.

【變式3］（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知“8C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,a=l,

sinB+也bcosA=0.

⑴求角A；

⑵設(shè)是AABC的高，求的最大值.

【題型二】最值與范圍：角與鄰邊

三角形中最值范圍問題的解題思路：

要建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化

為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題。

涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的范圍時(shí)

可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.注意要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊

的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結(jié)果的范圍過大

1—I

典例精講

【例1】（2024?安徽阜陽?一模）在“BC中，角4叢C的對(duì)邊分別是a,6,c,且

asinAcosB+bsinAcosA=y/3acosC?

（1）求角。的大??；

（2）若a=3,且刀.就=1，求AABC的面積.

【例2】（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?一模）在銳角△/5C的內(nèi)角/,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知

c=2ca,cosA,=—7

8

⑴求cosC；

（2）若b=9,求“BC的面積.

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I—I

名校模擬

【變式1］（2024?陜西渭南?模擬預(yù)測(cè)）已知“3C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a/,c,則能使同時(shí)滿足

條件N==,6=6的三角形不唯一的。的取值范圍是（）

6

A.（3,6）B.（3,+8）C.（0,6）D.（0,3）

【變式2］（2024?河北?一模）在。8c中，內(nèi)角4,2，。所對(duì)的邊分別為a,6,c,且滿足a?+6?+&ab=c?.

（1）求角C的大?。?/p>

（2）若b=l,c-2bcosB,求“BC的面積.

【變式3］（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）在“BC中，角所對(duì)的邊分別為“/,c,其中a=l,cos/=，2c-1.

⑴求角B的大??；

（2）如圖，D為亞IBC外一點(diǎn)、,AB=BD,NABC=NABD,求2m的最大值.

smZCDB

【題型三】范圍與最值：有角無邊型

I—I

典例精講

【例1】（2024?北京石景山?一模）在銳角“8C中，角4瓦C的對(duì)邊分別為a,6,c,且26siir4-有。=0.

（1）求角B的大小；

⑵求cos/+cosC的取值范圍.

sin/+sin5_。-a

【例2】（2024?吉林延邊?一模）已知“8C的內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

sinCb-a

(1)求5

⑵若點(diǎn)。在/C上，且AD=BD=2DC,求

c

名校模擬

【變式1］（2024?廣東湛江?一模）已知在中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

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acos(B-C)+acosA-24icsinBcosA=0.

⑴求4;

⑵若AABC外接圓的直徑為2VL求2c-b的取值范圍.

【變式2](2023?陜西?模擬預(yù)測(cè))-3C的內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知

c

acosB+bcosA=

V2cosC

⑴求C；

⑵若收6+gc=2a,求A.

【變式3](2012?廣西南寧?一模)已知在“3C中，角4伉。所對(duì)的邊分別為。,6,。，且

yflacosB=ccosB+bcosC■

⑴求角B的大??；

(2)設(shè)向量比=(cos4cos2/),力=(12,-5),求當(dāng)麗?萬取最大值時(shí)，tanC的值.

【題型四】三大線：角平分線應(yīng)用

角平分線定理(大題中，需要證明，否則可能會(huì)扣過程分)：黑=票

I—I

典例精講

27r

【例1】(2024?山東淄博?一模)如圖，在△Z8C中，/A4c=的角平分線交BC于P點(diǎn)、,AP=2.

(1)若8C=8,求A/BC的面積;

⑵若CP=4,求AP的長.

【例2】(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模)在“3C中，4民。分別為邊a/,c所對(duì)的角，且滿足2a+c=26cosC.

(1)求的大??；

(2)//的角平分線/。交3c邊于點(diǎn)D,當(dāng)c=2,|/D|=近時(shí)，求|CD|

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【例3】(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))記。8c的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知!c+b=acosC.

2

⑴求角A；

(2)若b=3,c=5,/BAC的角平分線交BC于D,求的長.

0=□

名校模擬

【變式1](2024?四川遂寧?二模)已知“8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且tan8+tanC=3l生.

ccosB

⑴求角c；

(2)若cr＞是N/CB的角平分線，CD=4杷,“BC的面積為184，求c的值.

【變式2](2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=6sin(=-2x)-sin(￥+2x).

36

⑴若方程仆)=根在工€[-；,會(huì)上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)在“8c中，若/(?)=-2,內(nèi)角/的角平分線40=6，AB=4i，求/C的長度.

【變式3](2024?四川廣安?二模)已知“8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且

2acosC-ccosB=bcosC.

⑴求角C;

(2)若。。是//C3的角平分線，CD=Mi,"BC的面積為18石，求。的值.

【題型五】三大線：中線應(yīng)用

中線的處理方法

一，.、?--?1--?--?(21/-----------*--\

1.向量法：AD=-(AB+AC)<?AM+2AB-AC+ACj

2.雙余弦定理法(補(bǔ)角法)：

如圖設(shè)BD=DC,

在中，AB2=AD2+BD2-2xADxBDxcosZADB,①

在△/CD中，由余弦定理得/C?=402+002-2X4DXDCXCOSZADC,②

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因?yàn)镹AMB+ZAMC=71,所以cosZADB+cosZADC=0

所以①+②式即可

3.延伸補(bǔ)形法：如圖所示，延伸中線，補(bǔ)形為平行四邊形

4.中線分割的兩三角形面積相等

I—I

典例精講

【例1】(2023?浙江?模擬預(yù)測(cè))在。8C中，角4SC的對(duì)邊分別為a,6,c且

bcosC+csinS=a,--"-----=6五，

sin/+2sinB

(1)求6;

(2)求/C邊上中線長的取值范圍.

4

【例2】(2023?河北滄州三模)在中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為b,c,2sinC=sin5,cosA=—,

be

且的面積為2g.若6C,4C邊上的兩條中線/M,8N相交于點(diǎn)P,如圖所示.

(1)求ZBMA的余弦值；

⑵求MP°+NP2的值.

【例3】(2023?吉林長春?一模)在"3c中，為3c邊上中線，BD=43,AD=^7,tanZBAD^—.

2

(1)求08C的面積；

—10—

(2)若/￡=亍/D,求/BEC.

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I—I

名校模擬

【變式1X2023?新疆阿勒泰?三模)在“3C中，/A4c=120。，/。為3C邊上的中線且/。=2,則48-2/C

的取值范圍是.

【變式2](23-24高三上?河北唐山?期末)在AABC中，角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,6。sinB+acosB=b+c

(1)求A；

(2)設(shè)/C邊的中線=且/+02=28,求“3C的面積S.

【變式3](2023?全國?模擬預(yù)測(cè))在。BC中，內(nèi)角4民。所對(duì)的邊分別為。c,且asinC=csin1/+3.

(1)求角A的大??；

(2)若AABC的中線求6+c的最大值.

【題型六】三大線：高的應(yīng)用

高的處理方法：

1.等面積法：兩種求面積公式

taS=-bcsmA=-BCxAD=-c2

222

2.三角函數(shù)法：

在ASCD中，BD=ABcosZABD,AD=ABsinZABD,

I—I

典例精講

TT

【例1】(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))在力BC中，AB=5,C=-且tan/=3,貝邊上的高〃=_____.

4f

【例2】(2024?全國?一模)已知“3c的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且4D是3c邊上的

高.(sinA-sinS)(a+Z))=(c-42b)sinC.

⑴求角A；

第9頁共14頁

(2)若sin(B-C)=,。=5,求AD.

【例3】(23?24高三下?山東濟(jì)南?開學(xué)考試)在中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

bcosA=a(2-cos5).

⑴求￡；

a

2兀

(2)若8=三，且/C邊上的高為百，求“8C的周長.

I—1

名校模擬

1co

【變式0(2021?湖南株洲三模)已知“3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,a-^g=sinC+cosC

sin2BsinC-cosC

(1)求/的大??；

⑵設(shè)4D是3c邊上的高，S.AD=2,求“3C面積的最小值.

【變式2](2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))在中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且6(1+cosC)=V§csin8.

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若°=而，b-a=2,求/C邊上的高.

【變式3](23-24高三上?河南周口?階段練習(xí))記AASC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,

6,c為邊長的正三角形的面積依次為岳，S〉邑，且百一邑一邑=/兒.

⑴求角A；

(2)若6=將，D為線段3C延長線上一點(diǎn)，且BD=4CD,求"3C的邊上的高.

0

【題型七】圖形：內(nèi)切圓與外接圓

外接圓：

1.外接圓的圓心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。直角三角形外心在三角形

斜邊中點(diǎn)上。

鈍角三角形外心在三角形外。

2.正弦定理：，=—=，=2R,其中火為外接圓半徑

sinAsinBsinC

內(nèi)切圓：等面積構(gòu)造法求半徑

S.=—(a+b+c}rr=——

"2''a+b+c

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I—I

典例精講

【例1】（2024?吉林?二模）已知以8C的三個(gè)內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為°也CQ/BC的外接圓半徑為百，

且sin25+sin2C-sin5sinC=sin2A.

⑴求a；

（2）求“BC的內(nèi)切圓半徑〃的取值范圍

【例2】（2023?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三

角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點(diǎn)”.

如圖，在A/BC中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a/,c,且io（sinOrj=7-cos2/.以為邊向

外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為a,a,Q.

（2）若。=3。。0,。3的面積為拽，求。3C的周長.

4

【例3】（2023?江蘇鎮(zhèn)江?三模）在凸四邊形/BCD中，AB=BC=布,NABC=q.

（1）若8。=2療,COS//8D=；.求CD的長；

⑵若四邊形4BCD有外接圓，求4D+CD的最大值.

rr-TJ

名校模擬

【變式1］（2024高三?江蘇?專題練習(xí)）已知點(diǎn)M為直角“BC外接圓O上的任意一點(diǎn)，

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ZABC=90°,AB=tBC=43，貝4力-礪）?加的最大值為.

【變式2】（23-24高三下?重慶?開學(xué)考試）已知四邊形ABCD的外接圓面積為g,且3。=療,C。=2,ABAD

為鈍角，

（1）求NBCD和BC-,

（2）若sin//8O=叵，求四邊形/BCD的面積.

7

【變式3］（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）在“BC中，角48,C所對(duì)的邊分別為應(yīng)6。。=7*+。=24力。平分

—?8—?5—?

/BAC,^AD=—AB+—AC.

1313

（1）求仇。；

（2）求^ABC的外接圓和內(nèi)切圓的面積之比.

【題型八】圖形：“補(bǔ)角”三角形

I—I

典例精講

【例1】（2024?內(nèi)蒙古包頭?一模）如圖，在“3C中，AABC=90°,D是斜邊NC上的一點(diǎn)，AB=^3AD,

ADC

⑴若NDBC=60。，求ZADB和DA；

。若BD=母,證明：CD=2DA.

【例2】（2024?福建?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，。為3C的中點(diǎn)，S.ZDAC+ZBAC=7i.

⑴求景

Q)若BC=2插4(2，求cosC.

名校模擬

【變式1］（2024?甘肅隴南?一模）在中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a/,c.已知ccos/+acosC=3?

⑴求6;

TT

（2）。為邊“C上一點(diǎn)，AD=2DC,ZDBC=~,ABLBD,求AD的長度和的大小.

6

【變式2］（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）在①G（6-ccos/）=psin