江蘇省某中學(xué)2023-2024學(xué)年度高三階段模擬考試數(shù)學(xué)試題+答案

數(shù)學(xué)I

（全卷滿分160分，考試時間120分鐘）

注意事項

1.答卷前，請考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考試號等信息填寫在答卷規(guī)定的地方.

2.試題答案均寫在答卷相應(yīng)位置,答在其它地方無效.

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.不需要寫出解答過程，請把答案

直接填在答題卡相應(yīng)位置上.

1.命題'VxN2,x2-4”的否定是▲.

2.設(shè)a,b是兩個非零向量，則“W?方＜0”是“7號夾角為鈍角”的▲條件.

（填”充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分也不必要”）

3.某商場在今年元宵節(jié)的促銷活動，對3月5日9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率

分布直方圖如圖所示.已知9時至10時的銷售額為5萬元，則11時至12時的銷售額

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出S的值為22,那么輸入的“值等于▲.

5.已知*=-1+i,其中i為虛數(shù)單位，那么實數(shù)。=▲.

6.已知向量〃與向量b的夾角為60。，1〃1=歷1=1,則1〃一bl=▲.

7.在直三校柱ABC—內(nèi)有一個體積為V的球，若AB=6,BC=8,A4=5,

則V的最大值▲.

高三數(shù)學(xué)（第I卷）第1頁（共4頁）

8.等差數(shù)列｛%｝滿足:氣+%+”=9,則4+%+%=d」?

9.若雙曲線上存在四個點A、B、C、。，使得四邊形ABC。是正方形，則該雙曲線的離心

率的取值范圍▲.

10.已知函數(shù)/)=f+ax+2(a?R),若關(guān)于x的不等式/)+4)20對任意x>0都成立,

則a的取值范圍為▲.

11.已知函數(shù)/(x)=4xlnx—x?+3,g(x)=x2+2ax-4,若對任意的外2(0,2],總存

在4G[1,2],使得/(%)+4/8(彳2)20成立，則實數(shù)。的取值范圍是▲.

12.如圖，在平行四邊形ABC。中，E,尸分別為BC,CD

的中點，且彳力?赤=4,AF-BF=~\,則就?黃)7

▲、

13.平面直角坐標系xOy中，圓O:d+y2=J”>0)與直線長----------V

A(第12題)B

y=x-4相交于兩點A,8若圓。上存在點尸(可與點

A,B重合)，使得B42+pg2=4,則廠的取值范圍為▲.

14.若存在正整數(shù)機使得關(guān)于龍的方程〃5[1?+(1+?1〃)￡:05苫=2+2加一〃在(0,%)上有兩個不等

實根，則正整數(shù)”的最小值是▲.

二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必

要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分14分)

如圖，在直三校柱A8C—4/￡中，M,N分別為棱AC,Ag的中點，且43=8C

(1)求證：平面BMN_L平面ACC]A

(2)求證：MN〃平面Becr]

高三數(shù)學(xué)(第I卷)第2頁(共4頁)

16.(本小題滿分14分)

3

已知△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知COSA=4，B=2A,b=3.

(1)求①

(2)已知點M在邊BC上，且AAf平分求的面積.

17.(本小題滿分15分)

一個拐角處為直角的走廊如圖所示，走廊寬2皿，為了美化環(huán)境，現(xiàn)要在拐角位置布置

一處盆景.盆景所在區(qū)域為圖中陰影部分，其中直角邊0402分別位于走廊拐角的外

側(cè).為了不影響走廊中正常的人流走動.要求拐角最窄處C8不得小于而加

(1)若。4=。8=1w，試判斷是否符合設(shè)計要求；

(2)若。/=2。8,且拐角最處恰好為加7時，求盆景所在區(qū)域的面積；

(3)試判斷對滿足的任意位置的A,B,是否均符合設(shè)計要求？請說明理由.

18.(本小題滿分15分)

已知圓A經(jīng)過點尸(-5,0)和。點(3,0),且在y軸上截得的線段長度為

(1)求圓A的標準方程；

(2)過點2(1,0)作直線，與圓A交于點C、D,連接AC、AD,過點8作AC的平行線，

交于點E,求證：點E的軌跡是橢圓，并求出該橢圓方程；

(3)設(shè)直線/是點E的軌跡的任意一條切線，則x軸是否存在一對關(guān)于原點對稱的點R

G,使得點RG道直線/的距離之積為定值.若存在，請求出這對點；若不存在，請

說明理由.

高三數(shù)學(xué)(第I卷)第3頁(共4頁)

19.(本小題滿分16分)

4—(S一產(chǎn))

首項為1的正項數(shù)列伍｝的前w項和為S，數(shù)列｛a2｝的前〃項和為T,且7=-4一

nnnnnj

其中尸為常數(shù)

(1)求尸的值；

(2)求證：數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

(3)設(shè)｛；｝的前"項和A,證明:與一*點+?+…+白-.

Cl"ND21Z121乙

20.(本小題滿分16分)

定義可導(dǎo)函數(shù)丫=以無)在X處的彈性函數(shù)為『⑴?六，其中/(X)為加0的導(dǎo)函數(shù)?在

J\^)

區(qū)間0上，若函數(shù)八X)的彈性函數(shù)值大于1,則稱犬尤)在區(qū)間0上具有彈性，相應(yīng)的區(qū)

間D也稱作式x)的彈性區(qū)間.

(1)若r(x)=/—x+1,求廠(x)的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點；

(2)對于函數(shù)/(x)=(x—1)ex+lnx-tx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

(i)當(dāng)U0時，求八防的彈性區(qū)間D；

(ii)若在⑴中的區(qū)間。上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

高三數(shù)學(xué)(第I卷)第4頁(共4頁)

數(shù)學(xué)II

（全卷滿分40分，考試時間30分鐘）

注意事項

1.答卷前，請考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考試號等信息填寫在答卷規(guī)定的地方.

2.試題答案均寫在答卷相應(yīng)位置,答在其它地方無效.

21.【選做題】在A,B,C三小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分.請在答題卡

指定厘域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.選修4—2：矩陣與變換（本題滿分10分）

已知矩陣A=”—1，其中阻相，"CR,若點R1,2）在矩降A(chǔ)的變換下得到的點

L32」

々（0,5）

（1）求實數(shù)m,n的值；

（2）求矩陣A的逆矩陣.

B.選修4一4：坐標系與參數(shù)方程（本題滿分10分）

y=2t+1

在直角坐標系xoy中，已知直線I的參數(shù)方程是j（其中f為參數(shù)），若以。為極

點，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標系中相同單位長度，建立板坐標系，曲線C的極

坐標方程為2=2理cos（sin9+g.求直線/被曲線C截得得弦長.

高三數(shù)學(xué)n（附加題）第1頁（共2頁）

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，

解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

22.（本小題滿分10分）

共享單車的出現(xiàn)大大方便了人們的出行.已知某城市有A,B,C,D,E五種共享單車，某

人在某周的周一至周五這五天中，每天選擇其中任意一種共享單車出行的可能性相同.

（1）求此人在這連續(xù)五天的出行中共選擇了三種共享單車的概率；

（2）記此人在這連續(xù)五天的出行中選擇的共享單車的種數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

23.（本小題滿分10分）

已知拋物線x?=2分（P>0）,點M是拋物線的準線與y軸的交點，過點A（0,的動

直線/交拋物線于2,C兩點.

（1）求證：MB-MC^O,并求等號成立時的實數(shù)九的值；

⑵當(dāng)九=2時，設(shè)分別以。2,OC（。為坐標原點）為直徑的兩圓相交于另一點。，求。。+D4

的最大值.

高三數(shù)學(xué)H（附加題）第2頁（共2頁）

(周練習(xí)八)

數(shù)學(xué)I參考答案及講評

一、填空題:本大題共14小題,每小題5分，共計70分.

1-10【答案】

1-5：3X<2,X2<4；必要不充分：20萬元；8；2；

6-10：I；―--；9!+[—3,+8)

填空題講評：

11.已知函數(shù)/(x)=4xlnx—3,g(x)=x2-h2ax-4,若對任意的46(0,2],總存在

x2e[l,2],使得/(壬)+4;t:逐。2)20成立，則實數(shù)。的取值范圍是▲.

【答案】一；，+8)

解，/(xJ+4x向xJ20=+g(x)>0<=>>-g(x,)

4七24Kl

???VX,e(0,2]3X2e[1.2]使得答>-g(x2)

.?德卜…兒

\1/min

令Mx)=?xe(O,2]

4x

A(x)=lnx+^-^-=ln.r+---土

4.v4.r4

,(\1314x-3-x'x*-4x+3(x-lX-v-3)仙箱”.1

nt(x)=-----r------；=------=---=----矢=n0.解卷ItlA€x.3

x4x244x24x24K2

/j(x)在(0,1]遞減,(1,2]遞增

./(x)mm=Ml)=g

而一2-x；-2ax2+4在x,e[1,2]有解，即2a2-x?+」一在x,w[1,2]有解.

2.-2X2

又???J=-X+F在[1,2]遞減.

2x4

/.2aN——,即aN——

48

高三數(shù)學(xué)參考答案(5-28)第1頁(共14頁)

12.如圖，在平行四邊形ABC。中，E,尸分別為BC,CD的中點,

-DE=4,AF-BF=-1,則成:?品=▲.

【答案】-5

tf.AF-AD+DF^AD+-DC^AD+-AB

22

DE-DC+CE~AB^-CB-AB--AD

22

.?.(而+g而)|亞而14

3--1-21

-ABAD+-AB--AD'=4①

422

AE—AB+BE-AB+—BC-AB+—AD

22

BE-BC+CF-AD+-CDAD--AB

22

AEBF^AB+1ADJD-j="l

.?.灑而-洛+；而，=-1②

①-②

AB2-AD2-5

而?麗=（方+畫（而-畫=而:_爾7

13.平面直角坐標系xOy中，圓。:一+/=/（廠＞0）與直線y=x—4相交于兩點A,8若圓。上

存在點P(可與點A,B重合)，使得朋2+尸爐=%則廠的取值范圍為▲

【答案】(2人,拒+方］

K:取58中點M

,.....*，*?，?......*222

PA+PB=2PMPA+PB+IPAPB=4PM(*)

"■.■Ql|4——?2■2?.‘—.2

PA-PB=BAPA+PB-2PAPB=BA(??)

(*)+(”)得2(PA2+PB')=4PM2+BA'=>?=4PM2+4AM-=?2=PM2+AM:

：.2=PM2+r2-OM-

而OM是。到.48距離d=2=2—可得/■>2近

=IO-r:=>PA/=VlO-r2€(r-2V2,r+2>/2)

解得2萬<rd石

的：20<rS&+6

高三數(shù)學(xué)參考答案（5-28）第2頁（共14頁）

14.若存在正整數(shù)m使得關(guān)于x的方程nsiiix+（1+mn）cosx=2+2m—n在（0,7）上有兩個不等實

根，則正整數(shù)〃的最小值是上」.

【答案】3

解:nsinx+（1+inn）cosx=J，J+（1+ntn）2sin（.r+0）

—.I+mn

其中sin3:-7^-■

yjn2+(1+〃〃〃)y/n14-(l+mm)

0＜x＜，則夕＜刀+/＜萬+伊

nsinx+(l+mn)cos.r=2+2〃〃i一〃在(()，zr)上有兩個不等SdR,

2+2tnn-n

貝！jsin(x+>)=在（0.”）上有兩個不等實根

（?）式對于〃nZ.恒成立

(**)可得3/ww<4〃-3

前成立

:3n<4〃-3n/1>3

二、解答題:本大題共6小題，共計90分.

15.（本小題滿分14分）

證明:

;AB=BC,ILA/為力。中點

（1）??直三棱柱/6C-44G

??.BM1AC

??.AA,±平面ABC

44n4C=4，AA^ACu平面AA^C

???SMu平面ABC

BM，平面AA.C.C

???441BM

??,平而BMN1f[fnACC^

高三數(shù)學(xué)參考答案（5-28）第3頁（共14頁）

（2）取4G中點〃.連接c〃.N〃M為4c中點

?.CA/〃4￡,CM=；A￡

??,，A44G中，N,〃分別為4烏.4G中點

???N〃〃4C，N〃=；4c

r.CMf!NH.CM=NH

???四邊形N〃CH為平行四邊形

MNHCH

???CHu平面BCC{BX

MN<x平面BCC.B,

，四邊形AA.C.C為平行四邊形???MN〃平面8c(酒

SAC,4G=4。

16.（本小題滿分14分）

解：(11???在A48c中，8=2彳且正強定理二2一二-7^-

sinAsinB

abb

:、.=7?一1*3=.

sinAsin2A2sinAcosA

v在MBC中.Ae(O?JT)sin#0

b

：.a=------

2cos/

L，，3

?.?/>=3.cosA--

4

3

2x-

3

(2)??,在&48c中,,4€(0,乃)II.cosA

高三數(shù)學(xué)參考答案（5-28）第4頁（共14頁）

:.sinA=7l-cos:A=Jl-gf=

vB=2A

/.sin=sin2A=2sin月cosA2x)匹亞

448

cosfi=cos2J=cos2J-sin2A=

8c中.4+6+C=”

r.cosC=cos(;r-/-6)=-cos(/+8)="(cosAcosB-sinAsinB)

9

484816

o25

tizAABC中,由余弦定理得：c1=a2+62-2abcosC=22+3:-2x2x3x—=—

??/LAMC+ZAMB=zrsinZJMC=sinNAMB

vAM平分/CAB.即ZCAM=/BAM

即：sinNCLW=sinN84H

bCM

又???佐&4CW中.由正強定理得:

sinZAMCsinZ.CAM

cBM

在&48M中，由正弦定理得：----------=----------

sinZ.AMBsinZ.BAM

.bCM

.7一BM

Yb=3.c=—?a=CM+BM-2

2

121OW775V7

??.MBM的面枳S=1c?8Msin5=XXX=

222118176

高三數(shù)學(xué)參考答案（5-28）第5頁（共14頁）

17.（本小題滿分15分）

解：以08、CM為x,y軸建系.則C(2,2)

(I)Q4=O8=1.RM(O.l),5(1.0)

/”：x+yT=o

C到,48距離d=卡>［符合要求

(2)OA=2OB

設(shè)08=/,則。1=2/

:-+^-=1HP2x+y-2r=0

.IIt

(3)設(shè)/(0,a).即0)

AB=—<則a?+Z>~=——

24

rv

方程二十」=l.即ar+/n，一a/)=O

ba

c到.距離八駕絲01=生理他

J/+廬A

2

n=-cos0.b=-s\nO

22

、25

5(sin0+cos0)--sinJcosd5

d=-----------------------------------=2(sin0+cos^)-二sin6cosJ

2

令sin0+cos〃=/tG(L>/2)sintfcos^=-——-

，符合要求

高三數(shù)學(xué)參考答案（5-28）第6頁（共14頁）

18.（本小題滿分15分）

解：（1）設(shè)圓/：（x-“F=廠'

(-5-°曠+/)?=r2

則<(3-a,+62=r2=>/?=0

6/2+15=rr=4

回4:(x+了+./=16

(2)BEIIAC

BEDE

n則l一=

AC而

BE=DE

則EA+EB=EA+ED=AD=4

：.E在以為焦點的橢圓I:

H2〃=4即a=2,c=I則/>?=3

幃網(wǎng)方程為：工+1==1

43

(3)設(shè)切線p=h+〃7

y=fcr+?w

聯(lián)立,￡_］消y可得(4A*+3卜'+8A7H.V+4m--12=0

T+T-

直線。橢圓相切A=0,則4y+3-=0

設(shè)F（/,0）,則G（T,0）

F到/的距離4=3"，,G到/的距離乩二卜"

設(shè)其中為定值4d2=2,其中a為定值

_-公/2_4A2+3-&2/_（4T+2+3_

'2=7+1=-PTi-=*2+i

則尸

3=A

廠（-1,0）G（l,o）或者廠（1,0）G（-l,0）

高三數(shù)學(xué)參考答案（5-28）第7頁（共14頁）

19.(本小題滿分16分)

4―(5—尸)4—(1-P)

解：(1)在7；=—3——L中，令〃=1得1=—-----L.?.2=()或2

33

當(dāng)P=0時.再令”=2得1+弘-=————

?3

2a；+%=0,a2=0或-,

2

這與。“>0矛盾，故舍去

/.P=2

(2)當(dāng)P=2時,37；=4-(S?-2)2(i)〃22時，37；_1=4-(SI-2)2②

①-②得

3a；=(S1-2)2-⑸-2J=儲+5.-4)=——+'一4)

二-3a.=S“_1+S”-4③

當(dāng)〃23時，應(yīng)―"4④

③-④得，-3。*+3。-|=at+aH

.?.4a“=21.—=1(?2t3)

???2

在①式中,令〃=2n30+)=4-(4-11n%=；

a,1

q2

.?.巴」=,對任意的〃22均成立

4(2

.?.｛凡｝為等比數(shù)列.

高三數(shù)學(xué)參考答案（5-28）第8頁（共14頁）

（3）rtl（2）知｛（｝為等比數(shù)列且首項為q=1,公比為,

.1尸/Hl)

..—=2?4=------------

41-2

1

另?方面2”“-123x2”

2

A,4/nn\

...—+——+???+-—―/>———

4442”23

4幺<1

2344...,2

高三數(shù)學(xué)參考答案（5-28）第9頁（共14頁）

20.（本小題滿分16分）

解：（1）

r（x）的彈性函數(shù)為（e*—I）、=]

令(e'-1)---=0得X=0

'e'-x+1

彈性函數(shù)的零點為K=0.

(2)(i)f=0時.f(.r)=(,r-l)t?r+Inx./r(.v)=xeT+—

x

/（'）的彈性函數(shù)為卜E）?（l）,"nx

令卜’+;卜X

(/-l)e”+In.t

首先(x-l)/+lnx>0,注意到/'(x)>0

??./(工)在(0,+QO)上/.注意打/(1)=0.?./(x)>/(l)nx>1

此時//+1>(x-1)ev+lnx=i>(x2-x+1)"-lnx+1>0

而x>I時，,r2-.r+1>I

:.(x2-x+1-Inr+1>er-Inx+1>x+1-(x-1)+1=3>0

滿足題意.枚/(X)的彈性區(qū)間。為(I,+8)

(ii)由/(x)>I=>(1-1)/+In工一戊>I在(1,Ko)上恒成立

首先/(1)=TNln，4-l

"if4-1時，/(x)=(X-1)/+-1)/+lnx+x>0+0+I=1滿足題意

故/的取值范圍為（一嗎-1]

…,…(x-l)e'+lnx-1

思路二：由(x-l)c+Inx-/x>1/<------------------------

x

rx2-x+l)e'-ln.t+2

,、(x-l)e+ln.r-lr

令f(x)=^——!----------------,F(x)=------------------------------>0

X

尸（X）在（1.+8）上.,.尸（x）＞尸（1）=-1

f4-I

高三數(shù)學(xué)參考答案（5-28）第10頁（共14頁）

數(shù)學(xué)II參考答案及評分標準

A.選修4—2：矩陣與變換

m-2

3+2〃

m-2=0m=2

n<

3+2〃=5n=1

2

(2)A=§

I

a=-

5

202b-d=0b=

，則有n5

334+c=03

-5

3〃+4=l

2

5

B.選修4T：坐標系與參數(shù)方程

解：直線,v=2x+l即2.v-p+l=0

即°=2sin8+2cos，n0'=2Psin"+2pcos"

x2+y2=2y+2x,即(x-lf+G-1)2=2

2

圓心到直線距離”=方

弦長=2,曰=凈

55

高三數(shù)學(xué)參考答案（5-28）第11頁（共14頁）

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或

演算步驟.

22.（本小題滿分10分）

解：（I）記此人在這連續(xù)五天的出行中，共選擇了三種共享單車為事件」

C；（C：C：Z；+C：C；C；）_12

P（A）=

25

（2）X可取I、2、3、4、5