廣西2024年1月高一數(shù)學(xué)期末考試試卷（含解析）

廣西2024年1月高一數(shù)學(xué)期末考試試卷

(考試范圍：北師大版必修一、必修二全冊)

一、選擇題(本題包括12小題，每小題只有一個選項符合題意，每小題5分，共60分)

1.已知集合II>,L,，則AD5=()

A.(1,+8)B.C.[-1,1]D.[-1,2]

【答案】B

【解析】

【分析】利用并集的定義，即可得答案；

【詳解】A=—l>0}=1},B={^|-1<2j,

A<JB={X|X>-1),

故選：B.

【點睛】本題考查并集的運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.函數(shù)/(x)='+lnx的定義域是()

x+1

A.[―1,+8)B.(―1,+8)C.[0,+e)D.

(。,+8)

【答案】D

【解析】

【分析】

分母不等于零，對數(shù)真數(shù)大于零聯(lián)解即可.

x+1^0

詳解】由題得〈c.??尤>0

%>0

所以函數(shù)的定義域為：(0,+8)

故選：D

3.圓(x+1)?+(y—2)2=4的圓心坐標和半徑分別為()

A.(-1,2),2B.(1,-2),2

C.(—1,2),4D.(1,-2),4

【答案】A

1

【解析】

【詳解】依據(jù)圓的標準方程可知，圓(X+1F+5—2)2=4的圓心坐標為(一1,2),半徑r=

2,選A.

4.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()

A.y=x+lB.y=2*C.y=-D.

X

y=x\x\

【答案】D

【解析】

【分析】對選項運用奇偶性和單調(diào)性的定義，結(jié)合常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，推斷即可得

到結(jié)論

【詳解】解：y=x+i定義域為尺，因為/(—x)w/(x),且/(—x)H—/(x),所以此函數(shù)

為非奇非偶函數(shù)；

y=2*的定義域為R,因為/(—x)w/(x),且所以此函數(shù)為非奇非偶函

數(shù)；

>=(的定義域為{RxWO},因為/?(-尤)=一/。)，所以y=(為奇函數(shù)，但y=(在(―8,0)

和(0,+co)上為減函數(shù)，所以此函數(shù)不符合題意；

y=x|x|的定義域為尺，因為/(-x)=-/(x),所以y=x|x|為奇函數(shù)，因為當x>0時，

y=必為增函數(shù)，則y=x|x|在R上遞增，符合題意，

故選：D

【點睛】此題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的推斷，屬于基礎(chǔ)題

5.己知直線4:依+2y=0與直線4：(a+l)x-y+。-1=0垂直，則。=()

-2

A.—2或1B.-2C.1D.——

3

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)直線方程的一般式，直線垂直：A4+5避2=0即可求解.

2

【詳解】由直線4：依+2、=0與直線4：(a+l)x—y+a—l=O垂直,

所以a(a+l)-2=0,

解得a=-2或1.

故選：A

【點睛】本題主要考查兩直線垂直依據(jù)系數(shù)之間的關(guān)系求參數(shù)，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

的圖象大致是。

【答案】C

【解析】

【分析】依據(jù)函數(shù)解析式得出函數(shù)的奇偶性和尤＞0時，函數(shù)的符號，運用解除法得選項.

一一xxlx

【詳解】："x)=之1上，xH0,/(-x)=e~-,e=-/(x)，,/(x)=e-:e-為奇函

數(shù)，故解除A,B；

當尤＞0時，/(x)=——＞0,故解除D,

x

故選：C.

【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手:

(1)從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢;

(3)從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對稱性；

(4)從函數(shù)的特征點，解除不合要求的圖象.

3

7.若直線2x+y+標=0被圓/+/=4截得的弦長為2百，則機=

A.75

【答案】B

【解析】

【分析】

圓的圓心坐標為(0,0),半徑廠=2,依據(jù)弦長得到華=1,計算得到答案.

【詳解】圓的圓心坐標為(0,0),半徑廠=2,直線被圓截得的弦長為26,

故選：B

【點睛】本題考查了依據(jù)弦長求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算實力.

8.已知圓。的圓心(2,-3),一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標軸上，則這個圓的方程

為

A.x2+y2-4x+6y=0B.x2+j2-4x+6y+8=0

C.%2+y2-4x-6_y=0D.x2+y2-4x+6y-8=0

【答案】A

【解析】

【詳解】設(shè)直徑的兩個端點分別A(a,0)B(0,b).圓心C為點(2,-3),

由中點坐標公式得，a=4,b=-6,

r=AB|=gJ16+36=A/13,

則此圓的方程是(x-2)2+(y+3)=13,

即x2+y2-4x+6y=0.

故選A.

L1

9.三個數(shù)a=0.8,Z>=log080.6,c=log070.6之間的大小關(guān)系是

a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

4

【答案】D

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性同時比較和1的大小，即可比較出它們的大小關(guān)

系.

詳解"Ogivl

11

b=log080,6=-~>c=log070.6=----------->--------=--1--

logos0.8logo.60-7logo.606

因此匕>c>a.

故選：D.

【點睛】本題主要考查的是對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要熟記一些特別點，是基礎(chǔ)題.

10.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是（）

4

A正B.也,D.

333

【答案】C

【解析】

【分析】

先依據(jù)三棱錐的三視圖得到直觀圖，再求其體積即可.

【詳解】依題意可知，該三棱錐的直觀圖如下:

5

p

24,平面ABC,B4=l,BC=2,3C邊上高為2,

故體積V=LSMC.PA=LX!X2X2X1=Z

3323

故選：C.

11.若圓(x—3)2+(y+5)2=/上有且僅有兩個點到直線4x-3y—2=0的距離為1,則半

徑『的取值范圍是()

A.[4,6)B.(4,6)C.[4,6]D.(4,6]

【答案】B

【解析】

【分析】

因為(％-3)2+(y+5)2=/，可得:其圓心為M(3,-5),M(3,_5)到4x-3y-2=0距離為:

2=5,設(shè)4%—3丫+。=0與直線4%—3丁一2=0距離是1,解得與直線4%—3丁一2=0距離

是1的直線有兩條：4%—3丁-7=0和4x—3y+3=0,探討兩條：4%—3丁一7=0和

4x—3y+3=0與圓的位置關(guān)系，即可求得答案.

【詳解】(x-3)2+(y+5)2=/

可得:其圓心為M(3,-5)

依據(jù)點到直線距離公式可得M(3,—5)至!]4x—3y—2=。距離為：

,U2+15-2I

a=———=5

V1/6+9

設(shè)4x—3y+C=0與直線4x—3y—2=0距離是1.

依據(jù)平行線間距_離公式可得：?i=L|Cr+=2|

J16+9

6

解得：C=—7或C=3

..?與直線4x—3y—2=0距離是1的直線有兩條：4無-3y—7=0和4x—3y+3=0

|12+15-7|3

又圓心M(3,—5)到4無一3y—7=0距離：J~.-----=4

V16+9

|12+15+3|/

圓心"(3,—5)至I]4x-3y+3=0距離：-~-----=6

06+9

假如圓與4x—3y+3=0相交,那么圓也確定與4%-3丁-7=0相交,交點個數(shù)多于兩個,

于是圓上點到4x-3y-2=0的距離等于1的點不止兩個.

圓與4x-3y+3=0不相交，

「假如圓與4九一3y-7=0的距離小于等于1,那么圓與4x—3y—7=0和4x—3y+3=0

交點個數(shù)和至多為1個，

圓只能與4x-3y-7=0相交，與4x-3y+3=0相離

4<r<6.

故選:B.

【點睛】本題考查了依據(jù)圓上點與直線的距離求圓的半徑范圍,解題關(guān)鍵駕馭求直線與圓位

置關(guān)系解法,數(shù)形結(jié)合,考查了分析實力和計算實力,屬于中檔題.

12.若〃x)=2+lnx(lWxWe2)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則函數(shù)y="(X)T+/(X2)

的最大值為()

A.6B.13C.22D.33

【答案】B

【解析】

【分析】

先依題意求函數(shù)定義域，再化簡函數(shù)，進行換元后求二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值即可.

【詳解】由l<x<e2及知故定義域為

又y=+/(爐)=(2+lnx)2+2+In%2=(lnx)-+61nx+6(l<x<e)

令t=lnxe[0,l],則y=r+6/+6,易見y在/上單調(diào)遞增，

7

故當/=1時，即X=e時，,max=1+6+6=13.

故選：B.

【點睛】易錯點睛：利用換元法求函數(shù)最值時，要留意函數(shù)的定義域，否則求得的易出錯.

二.填空題(本題包括4題，共20分.)

13.已知函數(shù)/(x+l)=f—1,則〃-2)=.

【答案】8

【解析】

【分析】依據(jù)換元法，令/=x+l得x—1,進而得/(x)=f—2x,再算了(—2)即可.

【詳解】解：令x+l=f,則尤=f—1,/(/)=?—Ip—1=產(chǎn)—2乙

所以/(%)=x2-lx.

所以，/(-2)=(-2)2-2X(-2)=8

故答案為:8.

14.直線區(qū)-丫-左+2=0經(jīng)過的定點坐標是.

【答案】(1,2)

【解析】

【分析】將直線方程化為點斜式方程推斷即可.

［詳解］解：將依一y—左+2=0化點斜式方程得,―2=左(1_1),

所以，直線依-丁-左+2=。經(jīng)過的定點坐標為(1,2)

故答案為：(1,2)

15.若函數(shù)/(幻=|2，-2/6有兩個零點，則實數(shù)6的取值范圍是.

【答案】0<Z?<2

【解析】

【詳解】函數(shù)=-2卜匕有兩個零點，

--』和；-">的圖象有兩個交點，

畫出：二卜和；=b的圖象，如圖，要有兩個交點，那么6:u21

8

16.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為

“陽馬”，現(xiàn)有一“陽馬”如圖所示，上平面A3CD,PA=4,AB=6AD=1,

則該“陽馬”外接球的表面積為.

【答案】204

【解析】

【分析】

以B4=4,AB=出,40=1為棱作長方體，長方體的對角線即為外接球的直徑，從而求

出外接球的半徑，進而求出外接球的表面積.

【詳解】由題意，以P4=4,AB=y/3,AO=1為棱作長方體，長方體的對角線即為外接

球的直徑，

設(shè)外接球的半徑為R,則R-3^+(6)+仔廠

-2-

故S=4兀改—20萬.

故答案為：20萬

【點睛】本題考查了多面體的外接球問題以及球的表面積公式，屬于中檔題.

三、解答題(本題包括6題，第17題10分，第18題至22題每小題12分，共70分)

9

17.分別求滿意下列條件的直線方程.

⑴過點(0,1),且平行于4：4x+2y—1=0的直線；

(2)與心x+y+l=0垂直，且過點尸(—1,0)的直線.

【答案】⑴2x+y-l=0

(2)%-y+1=0

【解析】

【分析】(1)依據(jù)兩條直線平行斜率相等，再結(jié)合點斜式方程求解即可；

(2)依據(jù)兩條直線垂直斜率乘積為T得所求直線斜率，再結(jié)合點斜式方程求解即可;

【小問1詳解】

解：所求直線行于乙，h4x+2y—1=。的斜率為—2

所求直線的斜率為-2,又過點為(0』)，

由點斜式可得直線方程為丁—1=—2(x—0),即2x+y—1=0；

所求直線方程為2x+y—l=0

【小問2詳解】

解：因為所求直線與〃垂直，4：x+y+l=0的斜率為一1,

所以，所求直線的斜率為1,

因為所求直線過點P(-1,0)

所以，所求直線方程為y—0=lx(x+l),即x—y+l=0

所以，所求直線方程為％-y+i=。.

18.已知函數(shù)/(x)=(a>0,且a=1)的圖象經(jīng)過點(2,；).

(1)求a的值；

(2)設(shè)不等式/(%)<3的解集為A,求函數(shù)，=/(無)(xeA)的值域.

【答案】⑴(2)(0,3].

【解析】

10

【分析】

(1)依據(jù)函數(shù)/(x)=a*T的圖象經(jīng)過點(2,g),由/二;求解.

(2)由f(x)=(；)'T<3=(；)T,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得X之0,再利用指數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性求解.

【詳解】(1)因為函數(shù)圖象過點(2,；),

所以a?！?，

3

解得ar—.

3

(2)f(x)=(g『T<3=(g)T,

所以x—12—1,

解得x>0,故A=[0,+oo),

因為x20,

所以

所以0〈(；)i<(g)T=3.

所以函數(shù)的值域為(0,3].

19.已知偶函數(shù)/(尤)，當x>0時，/(x)=x2-4x+3.

(1)請在下圖中做出了(X)的圖像，并寫出了(九)的解析式；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x+a)>8恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

,、(x2-4x+3(x>0)

【答案】⑴作圖見解析；/(%)=2〃[八:

x+4x+3(x<0)

(2)(-co,-3)0(2,+co)

11

【解析】

【分析】（i）依據(jù)題意，作出XNO的函數(shù)圖像，再關(guān)于y軸對稱即可，再依據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)

求解解析式即可；

（2）結(jié)合/（5）=8,依據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

解：/（X）如圖，

當xV0時，一%>0,

所以/(_X)=(f)2-4(-x)+3=x2+4x+3；

???/(尤)是偶函數(shù)，/(-x)=/(x),

所以當x<0時，/(%)=x2+4%+3.

x2-4x+3(x>0)

綜上〃力=<

x2+4x+3(x<0)

【小問2詳解】

解：由題設(shè)知/（5）=8,所以，/（2?+1）>8=/（5）,

又“X）是偶函數(shù),

所以2々+1>5或2a+lv—5,得〃>2或av—3.

所以，實數(shù)。的取值范圍為3）U（2,+8）

12

20.如圖所示的四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，PA，平面ABCD,E為PC的中點，求

證：

(1)PA〃平面BDE；

(2)平面PAC_L平面PBD.

【答案】詳見解析

【解析】

【詳解】試題分析：(1)連接4c交3。于。點，連接OE，依據(jù)線面平行的判定定理，證

PAOE即可；(2)依據(jù)面面垂直的判定定理，找線面垂直，所以主要證明

3DAC.3D_PA.

試題解析：證明：(1)連結(jié)AC交BD于點0,連結(jié)0E.

:四邊形ABCD是菱形，A0=C0.

：E為PC的中點，；.E0〃PA.

PAZ平面BDE,E0<Z平面BDE,

；.PA〃平面BDE.

(2)：PA_L平面ABCD,BDZ平面ABCD,.\PA±BD,

;四邊形ABCD是菱形，BD_LAC.

ACcR4=A,，BD，平面PAC,

：BD<X平面PBD,平面PACJ_平面PBD.

考點：1.線面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理

21.已知圓〃過C(l,-1),D{-1,1)兩點，且圓心〃在x+y-2=0上.

(1)求圓〃的方程；

13

(2)設(shè)戶是直線3x+4產(chǎn)8=0上的動點，PA,如是圓〃的兩條切線，A,6為切點，求四邊形

為如面積的最小值.

【答案】⑴(X-1)2+(J-1)2=4；(2)275.

【解析】

【分析】(1)設(shè)圓”的方程為：(x—a『+(y—匕丫=/(廠〉0),由已知列出方程組，解

之可得圓的方程；

(2)由已知得四邊形的面積為S=S.+SPBM，即有S=2|B4],又有

S=2、PMF-4.因此要求S的最小值,只需求歸河|的最小值即可，依據(jù)點到直線的距

離公式可求得答案.

【詳解】解：⑴設(shè)圓M的方程為：(x—a『+(y—6/=戶(廠＞0),

a-a)2+(-l-&)2=r2卜=1

依據(jù)題意得＜(T—a)2+(l-,

a+b-2=Qr=2

故所求圓〃方程為：(x—iy+(y—1)2=4；

(2)如圖，

四邊形上4MB的面積為S=SPAM+Spbm,即S=+忸

X|AM|=|BM|=2,|R4|=|PB|,所以S=2|四|,

而|PA|=4,即s=2,|PMT4

因此要求s的最小值，只需求|加|的最小值即可，

14

\PM\的最小值即為點M到直線3x+4y+8=0的距離

所以N,L,=」|3+4+8|=3,

四邊形HUffi面積的最小值為2