云南省昆明市2025屆高三數(shù)學(xué)“三診一模”模擬考試三模試題理含解析

PAGEPAGE26云南省昆明市2025屆高三數(shù)學(xué)“三診一?！蹦M考試（三模）試題理（含解析）留意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并仔細(xì)核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出的坐標(biāo)得答案．【詳解】解：，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由集合，求出集合，再依據(jù)交集的概念，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，所以，因?故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查求集合的交集，熟記交集的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.3.已知一家便利店從1月份至5月份的營(yíng)業(yè)收入與成本支出的折線(xiàn)圖如下：關(guān)于該便利店1月份至5月份的下列描述中，正確的是（）．A.各月的利潤(rùn)保持不變B.各月的利潤(rùn)隨營(yíng)業(yè)收入的增加而增加C.各月的利潤(rùn)隨成本支出的增加而增加D.各月的營(yíng)業(yè)收入與成本支出呈正相關(guān)關(guān)系【答案】D【解析】【分析】利用收入與支出（單位：萬(wàn)元）狀況的折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖干脆求解．【詳解】對(duì)于，通過(guò)計(jì)算可得1至5月的利潤(rùn)分別為0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由所得利潤(rùn)，可知利潤(rùn)并不隨收入增加而增加，故錯(cuò)誤；對(duì)于，同理可得錯(cuò)誤；對(duì)于，由折線(xiàn)圖可得支出越多，收入也越多，故而收入與支出呈正相關(guān)，故正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生合情推理的實(shí)力，考查折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．4.已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)上，該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)上可得的關(guān)系，再依據(jù)求解即可.【詳解】由題，點(diǎn)在直線(xiàn)上，即，故離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的離心率求解，須要依據(jù)題意確定的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率.屬于基礎(chǔ)題.5.已知點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合三角函數(shù)公式求解．【詳解】點(diǎn)，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間距離公式，以及三角函數(shù)公式，是基礎(chǔ)題．6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體的體積為（）A.216 B.108 C. D.36【答案】B【解析】【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進(jìn)一步求出三棱柱體的體積．【詳解】依據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀(guān)圖為：該幾何體為底面為等腰三角形，高為6的三棱柱體，如圖所示：所以：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問(wèn)要點(diǎn)：三視圖和直觀(guān)圖形之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力和轉(zhuǎn)換實(shí)力及思維實(shí)力．7.材料一：已知三角形三邊長(zhǎng)分別為，，，則三角形的面積為，其中．這個(gè)公式被稱(chēng)為海倫-秦九韶公式材料二：阿波羅尼奧斯（Apollonius）在《圓錐曲線(xiàn)論》中提出橢圓定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．依據(jù)材料一或材料二解答：已知中，，，則面積的最大值為（）A. B.3 C. D.6【答案】C【解析】【分析】依據(jù)材料二可得點(diǎn)的軌跡為橢圓，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橢圓短軸的頂點(diǎn)時(shí)，可得的面積取得最大值.【詳解】由材料二可得點(diǎn)的軌跡為橢圓，其焦距，長(zhǎng)軸，短軸當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橢圓短軸的頂點(diǎn)時(shí)，可得的面積取得最大值，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義及三角形面積的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解實(shí)力.8.已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后與的圖象重合，則的最小值為（）A.8 B.4 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，得到為函數(shù)周期的整數(shù)倍，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)單位后與的圖象重合，所以（其中為函數(shù)的最小正周期），即，所以，因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三角函數(shù)的周期求參數(shù)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型.9.如圖1，已知是直角梯形，∥，，在線(xiàn)段上，．將沿折起，使平面平面，連接，，設(shè)的中點(diǎn)為，如圖2．對(duì)于圖2，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.平面平面 B.平面C D.【答案】A【解析】【分析】利用線(xiàn)面垂直判定與性質(zhì)進(jìn)行證明平面,，證明是直角三角形可得.【詳解】由已知是直角梯形，∥，，得四邊形是矩形，所以∥,,，所以平面,又∥,平面,所以B正確平面平面,平面平面,平面，平面,所以C正確平面,又,平面,,是直角三角形，又的中點(diǎn)為所以，所以D正確.故選：A【點(diǎn)睛】求解翻折問(wèn)題的關(guān)鍵及留意事項(xiàng)：求解平面圖形翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清原有的性質(zhì)改變與否，即翻折(轉(zhuǎn))后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生改變，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生改變．應(yīng)留意：(1)點(diǎn)的改變，點(diǎn)與點(diǎn)的重合及點(diǎn)的位置改變；(2)線(xiàn)的改變，翻折(轉(zhuǎn))前后，若線(xiàn)始終在同一平面內(nèi)，則它們的位置關(guān)系不發(fā)生改變，若線(xiàn)與線(xiàn)由在一個(gè)平面內(nèi)轉(zhuǎn)變?yōu)椴辉谕粋€(gè)平面內(nèi)，應(yīng)留意其位置關(guān)系的改變；(3)長(zhǎng)度、角度等幾何度量的改變．10.已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓與軸相切于點(diǎn)，且滿(mǎn)意，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出圖形，依據(jù)題意推導(dǎo)出軸，結(jié)合，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程，可求得正數(shù)的值.【詳解】如下圖所示，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為點(diǎn)，由題意可知，圓與軸相切于點(diǎn)，則軸，又，為的中點(diǎn)，，軸，由于，則點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程得，即，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)方程中參數(shù)的求解，依據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.11.已知函數(shù)，是的唯一微小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)可得，再依據(jù)是的唯一微小值點(diǎn)可得恒成立，再依據(jù)恒成立問(wèn)題求解最小值分析即可.【詳解】求導(dǎo)有.設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.故若有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有一根，則此時(shí)有時(shí)；時(shí)，故為的微小值點(diǎn)，與題意不符.故恒成立，故，即，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)導(dǎo)數(shù)求解極值點(diǎn)的問(wèn)題，須要依據(jù)極值點(diǎn)滿(mǎn)意的關(guān)系分析得導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再求最值求解參數(shù)的范圍，屬于中檔題.12.中，，，有下述四個(gè)結(jié)論：①若為的重心，則②若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則為定值2③若，為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為④已知為內(nèi)一點(diǎn)，若，且，則的最大值為2其中全部正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，先得為等腰直角三角形；①取中點(diǎn)為，連接，得到，依據(jù)平面對(duì)量基本定理，即可得出結(jié)果；②先由①得到，由題意得到在上的投影為，進(jìn)而可求出向量數(shù)量積；③以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在直線(xiàn)為軸、軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意，設(shè)，且，不妨令，依據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求出結(jié)果；④同③建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，依據(jù)題意，得到，再設(shè)，由題意，得到，，用表示出，即可求出結(jié)果；【詳解】因?yàn)樵谥?，，；所以為等腰直角三角形；①如圖1，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈闹匦?，所以在上，且，所以，故①正確；②如圖1，同①，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為等腰直角三角形，所以，若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則在上的投影為，因此，故②錯(cuò)；③如圖2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在直線(xiàn)為軸、軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，易得，所在直線(xiàn)方程為：；因?yàn)?，為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)，，且，不妨令，因?yàn)?，所以，即，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；故③正確；④同③建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，又，所以，即因?yàn)闉閮?nèi)一點(diǎn)，且，設(shè)，則，且，，因此，因?yàn)?，所以，所以無(wú)最值，即無(wú)最值，故④錯(cuò).故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量基本定理的應(yīng)用，以及求平面對(duì)量的數(shù)量積等問(wèn)題，熟記平面對(duì)量基本定理，敏捷運(yùn)用建系的方法求解即可，屬于常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，則__________．【答案】10【解析】【分析】首先寫(xiě)出綻開(kāi)式的通項(xiàng)，即可求出含的項(xiàng)的系數(shù)；【詳解】解：因?yàn)?，的綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，則故故答案為：10【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.若“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，解出即可．【詳解】解：“”是真命題，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了特稱(chēng)命題的真假，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15.在中，，，，在線(xiàn)段上，若與的面積之比為，則__________．【答案】1【解析】【分析】由與的面積之比為，可得，進(jìn)而求得，在用余弦定理即可求得.【詳解】解：如圖，因?yàn)榕c的面積之比為，所以，又因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，所?故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題主要考查用余弦定理來(lái)解三角形，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和公式得駕馭程度，屬于基礎(chǔ)題.16.某校同時(shí)供應(yīng)、兩類(lèi)線(xiàn)上選修課程，類(lèi)選修課每次觀(guān)看線(xiàn)上直播分鐘，并完成課后作業(yè)分鐘，可獲得積分分；類(lèi)選修課每次觀(guān)看線(xiàn)上直播分鐘，并完成課后作業(yè)分鐘，可獲得積分分．每周開(kāi)設(shè)次，共開(kāi)設(shè)周，每次均為獨(dú)立內(nèi)容，每次只能選擇類(lèi)、類(lèi)課程中的一類(lèi)學(xué)習(xí)．當(dāng)選擇類(lèi)課程次，類(lèi)課程次時(shí)，可獲得總積分共_______分．假如規(guī)定學(xué)生觀(guān)看直播總時(shí)間不得少于分鐘，課后作業(yè)總時(shí)間不得少于分鐘，則通過(guò)線(xiàn)上選修課的學(xué)習(xí)，最多可以獲得總積分共________分．【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)題意可計(jì)算出當(dāng)選擇類(lèi)課程次，類(lèi)課程次時(shí)，可獲得的總積分；設(shè)學(xué)生選擇類(lèi)選修課次，類(lèi)選修課次，依據(jù)題意列出有關(guān)、的約束條件，可得出目標(biāo)函數(shù)為，利用線(xiàn)性規(guī)劃思想可求得的最大值，進(jìn)而得解.【詳解】依據(jù)題意，當(dāng)選擇類(lèi)課程次，類(lèi)課程次時(shí)，可獲得總積分分.設(shè)學(xué)生選擇類(lèi)選修課次，類(lèi)選修課次，則、所滿(mǎn)意的約束條件為，即，目標(biāo)函數(shù)為，如下圖所示：則可行域?yàn)閳D中陰影部分中的整數(shù)點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），聯(lián)立，解得，可得點(diǎn)，平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在軸上的截距最大，此時(shí)取最大值，即.因此，通過(guò)線(xiàn)上選修課的學(xué)習(xí)，最多可以獲得總積分共分.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題是解答的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）從三個(gè)條件：①；②；③中任選一個(gè)作為已知條件，求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)設(shè)數(shù)列的公比為，再依據(jù)題意利用基本量法求解即可.(2)選擇①可得，即可利用等比數(shù)列求和公式求解即可.選擇②可得，再依據(jù)等比與等差數(shù)列求和的公式求解即可.選擇③可得，再用等差數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，所以，故：，解得：或（舍去），故．由：，得：，將代入得：，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為：；（2）選擇①：，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，選擇②：，所以選擇③：，數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列．所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解，同時(shí)也考查了等差等比數(shù)列求和的公式，屬于基礎(chǔ)題.18.已知四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，為正三角形，是的中點(diǎn)，過(guò)的平面平行于平面，且平面與平面的交線(xiàn)為，與平面的交線(xiàn)為．（1）在圖中作出四邊形（不必說(shuō)出作法和理由）；（2）若，求平面與平面形成的銳二面角的余弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）四邊形MNOE即為所求，其中N為PD中點(diǎn)，O為AD中點(diǎn)，E為BC中點(diǎn)；（2）連結(jié)OP，推導(dǎo)出，，平面PAD，，從而平面ABCD，，，，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量能求出平面與平面PBC形成的銳二面角的余弦值.【詳解】（1）如圖，四邊形即為所求，其中為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)；（2）連接，依題意：，所以，則，又因?yàn)榍?，所以平面，則，因?yàn)闉檎切吻覟橹悬c(diǎn)，所以平面，則，，，以為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得．則，所以平面與平面形成的銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查空間思維實(shí)力，屬于中檔題.19.已知橢圓左焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交于，兩點(diǎn)，是線(xiàn)段與的公共點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）與的交點(diǎn)為，，且恰為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓的定義可求得，又，故，由此可得的方程；（2）依據(jù)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，得，由以及可得的坐標(biāo)，從而可得三角形的面積.【詳解】（1）如圖：由圓可得，因?yàn)?，所以，即，又，故，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，易知，因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，則，所以，又，解得，，若，則，直線(xiàn)的方程為，由，消去得，所以，所以，，即，所以的面積．若，同理可求得的面積．綜上，的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)橢圓的定義求橢圓方程，考查了圓的性質(zhì)，考查了兩個(gè)垂直向量的坐標(biāo)表示，考查了直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題.20.近年來(lái)，國(guó)家為了激勵(lì)高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，出臺(tái)了很多實(shí)惠政策，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè)．某高校畢業(yè)生小張自主創(chuàng)業(yè)從事蘋(píng)果的種植，并開(kāi)設(shè)網(wǎng)店進(jìn)行銷(xiāo)售．為了做好蘋(píng)果的品控，小張從自己果園的蘋(píng)果樹(shù)上，隨機(jī)摘取150個(gè)蘋(píng)果測(cè)重（單位：克），其重量分布在區(qū)間內(nèi)，依據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)得到如圖1所示的頻率分布直方圖．（1）以上述樣本數(shù)據(jù)中頻率作為概率，現(xiàn)一顧客從該果園購(gòu)買(mǎi)了30個(gè)蘋(píng)果，求這30個(gè)蘋(píng)果中重量在內(nèi)的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）小張的網(wǎng)店為了進(jìn)行蘋(píng)果的促銷(xiāo)，推出了“買(mǎi)蘋(píng)果，送福袋”的活動(dòng)，買(mǎi)家在線(xiàn)參與按圖行進(jìn)贏取福袋的嬉戲．該嬉戲的規(guī)則如下：買(mǎi)家點(diǎn)擊拋擲一枚特別的骰子，每次拋擲的結(jié)果為1或2，且這兩種結(jié)果的概率相同；從動(dòng)身格（第0格）起先，每擲一次，依據(jù)拋擲的結(jié)果，按如圖2所示的路徑向前行進(jìn)一次，若擲出1點(diǎn)，即從當(dāng)前位置向前行進(jìn)一格（從第格到第格，），若擲出2點(diǎn)，即從當(dāng)前位置向前行進(jìn)兩格（從第格到第格，），行進(jìn)至第3l格（獲得福袋）或第32格（感謝惠顧），嬉戲結(jié)束．設(shè)買(mǎi)家行進(jìn)至第格的概率為，．（?。┣?、，并寫(xiě)出用、表示的遞推式；（ⅱ）求，并說(shuō)明該高校生網(wǎng)店推出的此款嬉戲活動(dòng)，是更有利于賣(mài)家，還是更有利于買(mǎi)家．【答案】（1）8.4個(gè)；（2）（?。?．（ⅱ），更有利于買(mǎi)家．【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖可求出蘋(píng)果的重量在內(nèi)的頻率，再依據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可得結(jié)果；（2）（?。┯僧?dāng)前格在第0格，且第一次拋擲骰子，結(jié)果為1，可求得；由當(dāng)前格在第0格，第一次拋擲骰子，結(jié)果為2，和當(dāng)前格在第1格，其次次拋擲骰子，結(jié)果為1，這兩個(gè)互斥事務(wù)的和事務(wù)的概率公式可求得；分兩種狀況可求得：①當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為2，②當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為1，（ii）依據(jù)（?。┑倪f推關(guān)系可求得，由此可得，依據(jù)可求得，再比較大小可得答案.【詳解】（1）由圖可知，蘋(píng)果的重量在內(nèi)的頻率為：．一顧客從該果園購(gòu)買(mǎi)的30個(gè)蘋(píng)果中重量在內(nèi)的個(gè)數(shù)為，則，所以（個(gè)）．（2）（i）買(mǎi)家要行進(jìn)至第1格的狀況只有一種：買(mǎi)家第一次拋擲骰子，結(jié)果為1，行進(jìn)至第一格，其概率為，則；買(mǎi)家要行進(jìn)至第2格的狀況有以下兩種：①當(dāng)前格在第0格，第一次拋擲骰子，結(jié)果為2，行進(jìn)至第2格，其概率為；②當(dāng)前格在第1格，其次次拋擲骰子，結(jié)果為1，行進(jìn)至第2格，其概率為；所以．買(mǎi)家要行進(jìn)至第格的狀況有以下兩種：①當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為2，行進(jìn)至第格，其概率為；②當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為1，行進(jìn)至第格，其概率為；所以．（ii）由（i）得，，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以，所以，即．所以買(mǎi)家行進(jìn)至第31格（獲得福袋）的概率為；又買(mǎi)家行進(jìn)至第32格（感謝惠顧）的概率為，由于，所以買(mǎi)家行進(jìn)至第31格的概率大于行進(jìn)至第32格的概率，即小張網(wǎng)店推岀的此款嬉戲活動(dòng)是更有利于買(mǎi)家．【點(diǎn)睛】本題考查了由頻率分布直方圖求頻率，考查了二項(xiàng)分布的期望公式，考查了由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)，屬于中檔題.21.已知，，．（1）若，證明：；（2）對(duì)隨意，都有，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）2【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用二次求導(dǎo)可證明結(jié)論成立；（2）利用時(shí)，不等式成立以及（1）結(jié)論，可得，從而只需證明在區(qū)間恒成馬上可．再依據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立.利用導(dǎo)數(shù)即可證明，由此可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)?，且，則在單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以存在唯一零點(diǎn)，使得，所以時(shí)，，時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，即．所以．（2）因?yàn)閷?duì)隨意的，不等式，即恒成立，令，則，由（1）知，所以，由于為滿(mǎn)意的整數(shù)，則，因此．下面證明在區(qū)間恒成馬上可．由（1）知，則，故，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立．綜上所述，的最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立，考查了利用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問(wèn)題，考查了零點(diǎn)存在性定理，多次構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，利用放縮法進(jìn)行轉(zhuǎn)化是