2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元雙優(yōu)測(cè)評(píng)卷-第八單元立體幾何初步A卷含解析

PAGEPAGE1第八單元立體幾何初步A卷基礎(chǔ)過(guò)關(guān)必刷卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．關(guān)于直線、與平面、，有以下四個(gè)命題：①若，且，則；②若，且，則；③若，且，則；④若，且，則.其中真命題的序號(hào)是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②③2．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中的半圓的直徑為，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)在球O的表面上，平面，若與平面所成角的正弦值為，則球O表面上的動(dòng)點(diǎn)P到平面距離的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．54．菱形中，，，將沿折起，C點(diǎn)變?yōu)镋點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，四面體的外接球的面積為（）A． B． C． D．5．如圖，已知等邊與等邊所在平面成銳二面角，E，F(xiàn)分別為，中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．棱長(zhǎng)為的正方體密閉容器內(nèi)有一個(gè)半徑為的小球，小球可在正方體容器內(nèi)隨意運(yùn)動(dòng)，則其不能到達(dá)的空間的體積為（）A． B． C． D．7．如圖，一個(gè)四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好過(guò)的中點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為（）A．2 B． C．3 D．8．某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒．現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為的正六棱柱無(wú)蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)．則（）A．直線D1D與直線AF垂直 B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等10．沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形態(tài)完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，起先時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所須要的時(shí)問(wèn)稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的(細(xì)管長(zhǎng)度忽視不計(jì)).假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論正確的是（）A．沙漏中的細(xì)沙體積為B．沙漏的體積是C．細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cmD．該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1565秒11．如圖，圓柱的軸截面是四邊形，E是底面圓周上異于的一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C．平面 D．平面平面12．如圖,在棱長(zhǎng)均相等的四棱錐中,為底面正方形的中心,,分別為側(cè)棱,的中點(diǎn),有下列結(jié)論正確的有：A．∥平面 B．平面∥平面C．直線與直線所成角的大小為 D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知球的半徑為點(diǎn)均在球面上，若為等邊三角形，且其面積為則三棱錐的最大體積是___________.14．早期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派學(xué)者留意到：用等邊三角形或正方形為表面可構(gòu)成四種規(guī)則的立體圖形，即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個(gè)面和多面角都全等．如圖，正二十面體是由20個(gè)等邊三角形組成的正多面體，共有12個(gè)頂點(diǎn)，30條棱，20個(gè)面，是五個(gè)柏拉圖多面體之一．假如把按計(jì)算，則該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于___________．15．如圖，過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，所得截面圓的面積與球的表面積之比為_(kāi)_______．16．從正方體ABCD－A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)中隨意取4個(gè)不同的頂點(diǎn)，這4個(gè)頂點(diǎn)可能是：（1）矩形的4個(gè)頂點(diǎn)；（2）每個(gè)面都是等邊三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；（3）每個(gè)面都是直角三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；（4）有三個(gè)面是等腰直角三角形，有一個(gè)面是等邊三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．如圖，在Rt△AOB中，AO＝OB＝2，△AOC通過(guò)△AOB以O(shè)A為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到（∠BOC＝120°）．點(diǎn)D為斜邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)M為線段BC上一點(diǎn)，且CM＝OM．（1）證明：平面；（2）當(dāng)D為線段AB中點(diǎn)時(shí)，求多面體OACMD的體積．18．如圖：直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F(xiàn)分別為邊AD和BC上的點(diǎn)，且EFAB，AD=2AE=2AB=4FC=4，將四邊形EFCD沿EF折起成如圖的位置，使AD=AE.（1）求證：BC平面DAE；（2）求四棱錐D﹣AEFB的體積；（3）求面CBD與面DAE所成銳二面角的余弦值.19．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，說(shuō)明理由．20．如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，，，（1）若為中點(diǎn)，證明：面（2）若點(diǎn)在面上投影在線段上，，證明：面.21．如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，試問(wèn)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．已知圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖為半圓，母線長(zhǎng)為.（1）求圓錐的底面積；（2）在該圓錐內(nèi)按如圖所示放置一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求圓柱的體積一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．關(guān)于直線、與平面、，有以下四個(gè)命題：①若，且，則；②若，且，則；③若，且，則；④若，且，則.其中真命題的序號(hào)是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】D【解析】對(duì)于①，若，且，則與平行、相交或異面，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，如下圖所示：設(shè)，因?yàn)椋谄矫鎯?nèi)作直線，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，，，，，，因此，，②正確；對(duì)于③，若，，則，因?yàn)?，過(guò)直線作平面使得，由線面平行的性質(zhì)定理可得，，，則，因此，③正確；對(duì)于④，若，且，則與平行、相交或異面，④錯(cuò)誤.故選：D.2．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中的半圓的直徑為，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】這個(gè)幾何體是由一個(gè)底面半徑為且高為1的半圓柱，和一個(gè)半徑為的半球的前半部分組成，所以它的下底面為半圓，面積為，后表面為一個(gè)矩形加半圓，面積為，前表面為半個(gè)圓柱側(cè)面加個(gè)球面，面積為，所以其表面積為，故選：A.3．已知點(diǎn)在球O的表面上，平面，若與平面所成角的正弦值為，則球O表面上的動(dòng)點(diǎn)P到平面距離的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】如圖，因?yàn)槠矫妫?，所以為球的直徑由得作，則即為與平面所成角所以，得設(shè)由等面積法得，解得所以，即，又平面過(guò)球心，所以P到平面距離即為半徑的長(zhǎng)所以P到平面距離的最大值為3.故選：B.4．菱形中，，，將沿折起，C點(diǎn)變?yōu)镋點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，四面體的外接球的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，三棱錐的底面的面積為定值，當(dāng)平面平面時(shí)，此時(shí)點(diǎn)究竟面的距離最大，此時(shí)三棱錐的體積取得最大值，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，連接交與點(diǎn)，可得，所以為的外心，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，可得上點(diǎn)到三點(diǎn)的距離相等，設(shè)存在點(diǎn)點(diǎn)，使得，即點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，設(shè)，可得，即，解得，所以外接球的半徑為，所以外接球的表面積為.故選：A.5．如圖，已知等邊與等邊所在平面成銳二面角，E，F(xiàn)分別為，中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，，等邊與等邊所在平面成銳二面角，可得，設(shè)等邊與等邊的邊長(zhǎng)為，則，即為等邊三角形，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為，中點(diǎn)，所以，異面直線與所成角即為所成的角，在中，.故選：C6．棱長(zhǎng)為的正方體密閉容器內(nèi)有一個(gè)半徑為的小球，小球可在正方體容器內(nèi)隨意運(yùn)動(dòng)，則其不能到達(dá)的空間的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得小球在八個(gè)角不能到達(dá)的空間相當(dāng)于邊長(zhǎng)為2的正方體中間挖掉一個(gè)半徑為1的球的剩余部分，其體積為，小球在12條邊活動(dòng)不到的空間相當(dāng)于高為2，底面積為4的正四棱柱中間挖掉底面積為，高為2的圓柱剩下的部分，且有3個(gè)，則其體積為，則小球不能到達(dá)的空間的體積為.故選：A.7．如圖，一個(gè)四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好過(guò)的中點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】設(shè)四棱柱的底面梯形的高為，的中點(diǎn)分別為，所求的水面高為h，則水的體積，所以，故選：B．8．某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒．現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為的正六棱柱無(wú)蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖：由正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，按虛線處折成高為的正六棱柱，即，所以可得正六棱柱底邊邊長(zhǎng)，所以正六棱柱體積：.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)．則（）A．直線D1D與直線AF垂直 B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等【答案】BC【解析】依據(jù)題意，假設(shè)直線D1D與直線AF垂直，又,平面AEF，所以平面AEF,所以,又,所以,與沖突，所以直線D1D與直線AF不垂直，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)锳1G∥D1F，A1G?平面AEFD1，平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故選項(xiàng)B正確．平面AEF截正方體所得截面為等腰梯形AEFD1，由題得該等腰梯形的上底下底,腰長(zhǎng)為，所以梯形面積為，故選項(xiàng)C正確；假設(shè)與到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過(guò)的中點(diǎn)，連接交于，而不是中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC．10．沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形態(tài)完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，起先時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所須要的時(shí)問(wèn)稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的(細(xì)管長(zhǎng)度忽視不計(jì)).假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論正確的是（）A．沙漏中的細(xì)沙體積為B．沙漏的體積是C．細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cmD．該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1565秒【答案】AC【解析】A.依據(jù)圓錐的截面圖可知：細(xì)沙在上部時(shí)，細(xì)沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細(xì)沙的高與圓錐的高之比，所以細(xì)沙的底面半徑，所以體積B.沙漏的體積；C.設(shè)細(xì)沙流入下部后的高度為，依據(jù)細(xì)沙體積不變可知：，所以；D.因?yàn)榧?xì)沙的體積為，沙漏每秒鐘漏下的沙，所以一個(gè)沙時(shí)為：秒.故選：AC.11．如圖，圓柱的軸截面是四邊形，E是底面圓周上異于的一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C．平面 D．平面平面【答案】ABD【解析】由是底面圓的直徑，得，即，∵圓柱的軸截面是四邊形，底面，，又，，平面，平面，，故A正確；同理可得，，故B正確；若平面，則,，,在中，不成立，平面不正確，故C不成立，由A的證明可知平面，平面，所以平面平面.可得正確.故選：.12．如圖,在棱長(zhǎng)均相等的四棱錐中,為底面正方形的中心,,分別為側(cè)棱,的中點(diǎn),有下列結(jié)論正確的有：A．∥平面 B．平面∥平面C．直線與直線所成角的大小為 D．【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A,連接BD，明顯O為BD的中點(diǎn)，又N為PB的中點(diǎn)，所以∥ON,由線面平行的判定定理可得，∥平面；選項(xiàng)B,由,分別為側(cè)棱,的中點(diǎn),得MN∥AB,又底面為正方形，所以MN∥CD，由線面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又選項(xiàng)A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；選項(xiàng)C,因?yàn)镸N∥CD，所以∠PDC為直線與直線所成的角，又因?yàn)槿坷忾L(zhǎng)都相等，所以∠PDC=，故直線與直線所成角的大小為；選項(xiàng)D，因底面為正方形，所以,又全部棱長(zhǎng)都相等，所以,故,又∥ON，所以，故ABD均正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知球的半徑為點(diǎn)均在球面上，若為等邊三角形，且其面積為則三棱錐的最大體積是___________.【答案】14．早期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派學(xué)者留意到：用等邊三角形或正方形為表面可構(gòu)成四種規(guī)則的立體圖形，即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個(gè)面和多面角都全等．如圖，正二十面體是由20個(gè)等邊三角形組成的正多面體，共有12個(gè)頂點(diǎn)，30條棱，20個(gè)面，是五個(gè)柏拉圖多面體之一．假如把按計(jì)算，則該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于___________．【答案】【解析】由圖知正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，設(shè)外接球半徑為R，正五邊形的外接圓半徑為r，正二十面體的棱長(zhǎng)為，則，得，所以正五棱錐的頂點(diǎn)究竟面的距離是，所以，即，解得．所以該正二十面體的外接球表面積為，而該正二十面體的表面積是，所以該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于．故答案為：.15．如圖，過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，所得截面圓的面積與球的表面積之比為_(kāi)_______．【答案】【解析】截面圓半徑為，球半徑為，則由題意得，所以截面圓面積與球表面積比為．故答案為：．16．從正方體ABCD－A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)中隨意取4個(gè)不同的頂點(diǎn)，這4個(gè)頂點(diǎn)可能是：（1）矩形的4個(gè)頂點(diǎn)；（2）每個(gè)面都是等邊三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；（3）每個(gè)面都是直角三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；（4）有三個(gè)面是等腰直角三角形，有一個(gè)面是等邊三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【答案】4【解析】（1）如圖所示：四邊形ABCD為矩形，故（1）滿意條件；（2）四面體D－A1BC1為每個(gè)面均為等邊三角形的四面體，故（2）滿意條件；（3）四面體D－B1C1D1為每個(gè)面都是直角三角形的四面體，故（3）滿意條件；（4）四面體C－B1C1D1為有三個(gè)面是等腰直角三角形，有一個(gè)面是等邊三角形的四面體，故（4）滿意條件；故正確的結(jié)論有4個(gè)．故答案為：4．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．如圖，在Rt△AOB中，AO＝OB＝2，△AOC通過(guò)△AOB以O(shè)A為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到（∠BOC＝120°）．點(diǎn)D為斜邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)M為線段BC上一點(diǎn)，且CM＝OM．（1）證明：平面；（2）當(dāng)D為線段AB中點(diǎn)時(shí)，求多面體OACMD的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明：在△OBC中，由題意可得OB＝OC，∠OCB＝30°，∵CM＝OM，∴∠COM＝∠OCM＝30°，又∵∠BOC＝120°，∴，依據(jù)題意，OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴平面，而OM?平面OBC，∴，又OA∩OB＝O，∴OM⊥平面AOB；（2）解：由（1）得，，∵為線段的中點(diǎn)，∴,．∴多面體的體積為：．18．如圖：直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F(xiàn)分別為邊AD和BC上的點(diǎn)，且EFAB，AD=2AE=2AB=4FC=4，將四邊形EFCD沿EF折起成如圖的位置，使AD=AE.（1）求證：BC平面DAE；（2）求四棱錐D﹣AEFB的體積；（3）求面CBD與面DAE所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】（1）證明：∵直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F(xiàn)分別為邊AD和BC上的點(diǎn)，且EFAB，∴CFDE，CF?面CBF，DE面CBF，則DE面CBF；FBAE，F(xiàn)B?面CBF，AE面CBF，則AE面CBF；又∵AE∩DE=E，DE?AE?面DAE∴面CBF面DAE又BC?面CBF，所以BC平面DAE（2）取AE的中點(diǎn)H，連接DH∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E∴EF⊥平面DAE又DH?平面DAE，∴EF⊥DH∴AE=ED=DA=2，∴DH⊥AE，DH=，又AE∩EF=E∴DH⊥面AEFB…所以四棱錐D﹣AEFB的體積（3）如圖以AE中點(diǎn)為原點(diǎn)，AE為x軸建立空間直角坐標(biāo)系則A(﹣1，0，0)，D(0，0，)，B(﹣1，﹣2，0)，E(1，0，0)，F(xiàn)(1，﹣2，0)因?yàn)椋訡(，﹣2，)易知是平面ADE的一個(gè)法向量，==(0，2，0)設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為=(x，y，z)由令x=2，則y=2，z=﹣2，∴=(2，2，﹣2)，∴cos<，>=所以面CBD與面DAE所成銳二面角的余弦值為19．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，理由見(jiàn)解析．【解析】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，平面，∴，∵為直徑，∴，，平面，∴平面，平面，∴平面平面；（2）存在．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：連，，，∵為正方形，∴