2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)大題（五大題型）學(xué)生版

二次看裁蟠倒也鳥哪質(zhì)火疆Cl火盤JP

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一.二次函數(shù)的性廉

二次函數(shù)y=ax2-\-bx+c（a#0）的頂點坐標(biāo)是（-g，——），對稱軸直線x=--^-，二次函數(shù)y=ax2-\-bx

2a4Q2a

+C（Qw0）的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)a>0時，拋物線y—ax2+bx+C（QWO）的開口向上，時，g隨i的增大而減小；x時，y

2a2a

隨力的增大而增大；力=-擊時，g取得最小值當(dāng)券,即頂點是拋物線的最低點.

②當(dāng)aV0時，拋物線y—ax2+bx+C（QWO）的開口向下，x<—^—時，g隨力的增大而增大；時，y

2a2a

隨，的增大而減??；，="時，y取得最大值4aL,即頂點是拋物線的最高點.

2a4a

③拋物線y=ax2+bx+c（a半0）的圖象可由拋物線y=ax2的圖象向右或向左平移|個單位，再向上或

2a

向下平移|4力-七個單位得到的.

4a

題型二.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)夕=ax~+bx+c（a豐0）

①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.

當(dāng)a>0時,拋物線向上開口；當(dāng)a<0時,拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，㈤越大開口就越小.

②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置.

當(dāng)a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在g軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號時（即abV0）,對稱軸在y軸右側(cè).（簡稱:左同

右異）

③.常數(shù)項c決定拋物線與?/軸交點.拋物線與"軸交于（0,c）.

④拋物線與c軸交點個數(shù).

△="―4ac>0時，拋物線與￡軸有2個交點；△=b2-4ac=0時,拋物線與立軸有1個交點；△=b2-4ac<0

時，拋物線與，軸沒有交點.

題型三.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

⑴二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：

①一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）；②頂點式：夕=a（x—h）2+k（a,h,k是常數(shù)，a片。），

其中仇，％）為頂點坐標(biāo)；③交點式：y=a（x—（x—X2）（a,b,c是常數(shù)，a#0）；

（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.

在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式,從而代入數(shù)值

求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時,常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物

線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解;當(dāng)已知拋物線與，軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式

為交點式來求解.

題型四.拋物線與多軸的交點?M

2

求二次函數(shù)Vnaa？+bz+c（o,b,c是常數(shù)，aW0）與2軸的交點坐標(biāo)，令沙=0,即ax+bx+c=0,解關(guān)于c的

一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo).

（1）二次函數(shù)夕=aar+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a片0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關(guān)系.

△=b2-4ac決定拋物線與刀軸的交點個數(shù).

△=62-4ac＞0時,拋物線與土軸有2個交點；

△=b2-4ac=0時，拋物線與土軸有1個交點；

△=b2-4acV0時，拋物線與t軸沒有交點.

（2）二次函數(shù)的交點式：g=aQ—的）（①一3）（a，b，c是常數(shù)，a20）,可直接得到拋物線與，軸的交點坐標(biāo)

（如o）,（，2,o）.

典型五.二次函數(shù)綜合JS

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號,然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號,

再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項.

（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問

題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條

件.

（3）二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題

從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二

次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義.

壓軸題預(yù)測

題型一.二次函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）

題目（2024?石景山區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4判，y）,B（x2,紡）是拋物線夕=—

豐0）上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為直線x=h.

（1）若拋物線經(jīng)過點（2,0）,求八的值；

（2）若對于2尸/i—1,x2=2九,都有%＞統(tǒng),求九的取值范圍；

（3）若對于h—2《電《拉+1,—1,存在仍〈紡，直接寫出力的取值范圍.

題目叵〕（2024-鹿城區(qū)校級一模）已知二次函數(shù)y=-^+2tx+3.

（1）若它的圖象經(jīng)過點（1,3）,求該函數(shù)的對稱軸.

（2）若0WcW4時，沙的最小值為1,求出t的值.

（3）如果—2,n）,C（m,n）兩點都在這個二次函數(shù)的圖象上，直線y=2mx+a與該二次函數(shù)交于M

（0，協(xié)），NM，紡）兩點，則g+g是否為定值？若是，請求出該定值;若不是，請說明理由.

題目包（2024.拱墅區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2-（a+2），+2經(jīng)過點A（-2,t）,

⑴若力=0,

①求此拋物線的對稱軸；

②當(dāng)時，直接寫出力的取值范圍；

⑵若力＜0,點C（n,q）在該拋物線上，7n＜九且5m+5n＜—13,請比較p,q的大小，并說明理由.

題型二.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共8小題）

^■4J（2023-南京）已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+3（a為常數(shù),a#0）.

（1）若a<0,求證:該函數(shù)的圖象與,軸有兩個公共點.

（2）若a=—1,求證：當(dāng)一IV力V0時，g>0.

（3）若該函數(shù)的圖象與力軸有兩個公共點（g,0）,（劣2,0），且一1VgVc2V4,則a的取值范圍是—a>3

或a<—1__.

題目可（2024-南京模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（1,%）,（3,紡）在拋物線+上.

（1）求拋物線的頂點（小,0）;

（2）若依V例,求館的取值范圍；

（3）若點（&,%）在拋物線上,若存在—1V&V。,使幼<為〈統(tǒng)成立，求Tn的取值范圍.

題目⑹（2024-北京一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點（—2a,3）.

（1）求該拋物線的對稱軸（用含有a的代數(shù)式表示）；

（2）點M（t—2,m）,N（t+2,n）,為該拋物線上的三個點,若存在實數(shù)t，使得m>n>p,求a的取

值范圍.

題目可（2024?張家口一模）某課外小組利用幾何畫板來研究二次函數(shù)的圖象，給出二次函數(shù)解析式沙=/

+bx+c,通過輸入不同的b,c的值,在幾何畫板的展示區(qū)內(nèi)得到對應(yīng)的圖象.

（1）若輸入6=2,c=—3,得到如圖①所示的圖象，求頂點。的坐標(biāo)及拋物線與立軸的交點A,B的坐標(biāo)；

（2）已知點P（—1,10）,Q（4,0）.

①若輸入6,c的值后，得到如圖②的圖象恰好經(jīng)過P,Q兩點，求出b,c的值；

②淇淇輸入b,嘉嘉輸入c=—1,若得到二次函數(shù)的圖象與線段PQ有公共點,求淇淇輸入b的取值范圍.

題目回（2024-浙江模擬）設(shè)二次函數(shù)y=ax2-4：ax+c（a,c均為常數(shù)，a片0）,已知函數(shù)值沙和自變量劣的

部分對應(yīng)取值如下表所示：

X-i025

ym3Pn

（1）判斷小，n的大小關(guān)系，并說明理由；

⑵若3m—2九=8,求p的值；

（3）若在TH,九，p這三個數(shù)中，只有一個數(shù)是負(fù)數(shù)，求a的取值范圍.

題目可（2024?北京模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線片力斗（2m—6）x+1經(jīng)過點（―（m,^2

）,（m+2,?/3）-

（1）若y1=7/3，求拋物線的對稱軸；

（2）若仍<V3V陰，求山的取值范圍.

2

題目10j（2024*浙江模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax-\-bx+C（Q,b,c為常數(shù)，且a#0）經(jīng)過

4—2,—4）和氏3,1）兩點.

（1）求b和C的值（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）若該拋物線開口向下,且經(jīng)過C（2m-3,n）,L>（7-2m,n）兩點，當(dāng)k—3V，V%+3時，9隨re的增大

而減小，求％的取值范圍；

（3）已知點M（-6,5）,N⑵5），若該拋物線與線段上W恰有一個公共點時,結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

題目①（2024-海淀區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（0,3）,（6,%）在拋物線y=ax2+bx+c（a豐

0）上.

（1）當(dāng)"=3時,求拋物線的對稱軸；

（2）若拋物線y=ax2+bx+c（aA0）經(jīng)過點（―1,—1）,當(dāng)自變量x的值滿足—時，"隨劣的增大而

增大，求a的取值范圍；

（3）當(dāng)a>0時，點（m—4,紡），（m,%）在拋物線沙=+c上.若切V%Vc,請直接寫出m的取值范

圍.

題型三.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共3小題）

「題目E（2024-保山一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c過A（-2,0）,B（3,0）,C（O,6）三點；點P是第一象限

內(nèi)拋物線上的動點，點P的橫坐標(biāo)是小，且］VMV3.

（1）試求拋物線的表達式；

（2）過點P作PNJ_c軸并交BC于點N,作，沙軸并交拋物線的對稱軸于點、M,若PM=皆PN,求m

［題目QJ］（2024?東營區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-2x+8與拋物線y^-x2+bx

+c交于A,B兩點，點B在2軸上，點A在g軸上.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）點。是直線AB上方拋物線上一點，過點。分別作c軸，沙軸的平行線,交直線AB于點當(dāng)DE

=融以時，求點。的坐標(biāo).

O

:題目叵｝（2024?南關(guān)區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)v=/+fcc+c的圖象經(jīng)過點A（0,—3）,B（3,0）.點P在拋

物線y—x2+bx+c上，其橫坐標(biāo)為m.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)一2<①V3時，求:y的取值范圍；

（3）當(dāng)拋物線y=x2+bx+c上P、力兩點之間部分的最大值與最小值的差為，時，求m的值；

（4）點”在拋物線y=x2+bx+c上,其橫坐標(biāo)為1—m.過點P作PQ，夕軸于點Q,過點河作￡

軸于點N,分別連結(jié)PM,PN,QM,當(dāng)APQM與APNM"的面積相等時，直接寫出力的值.

題型四.拋物線與多軸的交點（共14小題）

［題目13（2024?秦淮區(qū)校級模擬）已知函數(shù)9=館/—（小一2）2—2（機為常數(shù)）.

（1）求證:不論小為何值，該函數(shù)的圖象與土軸總有公共點.

（2）不論M為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點坐標(biāo)是_（120）（CL-2）_.

（3）在—24cW2的范圍中，?/的最大值是2，直接寫出小的值.

題目仄（2024-柳州模拂如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)9=x2+bx+c的圖象與立軸交于4B兩

點、，B點、的坐標(biāo)為（3,0）,與y軸交于點C（0,-3）,點D為拋物線的頂點.

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

題目17）（2024"安陽模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線g=aa?+brr+c與拋物線？/=—3?+工—

1的形狀相同，且與多軸交于點（—1,0）和（4,0）.直線y=+2分別與rc軸、夕軸交于點A,_B,交拋物線沙

=ax2+bx+c于點。，。（點。在點D的左側(cè)）.

（1）求拋物線的解析式；

(2)點P是直線y=kx+2上方拋物線上的任意一點，當(dāng)％=2時，求^PCD面積的最大值；

(3)若拋物線y=ax2+bx+c與線段AB有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象請直接寫出k的取值范圍.

22

題目18](2024"西湖區(qū)校級模擬)已知yi=ax+(a+b)x+b和y2—bx+(a+b)x+a(aRb且abA0)是同

一直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線.

⑴當(dāng)a=1,6=—3時，求拋物線%=ax2+(a+b)x+b的頂點坐標(biāo)：

(2)判斷這兩條拋物線與，軸的交點的總個數(shù)，并說明理由；

(3)如果對于拋物線明=ax2+(a+b)x+b上的任意一點P(m,n)均有n<2a+2b.當(dāng)y60時，求自變量

x的取值范圍.

題目回(2024-三元區(qū)一模)拋物線y=ax2+bx+3與多軸相交于點4(1,0),5(3,0),與y軸正半軸相交于

點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點”(0，統(tǒng))，N(g，y2)是拋物線上不同的兩點.

①當(dāng)0，22滿足什么數(shù)量關(guān)系時，m=為；

②若Xi+x2-2(X1—X2)，求效—紡的最小值.

題目叵(2024-黃山一模)已知拋物線y=ax2+bx+c(aW0)與c軸交于A(-l,0),B(4,0)兩點,經(jīng)過點D(

—2,—3),與沙軸交于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若點M是X軸上位于點A與點B之間的一個動點(含點4與點B),過點M作立軸的垂線分別交拋物線

和直線BC于點E、點F.求線段EF的最大值.

題目叵](2024?碑林區(qū)校級模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-^-x2+bx+c的圖象與工軸交于A、

B兩點，4(—2,0),與y軸交于點。(0,2),點P是拋物線上y軸左側(cè)的一個動點.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)若點P關(guān)于直線BC的對稱點P恰好落在y軸上，求點P的坐標(biāo).

^^y22j(2024?江西模擬)已知關(guān)于x的二次函數(shù)9=/—(k+4)a?+3fc.

⑴求證:無論k為何值，該函數(shù)的圖象與①軸總有兩個交點；

（2）若二次函數(shù)的頂點P的坐標(biāo)為,求沙與，之間的函數(shù)關(guān)系及y的最大值.

題目可（2024-峰峰礦區(qū)校級二模）如圖，已知拋物線L-.y=-x（x—3）+n與，軸交于4B兩點（點A在

點B的左側(cè)），與沙軸交于點M.

（1）若該拋物線過點（1,6）；

①求該拋物線的表達式，并求出此時4B兩點的坐標(biāo)；

②將該拋物線進行平移,平移后的拋物線對應(yīng)的函數(shù)為y=—-3）+6,A點的對應(yīng)點為求平移后頂

點坐標(biāo)和線段A4的長；

（2）點朋■關(guān)于L-.y=—-3）+n的對稱軸的對稱點的坐標(biāo)為—⑶九）_（用含九的代數(shù)式表示）.

建目丸（2024-安徽模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點,拋物線y=ax2+bx-3與。軸分別交于

點4—1,0）,式3,0）,與9軸交于點C.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖，點O、F分別是拋物線上第四象限、第二象限上的點,其中點F的橫坐標(biāo)為t,連接BF交y軸于點

連接設(shè)ACDE的面積為s,且4s+9t=0,求點。的坐標(biāo).

題目亙（2024?宜昌模擬）如圖，函數(shù)y=52+6的圖象與，軸交于點（點A在點B的左邊），與沙軸

交于點C.

（1）已知一次函數(shù)的圖象過點B,。，求這個一次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)0WcW3時，對于立的每一個值，函數(shù)9=—2c+帥為常數(shù)）的值大于函數(shù)y=x2-5x+6的值,直接

寫出b的取值范圍.

7

y

c

\ye

Ox

題目荃（2024-昆山市模擬）如圖，已知拋物線L:y=ax2+bx+4與c軸交于A（-l,0）,B（4,0）兩點，與g軸

交于點C.

（1）求拋物線乙的表達式；

（2）若拋物線L關(guān)于原點對稱的拋物線為L'，求拋物線L'的表達式；

（3）在拋物線Z/上是否存在一點P,使得S4ABe=2S“BP,若存在，求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

題目紅（2024.安徽模擬）已知拋物線y=—/+法+c（b,0是常數(shù)）與①軸交于點A（-3,0）和點5（1,0）,與

y軸交于點C,連接力。，點P是AC上方拋物線上的一點.

⑴求b,c的值；

（2）如圖1,點Q是第二象限拋物線上的一點,且橫坐標(biāo)比點P的橫坐標(biāo)大1,分別過點P和點Q作PD〃夕

軸，EQ〃沙軸，PD與QE分別與交于點。,E,連接CQ,4P,求S&APD+S^CEQ的值；

（3）如圖2,連接PB與AO交于點M,連接AP,BC,當(dāng)S&APM-S^BCM^2時,求點/■的坐標(biāo).

圖1圖2

（2024-西安校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線Ci.y—ax2—x+c（a力0）與多軸交于A（

—l,0）,B（3,0）兩點，交"軸于點C.

（1）求拋物線G的解析式；

（2）設(shè)拋物線G關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的拋物線為G，點4B的對應(yīng)點分別為A,B.拋物線。2的頂點為七，

則在立軸下方的拋物線G上是否存在點F,使得AABF的面積等于△B'BE的面積.若存在，求出F點的

8

坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

題型五.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

題目②］（2024?堇洲區(qū)模擬）新定義:我們把拋物線y=ax^+bx+c（其中ab豐0）與拋物線y=bx2+ax+c

稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”.例如:拋物線y=2X2+3X+1的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：y=^+2x+1.已知拋物線Cry

2

—4ax+ax+4a—3（a半0）的“關(guān)聯(lián)拋物線”為