向量法求空間角-2025年高考數(shù)學一輪復習（解析版）

第7課時向量法求空間角

［考試要求］1.能用空間向量的方法解簡單的線線、線面、面面的夾角問題.2.體

會向量方法在研究幾何問題中的作用.

［鏈接教材?夯基固本］落實主干?激活技能

?梳理?必備知識

1.異面直線所成的角

若異面直線/1,所成的角為仇其方向向量分別是“，V,則cos6=|cos〈“，V〉

|wj_v|

LMM?

2.直線與平面所成的角

如圖，直線48與平面a相交于點瓦設直線48與平面a所成的角為仇直線4B

的方向向量為“，平面a的法向量為〃，則sin6=|cos〈“，〃〉尸譬?

|w||n|

A

3.平面與平面的夾角

如圖，平面a與平面.相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90。

的二面角稱為平面a與平面.的夾角.

若平面a,4的法向量分別是〃1和〃2,則平面a與平面用的夾角即為向量〃1和〃2

的夾角或其補角.設平面a與平面.的夾角為仇則cos0=|cos〈〃i,〃2〉尸需需?

［常用結論］

最小角定理

如圖，若。4為平面a的一條斜線，。為斜足，08為CM在平面a內的射影，OC

為平面a內的一條直線，其中。為CM與。。所成的角，均為CM與08所成的角，

即線面角，%為08與。C所成的角，那么cos.6=coS_OicoS—仇.

O激活?基本技能

一'易錯易混辨析(正確的打，錯誤的打“x”)

(1)兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等.

(2)直線/的方向向量與平面a的法向量的夾角的余角就是直線/與平面a所成的

(3)二面角的平面角為仇則兩個面的法向量的夾角也是仇()

(4)兩異面直線夾角的范圍是(0,耳，直線與平面所成角的范圍是［0,4，二面角

的范圍是［0,兀］.()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)V

二、教材經典衍生

1.(人教A版選擇性必修第一冊P36例7改編)已知直線/i的方向向量si=(l,0,

1)與直線/2的方向向量S2=(—1,2,-2),則/1和/2夾角的余弦值為()

C［設兩直線的夾角為仇所以COS6=|cos〈S1,52〉|=1：1：2］=二一?=’.所以/］

|5I||S2|V2X32

和/2夾角的余弦值為當

2.(人教A版選擇性必修第一冊P37例8改編)已知兩平面的法向量分別為(0,-

1,3),(2,2,4),則這兩個平面夾角的余弦值為.

孚［設兩平面夾角為仇

6

3.(人教A版選擇性必修第一冊P41練習「改編)二面角a-//的棱上有48兩點，

線段ZC,8。分別在這個二面角的兩個平面內，且都垂直于棱/.已知25=1,AC

=2,BD=3,CD=2<2,則平面a與平面W的夾角為.

5［設平面a與平面例勺夾角為e,由而=潟+血+而可得，

________2

CD2=(CA+AB+BD)=CA2+AB2+BD2+2CA?AB+2AB?BD+2CA?~BD

=4+l+9+2|G4||BD|cos(CA,BD)=14-12COS0=(2V2)2.

所以cos6=；,即平面a與平面用的夾角為泉］

4.(人教A版選擇性必修第一冊P38練習T2改編)E4,PB,尸C是從點尸出發(fā)的

三條射線，其中/ZPC=N8PC=45。，ZAPB=60°,則直線0C與平面K48所

成角的余弦值為.

y［過尸C上一點。作。。，平面4P8,如圖，

則ZDPO就是直線尸C與平面E45所成的角.

因為ZAPC=ZBPC=45°,

所以點。在N4P5的平分線上，即/。尸￡=30。.

過點。作OE±PA,OFLPB,

因為平面APB,則DELPA,DF±PB.

設PE=1,

因為/。尸￡=30。，所以。尸=—；7=乎，

cos303

在中，ZDPE=45°,PE=1,貝U尸￡>=魚.

在尸中，。尸=竽，PD=^2,貝可

cosZ/DAPDCO=—0P=—巡.

PD3

即直線尸C與平面PAB所成角的余弦值是日.］

［典例精研?核心考點］重難解惑■直擊高考

□考點一異面直線所成的角

［典例1］

(1)如圖，在直三棱柱48C-/LBICI中，AB=AC=AAi=V2,BC=2,點、D為BC

的中點，則異面直線幺。與Z1C所成的角為()

B

(2)如圖所示，在棱長為2的正方體45CD-Z出Cid中，E是棱CG的中點，AF

=AAD(O<A<1),若異面直線。iE和ZF所成角的余弦值為苧，貝以的值為

(1)B(2)|[(1)因為4gz+NGnBC2,所以NA4C=90°.以Z為原點，45,ZC,

441所在直線分別為x軸、y軸、2軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則2(0,

0,0),小(0,0,V2),5(72,0,0),C(0,傳0),所以￡(停,牛，0),所以

而=(亨，亨，0),碇=(0,V2,-V2),所以cos(AD,中〉=篙蕭W，

所以〈詬，中〉=今故選B.

(2)以。為坐標原點，以D4,DC,DA所在直線分別為x,j,z軸，建立空間直

角坐標系(圖略).

因為正方體的棱長為2則小(2,0,2),￡>1(0,0,2),￡(0,2,1),2(2,0,0).

所以印=(0,2,-1),A^F=A^A+AF=^M+2AD=(0,0,-2)+2(—2,0,

0)=(—2/1,0,12).

麻?卓|

則|cos〈療，O>1=,解得7=2=*舍去).］

府H耐2爐五?V510

名師點評用坐標法求異面直線所成角的一般步驟

(1)建立空間直角坐標系；

(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,即兩異面直線所成角的余弦值等于

兩向量夾角的余弦值的絕對值.

［跟進訓練］

1.(2024?浙江紹興模擬)“曲池”是《九章算術》記載的一種幾何體，該幾何

體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分).現(xiàn)有一個

如圖所示的曲池，44」平面48C。，441=4,底面扇環(huán)所對的圓心角為］,AD

的長度是筋長度的2倍，CD=1,則異面直線an與8a所成角的正弦值為

()

CD

C［設上底面圓心為下底面圓心為。，連接。01,OC,OB,以。為原點，

分別以OC,OB,所在直線為X軸、y軸、2軸建立空間直角坐標系，由底

面扇環(huán)所對的圓心角為?的長度是前長度的2倍，CD=1,可知0c=1,

則G(l,0,4),A(0,2,0),B(0,I,0),。(2,0,4),4(0,2,4),

a

則4。1=(2,-2,0),BC1=(1,-1,4),

/—\—尸矛>\i4iPi,BCi41

cos〈4。1,BCi)=,.>,-7=77=———廣=一,

11|X1Z)1|?2V2X3V2

\BCr\3'

又異面直線所成角的范圍為(0,

故異面直線出。1與BC1所成角的正弦值為，

故選C.］

考點二直線與平面所成的角

［典例2］(2022?北京高考)如圖，在三棱柱ABC-AxBxCi中，側面BCCiBi為正

方形，平面8CC181，平面4B51Z1,AB=BC=2,M,N分別為小囪，ZC的中

點.

(1)求證：ACV〃平面BCCiBi；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線Z5與平面AWN

所成角的正弦值.

條件①：ABLMN-,

條件②：BM=MN.

［解］(1)證明：如圖，取5c的中點，連接SO,DN,在三棱柱4BC-ZbBCi

中，A\B\//AB,2閏=45.因為M,N,。分別為4囪，AC,5c的中點，所以

B\M//AB,B\M=^AB,DN//AB,DN=^AB,即BiM〃DN且B\M=DN,所以四

邊形SAW。為平行四邊形，因此囪?！ā▉V,

又“NO平面8CC181,BbDu平面5CC13,所以"N〃平面BCC/i.

(2)選條件①：

因為側面BCCbBi為正方形，所以CBLABi,

又因為平面5CC151，平面ABBiAi,且平面BCCiBiC平面ABBiAi=BBi,

所以C5,平面488/1,而48u平面4a814,所以C5L48,

由(1)得8bD〃〃N,"因為ABLMN,所以48，囪。，

而BiDCCB=D,所以48,平面5CC181.

在三棱柱ZBC-ZiBCi中，BA,BC,8囪兩兩垂直，

故以8為坐標原點，分別以5C,BA,851所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如

圖所示的空間直角坐標系，

因為AB=BC=BBi=2,則5(0,0,0),N(l,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),

所以麗=(1,1,0),BM=(0,1,2),ZB=(0,-2,0).

設平面的法向量〃=(x,y,z),

?n=0.f%+y=0,K,,

得《令x=2,得〃=(2,-2,1)為平面氏MN的一

?n=0,iy+2z=0,

個法向量.

設直線48與平面BMN所取角為仇

則sin9=|cos<n,荏〉|=?魯=工=匕所以直線48與平面所成角

M\n\?\AB\3x23

的正弦值為|.

選條件②：

取N8的中點H,連接HM,HN,

因為N,H分別為小Bi,AC,Z8的中點，

所以CB//NH,而CBlBBi,故NHLMH.

又因為4B=8C=2,所以NH=BH=1.

在叢MHB和△MHN中，BM=MN,NH=BH,公共邊MH,那么叢MHBm叢MHN,

因此NMHN=/MHB=90°,MH±AB,故BiB_LAB.

在三棱柱45C-Z18C1中，BA,BC,8囪兩兩垂直,

故以5為坐標原點，分別以8C,BA,881所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如

圖所示的空間直角坐標系，

因為AB=BC=BBi=2,則5(0,0,0),N(l,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),

所以麗=(1,1,0),JM=(0,1,2),AB=(S>,-2,0).

設平面5MN的法向量〃=(x,y,z),

由_,得|令x=2,得〃=(2,-2,1)為平面BMN的一

IBM,n-0,iy+2z—0,

個法向量.

設直線45與平面BMN所散憊為6,

則sin0=|cos〈〃，AB）尸例=<=J所以直線4B與平面5AW所成角的

\Jn"\,.\AB\3x23

正弦值為|.

名師點評利用空間向量求線面角的解題步驟

2.（2022?浙江高考）如圖，已知4BCQ和CDE/都是直角梯形,48〃Z）C,QC〃ER

AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸-DC-8的平面角為

60。.設跖N分別為ZE,8c的中點.

(1)證明：FN1AD；

(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

［解］(1)證明：易求得5=28，BC=243.

'：FC±DC,BCLDC,/BCF為二面角F-DC-B的平面角，

/.ZBCF=6Q0,...△5CF為等邊三角形.

N為BC的中點、,：.FN±BC.

又平面8cE，:.DCLFN,BCCDC=C,

.?.EN，平面5C￡>,：.FN±AD.

⑵如圖建系，則8(0,8,0),45,a0),。(3,一8,0),￡(1,0,3),同(3,亨，|),

.,.麗=(3,-y,|),AD=(-2,-2V3,0),RE=(-2,V3,3).

設平面4DE的法向量〃=(xo,jo,zo),切攸與平面4DE所成角為

n?AD-0,f—2&—2V3y0—0,也

_z-取x<則yo=-1,zo=V3,

n,DE-02%0+V3y0+3z0-0,

即〃=(8,-1,g)是平面4D￡的一個法向量.

.??sin6=|cos(BM,〃〉|=|船|=^4^=等

I阿同尼本迎14

直線AW與平面ADE所成角的正弦值為邑N

14

□考點三平面與平面的夾角《現(xiàn)范解劄

［典例3］(12分)(2023?新高考I卷)如圖，在正四棱柱NBCZML8clzh中,AB

=2,44i=4.點幺2,Bz,CI,。2分別在棱ZZi,BBi,CCi,￡>￡>i±,AA2=1,

BBZ=DD2=2,CC2=3.

CIBi

(1)證明：B2C2//A2D2；

(2)點P在棱BBi上，當二面角P-A2C2-D2為150。時，求BiP.

［解］(1)證明：以點C為坐標原點，CD,CB,CC所在直線分別為x,y,2軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

G「Bi

則C(0,0,0),C2(0,0,3),&(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1).?2分

???陪=(0,-2,1),瓦瓦=(0,-2,1).................................................3分

???瓦瓦〃砌........................................................4分

又82c2,2力＞2不在同一條直線上,一一|失分點|........................5分

：.B2C2//A2D2.....................................................................................................6分

(2)設尸(0,2,Q(0W4W4),一巧設元

則猛=(-2,-2,2),咽=(0,-2,3-A),萬益=(-2,0,1),?7分

設平面E42c2的法向量〃=(x,y,z),

則pi?A2C2=-2x-2y+2z=0,

In?PC：=—2y+(3—A)z=0,

令Z=2，得j=3—/,x=2—1L.一關鍵點，賦值求值

：.n=(2~l,3-2,2)為平面以2。2的一個法向量.....................8分

設平面42。2。2的法向量帆=(a,b,c),

貝必,(m?AoCo)=-2a—2b+2c=0,

Im?D2c2=—2a+c=0,

=

令Q=1,得bl,c=2,

=1,2)為平面42。m2的一個法向量，........................9分

畫/以；；：；一關鍵點，用對公式

=lI----6—cos150。|=￡

V6XV4+(A-1)2+(3-A)2112

化簡可得22—42+3=0,................................................................................10分

解得2=1或2=3,

???尸(0,2,1)或尸(0,2,3),..........................................................................11分

:.B2P=1.12分

名師點評利用空間向量求平面與平面夾角的解題步驟

3.(2023?新高考n卷)如圖，三棱錐中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB

=ZADC=60°,E為8c的中點.

(1)證明：BCLDA；

(2)點/滿足方=5X求二面角D-AB-F的正弦值.

［解］(1)證明：如圖，連接?！?AE,

因為DC=DB,且E為8c的中點，所以。EL8C

因為NAD8=NADC=60。，DA=DA,DC=DB,

所以△4D5m△4DC(SAS).

可得ZC=AB,故ZE,8c.

因為DEC4E=E,DE,Z￡u平面ADE,所以平面ADE.

又。Zu平面4DE,所以5CLD4.

y

(2)由(1)知，DELBC,AELBC.

不妨設DA=DB=DC=2,因為NAD8=NADC=60°,所以A8=ZC=2.

由題可知△Z)8C為等腰直角三角形，故DE=EB=EC=?

因為ZEL5C,所以AE=、AB2-EB2=迎.

在中，AE2+ED2=AD2,所以4ELED.

以E為坐標原點，所在直線為x軸，￡8所在直線為y軸，EN所在直線為2

軸，建立空間直角坐標系，如圖，則。(魚，0,0),8(0,V2,0),A(0,0,V2),

ol=(-V2,0,V2),BA=(0,-V2,V2).

設F(XF,yp,ZF),因為前=￡M,所以(XF,yF,ZF)=(—V2,0,V2),可得網一聲，

0,V2),

所以記5=(魚，0,0).

設平面。48的法向量為陽=(xi,ji,zi),

貝代7n=。，

[BA?m=0,

(—V2%i+V^Zi=0,

即｛——取X1=1,則yi=zi=l,陽=(1,1,1)為平面D4B的一

k-V2y1+V2z1^0,

個法向量.

設平面45尸的法向量為〃=(X2,yi,22),

得X2=0,取J2=l,則22=1,〃=(0,

嘿夕2+V2Z=0,

2

1,1)為平面4&F的一個法向量，所以cos〈〃[,?>=m'=-^j==—

/\m\?\n\73x723

記二面角。-4S-尸的大小為仇則sin。=^jl—cos2(m,n)=J1—倍)

故二面角D-AB-F的正弦值為子.

課時分層作業(yè)(四十八)向量法求空間角

[A組在基礎中考查學科功底]

1.(2023?北京高考)如圖，在三棱錐尸-N8C中，平面NBC,PA=AB=BC

=1,PC=V3.

p

4y、——_->c

B

(1)求證：8C，平面P45；

(2)求二面角Z-PC-8的大小.

［解］⑴證明：因為E4,平面N8C,8Cu平面Z8C,

所以E4L5C,同理E4L48,

所以△E48為直角三角形，

又因為尸8=，P42+"壯2=魚,BC=1,PC=V3,

所以產序+802=尸〃，則△尸5c為直角三角形，故BCLPB.

又因為5CLK4,PA^PB=P,

所以5C,平面PAB.

⑵由⑴知5C,平面E48,又4Bu平面E48,貝U5CL48,

以幺為原點，Z8為x軸，過Z且與5c平行的直線為y軸，4P為2軸,建立空

間直角坐標系，如圖，則幺(0,0,0),0(0,0,1),C(l,1,0),BQ,0,0),

所以Q=(0,0,1),ZC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-

設平面E4C的法向量為〃，=(xi,yi,zi),

m?AP=0,即『二o,

則

m?AC=0,Uq+yi=0,

令X1=L則yi=—l,所以〃i=(l,—1,0)為平面E4C的一個法向量,

設平面P5C的法向量為〃=(X2,yi,Z2),

叱,(n?,B麗C-=。0,，喉(y2-+力0,-2=。,

令X2=l,則Z2=l,所以〃=(1,0,1)為平面P5C的一個法向量,

匕乙八)/\m?n

所以COS〈陽，n)=——=-=—1==-1

|m||n|72x722

又因為二面角Z-PC-8為銳二面角，

所以二面角A-PC-B的大小為今

2.(2023?廣東廣州二模)如圖，在直三棱柱48C-Z山Ci中，AB=AC=AAi=3,

點。是的中點，點￡在441上，40〃平面5C1E.

(1)求證：平面5C1E,平面551clC；

(2)當三棱錐B「BCiE的體積最大時，求直線AC與平面BCiE所成角的正弦值.

［解］(1)證明：取5G中點連接EN,MD,如圖所示.

:AB=AC,點。是8c的中點，：.ADLBC,

又是8cl的中點，：.DM//CCi,

又,在直三棱柱45C-Z山Ci中，有44i〃CCi,441，平面48C,

：.DM//AE,平面A8C,

平面8C1E,且4Du平面平面4aMEA平面5QE=￡攸,

：.AD//ME,

平面48C,且4Du平面48C,

ACCi±AD,

XVCCin5C=C,JLCC1,8Cu平面A51CC,

.?.40,平面BBiCiC.

又,：AD〃ME,平面881clC,

,.?"Eu平面BC\E,

...平面5CiE,平面BB\CxC.

(2)由(1)知"EL平面BBxCiC,

]

?ME,

2

設BC=2a,則&）=Q,AD=^J9—a,S^B1BC1=1x2（7X3=367,

.1R-----za2+9-a29

??｝句—點送=石?3。?V9—Q2W---=-,

由基本不等式知，當且僅當。=v^二^時等號成立，

即三棱錐51-5C1E的體積最大，此時口=孚.

以。為坐標原點，D4所在直線為x軸，所在直線為y軸，。河所在直線為z

軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則有Z（苧，0,0）,C（0,一手，0）,5（0,

苧，0）,E（唳0,Ci（0,一乎，3）,.?.尼=（一苧，-當,0）,印

=（0,3V2,-3）,BE=（^,一學，|）,設平面8C1E的法向量為〃=（X1,J1,

21）,

n?C]B-3近y、—3z1—0,

則有加3夜3V2,3?

n?BE=—%1--71+-Z1-0,

取刈=魚，解得〃=（0,V2,2）為平面5GE的一個法向量,

設直線NC與平面BCiE所成的角為。，

貝Isin0=|cos〈〃，AC）\=—^==^,

3XV2+46

故直線NC與平面BCiE所成角的正弦值為客.

6

[B組在綜合中考查關鍵能力]

3.（2024?遼寧鞍山模擬）如圖所示，在直四棱柱48cLM18CQ中，底面48co

為菱形，ZABC=60°,AB=2,44i=2g,E為線段。d上一點.

⑴求證：AC±BiD；

(2)若平面AB.E與平面ABCD的夾角的余弦值為|,求直線BE與平面AB^E所成

角的正弦值.

［解］(1)證明：連接

:底面ABCD為菱形，：.AC±BD.

又881，平面A5C。，ZCu平面A8C。，：.BBi_LAC.

大BDCBB尸B,BD,BBc平面BDBi,

.?.ZC，平面RD81.又BiDu平面BDBi,：.ACLB\D.

(2)設CD的中點為尸，連接4F,如圖.

?.?△/CD為等邊三角形，：.AF±CD,

叉CD"AB,貝UAFLZA

又ZZi，平面4BCO,貝U441,4