2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：概率初步培優(yōu)講義

概率初步培優(yōu)講義

逐考點(diǎn)直擊

1.確定事件和隨機(jī)事件：

(1)確定事件：事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和

不可能事件都是確定的.

⑵隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.

(3)事件分為確定事件和不確定事件(隨機(jī)事件)，確定事件又分為必然事件和不可能事件.

2.隨機(jī)事件發(fā)生的可能性(概率)的計(jì)算方法：

⑴可能性大?。?/p>

①必然事件發(fā)生的概率為1,即P(必然事件)=1；

②不可能事件發(fā)生的概率為0,即P(不可能事件)=0；

③如果A為不確定事件(隨機(jī)事件)，那么0<P(A)<l.

理論計(jì)算分為如下兩種情況：

第一種：只涉及一步實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對(duì)一類概率模型進(jìn)行的計(jì)算.第二種：通

過列表法、列舉法、樹狀圖來計(jì)算涉及兩步或兩步以上實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：對(duì)游戲是否公平的計(jì)算.

實(shí)驗(yàn)估算分為如下兩種情況：

第一種：利用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算.要知道當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)非常大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計(jì)值，即大量實(shí)驗(yàn)頻

率穩(wěn)定于理論概率.

第二種：利用模擬實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算.如，利用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬實(shí)驗(yàn).

(2)概率的意義：一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫作事件A

的概率，記為P(A)=p.

⑶概率的公式：隨機(jī)事件A的概率P(A尸事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)一所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

(4)幾何概型的概率問題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G,又區(qū)域g包含在區(qū)域G內(nèi)，而區(qū)域G與g都是可以度量的(可求面積)，現(xiàn)隨

機(jī)地向G內(nèi)投擲一點(diǎn)M，假設(shè)點(diǎn)M必落在G中，且點(diǎn)M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量(長度、面積、體積等)

成正比，而與g的位置和形狀無關(guān).具有這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)(擲點(diǎn)),稱為幾何概型.關(guān)于幾何概型的隨機(jī)事件“向區(qū)域G中任意投擲一

個(gè)點(diǎn)M,點(diǎn)M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量與G的度量之比，即P=g的測度/G的測度.簡單來說：求概率時(shí)，

已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率.計(jì)算方法是長度比、面積比、體積比等.

3.列舉法和樹狀法：

(1)當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率.

⑵列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,求出概率.

(3)列舉法(樹形圖法)求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不

漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖.

(4)樹形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，像樹的枝丫形式，最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的

結(jié)果數(shù)n.

⑸當(dāng)有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉.

4.游戲公平性：

⑴判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平.

⑵概率=所求情況數(shù)一總情況數(shù).

5.利用頻率估計(jì)概率：

⑴大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用

頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.

⑵用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確.

(3)當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率.

6.模擬實(shí)驗(yàn)：

(I)在一些有關(guān)抽取實(shí)物實(shí)驗(yàn)中通常用摸取卡片代替了實(shí)際的物品或人抽取，這樣的實(shí)驗(yàn)稱為模擬實(shí)驗(yàn).

⑵模擬實(shí)驗(yàn)是用卡片、小球編號(hào)等形式代替實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，或用計(jì)算機(jī)編號(hào)等進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，目的在于省時(shí)、省力，但能達(dá)到同樣

的效果.

⑶模擬實(shí)驗(yàn)只能用更簡便方法完成，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，但不能改變?shí)驗(yàn)?zāi)康模灰O(shè)計(jì)出一個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)即可.

例題精講

例1世界杯決賽分成8個(gè)小組，每小組4個(gè)隊(duì)，小組進(jìn)行單循環(huán)(每個(gè)隊(duì)都與該小組的其他隊(duì)比賽一場)比賽，選出2個(gè)隊(duì)進(jìn)入16

強(qiáng)，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.

(1)求每小組共比賽多少場？

(2)在小組比賽中，現(xiàn)有一隊(duì)得到6分，該隊(duì)出線是一個(gè)確定事件，還是不確定事件？

舉一反三1下列事件為確定事件的是()

A.一個(gè)不透明的口袋中裝有除顏色以外完全相同的3個(gè)紅球和1個(gè)白球，均勻混合后，從中任意摸出1個(gè)球是紅球

B.長度分別是4,6,9的三條線段能圍成一個(gè)三角形

C.本鋼籃球隊(duì)運(yùn)動(dòng)員韓德君投籃一次命中

D.擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)正面朝上

舉一反三2下列事件中是不可能事件的是()

A.守株待兔B.甕中捉鱉C.水中撈月D.百步穿楊

例2口袋中有三個(gè)顏色的球共m個(gè)，其中白球(x+3)個(gè)，紅球2x個(gè)，其他都是黑球，這些球除顏色和數(shù)字外完全相同.

⑴若m=24,摸到黑球的概率不少于玄則口袋中的紅球最多有幾個(gè)？

⑵若山=患，當(dāng)摸到白球的概率最大時(shí)，袋中有幾個(gè)黑球？

舉一反三3從甲地到乙地有A,B,C三條不同的公交線路.為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時(shí)情

況，在每條線路上隨機(jī)選取了500個(gè)班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時(shí)（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下：

頻數(shù)

公交車用時(shí)/分鐘

A線路B線路c線路

30<t<35595045

35<t<4015150265

40<t<45166122167

45<t<5012427823

早高峰期間，乘坐—（填“A”“B哦“C”）線路的公交車，從甲地到乙地“用時(shí)不超過45分鐘”的可能性最大.

例3圖1是一枚質(zhì)地均勻的正四面體形狀的骰子，每個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,圖2是一個(gè)正六邊形棋盤.現(xiàn)通過擲骰子

的方式玩跳棋游戲，規(guī)則如下：將這枚骰子擲出后，看骰子向上三個(gè)面（除底面外）的數(shù)字之和是幾，就從圖2中的A點(diǎn)開始沿著順時(shí)

針方向連續(xù)跳動(dòng)幾個(gè)頂點(diǎn)，第二次從第一次的終點(diǎn)處開始，按第一次的方法跳動(dòng).

⑴隨機(jī)擲一次骰子，則棋子跳動(dòng)到點(diǎn)C處的概率是一.

⑵隨機(jī)擲兩次骰子，用畫樹狀圖或列表的方法，求棋子最終跳動(dòng)到點(diǎn)C處的概率.

舉一反三4密碼鎖有三個(gè)轉(zhuǎn)輪，每個(gè)轉(zhuǎn)輪上有十個(gè)數(shù)字：0,1,2,…，9.小黃同學(xué)是9月份中旬出生，用生日月份+日期”設(shè)置

密碼：99XX.

小張同學(xué)要破解其密碼：

（1）第一個(gè)轉(zhuǎn)輪設(shè)置的數(shù)字是9,第二個(gè)轉(zhuǎn)輪設(shè)置的數(shù)字可能是一；

⑵請你幫小張同學(xué)列舉出所有可能的密碼，并求密碼數(shù)能被3整除的概率；

⑶小張同學(xué)是6月份出生，根據(jù)（1）⑵的規(guī)律，請你推算用小張生日設(shè)置的密碼的所有可能個(gè)數(shù).

例4某綜藝節(jié)目中,有一個(gè)精彩刺激的游戲——幸運(yùn)大轉(zhuǎn)盤，其規(guī)則如下：

①游戲工具是一個(gè)可繞軸心自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓形轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤按圓心角均勻劃分為20等份，并在其邊緣標(biāo)記5,10,15,…,100,共20個(gè)5的

整數(shù)倍數(shù),游戲時(shí)，選手可旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，待轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針?biāo)傅臄?shù)即為本次游戲的得分；

②每個(gè)選手在旋轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤后可視得分情況選擇是否再旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤一次，若只旋轉(zhuǎn)一次，則以該次得分為本輪游戲的得分，若旋

轉(zhuǎn)兩次則以兩次得分之和為本輪游戲的得分；

③若某選手游戲得分超過100分，則稱為“爆掉”，該選手本輪游戲裁定為“輸”，在得分不超過100分的情況下，分?jǐn)?shù)高者裁定為

月肌，

④遇到相同得分的情況，相同得分的選手重新游戲，直到分出輸贏.

現(xiàn)有甲、乙兩位選手進(jìn)行游戲，請解答以下問題：

⑴甲已旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤一次，得分65分，他選擇再旋轉(zhuǎn)一次，求他本輪游戲不被“爆掉”的概率.

⑵若甲一輪游戲最終得分為90分，乙第一次旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤得分為85分，則乙還有可能贏嗎?贏的概率是多少？

(3)若甲、乙兩人交替進(jìn)行游戲，現(xiàn)各旋轉(zhuǎn)一次后甲得85分，乙得65分，你認(rèn)為甲是否應(yīng)選擇旋轉(zhuǎn)第二次?說明你的理由.

基礎(chǔ)夯實(shí)

1.兩個(gè)不透明的口袋中各有三個(gè)相同的小球，將每個(gè)口袋中的小球分別標(biāo)號(hào)為1,2,3.從這兩個(gè)口袋中分別摸出一個(gè)小球，則下

列事件為隨機(jī)事件的是（）

A.兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于1

B.兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于6

C.兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于1

D.兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于6

2.如圖1所示，平整的地面上有一個(gè)不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個(gè)

長為5m,寬為4m的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的

次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計(jì)試驗(yàn)結(jié)果），他將若干次有效試驗(yàn)的結(jié)果繪制成了如圖2所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，由此他估計(jì)不規(guī)

則圖案的面積大約為（）

小球落在不規(guī)則圖案內(nèi)的頻率

C.8m2D.9m2

3.如圖.隨機(jī)閉合開關(guān)Ki&,K3中的兩個(gè)，則能讓兩盞燈泡U,L2同時(shí)發(fā)光的概率為（）

4.小明向如圖所示的正方形ABCD區(qū)域內(nèi)投擲飛鏢，點(diǎn)E是以AB為直徑的半圓與對(duì)角線AC的交點(diǎn).如果小明投擲飛鏢一次,則

飛鏢落在陰影部分的概率為（）

5.在一個(gè)不透明的袋子里裝有四個(gè)小球，球上分別標(biāo)有6,7,8,9四個(gè)數(shù)字，這些小球除數(shù)字外都相同.甲、乙兩人玩“猜數(shù)字”

游戲，甲先從袋中任意摸出一個(gè)小球，將小球上的數(shù)字記為m,再由乙猜這個(gè)小球上的數(shù)字，記為n.如果m,n滿足|m-n區(qū)1,那么就

稱甲、乙兩人“心領(lǐng)神會(huì)”，則兩人“心領(lǐng)神會(huì)”的概率是（）

6.從3,0,一1,一2,一3這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，作為函數(shù)y=(5—m2)x和關(guān)于x的方程(m+l)x2+mx+1=0中m的值，恰

好使所得函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，且方程有實(shí)數(shù)根的概率為一.

7.小亮參加中華詩詞大賽，還剩最后兩題，如果都答對(duì)，就可順利通關(guān).其中第一道單選題有4個(gè)選項(xiàng)，第二道單選題有3個(gè)選

項(xiàng).小亮這兩道題都不會(huì)，不過還有一個(gè)“求助”沒有使用(使用求助可以讓主持人去掉其中一題的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)).

⑴如果小亮第一題使用“求助”，那么他答對(duì)第一道題的概率是多少？

⑵他的親友團(tuán)建議：最后一題使用“求助”，從提高通關(guān)的可能性的角度看，你同意親友團(tuán)的觀點(diǎn)嗎?試說明理由.

8.在平面直角坐標(biāo)系中給定以下五個(gè)點(diǎn)A(-2,0),B(l,0),C(4,()XD(-2,]),E(。,—6),從這五個(gè)點(diǎn)中選取二點(diǎn)，使經(jīng)過二點(diǎn)的拋物線;兩

足以y軸的平行線為對(duì)稱軸.我們約定經(jīng)過A,B,E三點(diǎn)的拋物線表示為拋物線ABE.

(1)符合條件的拋物線共有多少條?不求解析式，請用約定的方法一一表示出來.

(2)在五個(gè)形狀、顏色、質(zhì)量完全相同的乒乓球上標(biāo)上A,B,C,D,E代表以上五個(gè)點(diǎn)，玩摸球游戲，每次摸三個(gè)球.請問：摸一次，

三球代表的點(diǎn)恰好能確定一條符合條件的拋物線的概率是多少？

(3)小強(qiáng)、小亮用上面的五球玩游戲，若符合要求的拋物線開口向上，小強(qiáng)可以得1分；若拋物線開口向下，小亮得5分.你認(rèn)為

這個(gè)游戲誰獲勝的可能性大一些?說說你的理由.

^5"能力拓展

9.五羊象棋隊(duì)有10名隊(duì)員，比賽服上的號(hào)碼是1號(hào)，2號(hào)，…，10號(hào)，現(xiàn)要選出一名隊(duì)長和兩名副隊(duì)長，并使得隊(duì)長的號(hào)碼恰好

等于兩名副隊(duì)長的號(hào)碼的平均數(shù)，則有（）種不同的選取方法.

A.20B.19C.18D.16

10.衣柜里有4種不同花色的手套，每種都剛好有3雙.隨意從衣柜里取手套，則至少要取只才能保證取到2只左右配對(duì)的同

色手套.

11.我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率.隨著時(shí)代發(fā)展，現(xiàn)在人們依據(jù)頻率估計(jì)概率這一原理，常用隨機(jī)模擬的方

法對(duì)圓周率兀進(jìn)行估計(jì).用計(jì)算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生m個(gè)有序數(shù)對(duì)（x,y）（x,y是實(shí)數(shù)，且OSxSlQSyWl）,它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中全部在

某一個(gè)正方形的邊界及其內(nèi)部.如果統(tǒng)計(jì)出這些點(diǎn)中到原點(diǎn)的距離小于或等于1的點(diǎn)有n個(gè)，則據(jù)此可估計(jì)"的值為—（用含m,n的

式子表本）.