從一道習(xí)題看整體思想在小學(xué)數(shù)學(xué)里的滲透應(yīng)用

掀開(kāi)遮住學(xué)生眼睛的那片葉子——從一道習(xí)題看整體思想在小學(xué)數(shù)學(xué)里的滲透應(yīng)用東莞市大朗鎮(zhèn)崇文小學(xué)賢裕強(qiáng)【內(nèi)容提要】學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)，往往習(xí)慣于從問(wèn)題的局部出發(fā)，將問(wèn)題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題，常常導(dǎo)致解題過(guò)程繁雜、運(yùn)算量大，甚至半途而廢．真可謂“一葉障目”。其實(shí)，有很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們能利用這個(gè)“整體”對(duì)問(wèn)題實(shí)施調(diào)節(jié)與轉(zhuǎn)化，常常能使問(wèn)題快速獲解．這種解題思想方法，稱(chēng)為整體思想方法．它在小學(xué)數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式主要有整體定位、整體代換、整體觀察等等，整體思想方法在教學(xué)過(guò)程中如果運(yùn)用得好，將會(huì)促使學(xué)生觀察問(wèn)題全局化、思維方式科學(xué)化，甚至形成方法論意義上的綜合素養(yǎng)都起著基礎(chǔ)性、關(guān)鍵性的作用。【關(guān)鍵詞】整體思想、整體代換、整體設(shè)元、整體觀察圖2近幾年來(lái)，筆者在小學(xué)畢業(yè)班的教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了有一道習(xí)題學(xué)生感到非常困難，很多中等程度的學(xué)生理解起來(lái)很困難，我對(duì)此進(jìn)行了原因探究和分析，發(fā)現(xiàn)這和學(xué)生的整體意識(shí)薄弱有很大關(guān)系，學(xué)生猶如一葉障目，被眼前細(xì)小、局部的條件所蒙蔽，看不到數(shù)學(xué)的本質(zhì)和整體。下面我對(duì)這這道習(xí)題的分析，提出對(duì)于在小學(xué)數(shù)學(xué)滲透整體思想的一些看法。

案例1：圓內(nèi)有兩條互相垂直的半徑與一條線段組成的三角形圖2（圖2），三角形的面積是3平方厘米，那么這個(gè)圓的面積是（）平方厘米。分析：易得圓面積=πr2，只需求得r的值，即可求得圓的面積，而三角形的兩條直角邊恰好為圓的半徑，r2÷2=3，即r2=6。除此之外，沒(méi)有任何與之相關(guān)聯(lián)的條件，顯然，現(xiàn)階段，學(xué)生是無(wú)法求出半徑r等于多少的，于是學(xué)生質(zhì)疑題目出錯(cuò)了，半徑是多少就成了遮住學(xué)生眼睛的那片葉子。但是如果將r2=4看作是一個(gè)整體，直接代入到圓的面積公式中，即可得圓的面積=πr2=π×4=12。56(平方厘米)。從上面得案例可以看到，學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)，往往習(xí)慣于從問(wèn)題的局部出發(fā)，將問(wèn)題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題，然后再各個(gè)擊破、分而治之．殊不知，這種思考方法，常常導(dǎo)致解題過(guò)程繁雜、運(yùn)算量大，甚至半途而廢．真可謂“一葉障目”。其實(shí)，有很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果我們有意識(shí)地放大考察問(wèn)題的“視角”，往往能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中隱含的某個(gè)“整體”，利用這個(gè)“整體”對(duì)問(wèn)題實(shí)施調(diào)節(jié)與轉(zhuǎn)化，常常能使問(wèn)題快速獲解．一般地，我們把這種從整體觀點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理的解題思想方法，稱(chēng)為整體思想方法．它在小學(xué)數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式主要有整體定位（見(jiàn)案例1、2）、整體設(shè)元（見(jiàn)案例3）、整體觀察（見(jiàn)案例4、5）等等，整體思想方法在教學(xué)過(guò)程中如果運(yùn)用得好，將會(huì)促使學(xué)生觀察問(wèn)題全局化、思維方式科學(xué)化，甚至形成方法論意義上的綜合素養(yǎng)都起著基礎(chǔ)性、關(guān)鍵性的作用。一個(gè)突出的表現(xiàn)便是形成整體意識(shí)的人就會(huì)由著重對(duì)事物單方面的研究，轉(zhuǎn)向著重對(duì)事物多方面的整體研究;由著重對(duì)事物實(shí)質(zhì)的研究，轉(zhuǎn)向著重對(duì)事物的各種類(lèi)型的聯(lián)系和結(jié)構(gòu)的研究。因此，小學(xué)階段教學(xué)有必要加強(qiáng)整體思想的滲透，不斷提高學(xué)生理解、運(yùn)用整體思想的能力和水平。應(yīng)用一:整體定位。把所求式的值或某些量的組合確定為一個(gè)“字母”后，問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為對(duì)這個(gè)“字母”的研究，往往會(huì)收到理想的效果。（見(jiàn)案例1以及以下的案例2）案例2：判斷題：圓的面積和圓的半徑成正比例。（）很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為這是對(duì)的。這除了學(xué)生對(duì)于正比例關(guān)系里面的“比值一定”理解不透徹之外，還有一個(gè)很重要的原因，就是學(xué)生都不習(xí)慣把r2看成一個(gè)整體，所以也就不能把r2當(dāng)做和圓的面積相關(guān)聯(lián)的一個(gè)量了。把r2看做一個(gè)量來(lái)研究之后，我們就可得S：r2=π（比值一定），因此，圓的面積應(yīng)該和半徑的平方成正比例關(guān)系。應(yīng)用二：整體代換案例3：在解決一些問(wèn)題時(shí)，往往需要把一些組合式子視為一個(gè)“整體”，并把它直接代入另一式，以避免局部運(yùn)算的麻煩和困難，這就是整體代入。計(jì)算（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋）這道計(jì)算題，按照小學(xué)常規(guī)方法來(lái)算，只能先按照運(yùn)算順序一步一步地計(jì)算。原式=（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋）=×－×==這種做法，不僅復(fù)雜，浪費(fèi)時(shí)間，而且計(jì)算量大，容易出錯(cuò)。原因就在于學(xué)生只著眼于個(gè)別的分?jǐn)?shù)，看不到整體，于是只能按部就班，亦步亦趨了。其實(shí)，這道題目我們只要仔細(xì)觀察整道題，會(huì)發(fā)現(xiàn)有些分?jǐn)?shù)是多次出現(xiàn)的，如果我們能把幾個(gè)分?jǐn)?shù)看做一個(gè)整體，那么，這道題就簡(jiǎn)單得多了。假設(shè)a=1＋＋＋，b=＋＋，則原式=a×（b＋）－（a＋）×b=ab＋a－ab－b=a－b=(a－b)=引導(dǎo)學(xué)生著眼全體，提高思維的出發(fā)點(diǎn)，就可以掀開(kāi)遮住學(xué)生眼睛的那片葉子。應(yīng)用三：整體觀察案例4：在幾何的研究中，大多習(xí)慣在形內(nèi)添加輔助線，以助解題。但若能向形外添加補(bǔ)助線，使之轉(zhuǎn)化成一個(gè)完整的特殊圖形，以顯露出隱含條件，從而使問(wèn)題獲解。這也是整體思想的一個(gè)運(yùn)用求下面圖形的周長(zhǎng)。20cm20cm1653484444建立了周長(zhǎng)概念的學(xué)生紛紛努力地去找出圍成這個(gè)圖形的每條邊的長(zhǎng)。看得出，學(xué)生都產(chǎn)生這樣的思維定勢(shì):要求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)，就要找出各條邊的長(zhǎng)。于是，我就引導(dǎo)學(xué)生：可否把箭頭所指示的線段隨著箭頭平移，看看能發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)了，重組之后的圖形是一個(gè)長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)等于原圖的周長(zhǎng)。所以：圖形的周長(zhǎng)=（20＋16）×2=72厘米。思考限于局部、糾纏于每條邊的長(zhǎng)度使得學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決走上繁瑣分析的道路。顯然，這條路并不平坦且有較大的困難。作為引導(dǎo)者的教師“該出手時(shí)就出手”，必須“適時(shí)地走進(jìn)來(lái)”，介入并逐步融入學(xué)習(xí)過(guò)程中來(lái)。引領(lǐng)學(xué)生從全局的高度把握周長(zhǎng)計(jì)算方法中的實(shí)質(zhì):通過(guò)平移，并把它作為一個(gè)整體的尺度去度量與長(zhǎng)方形有著密切聯(lián)系的這一組合圖形的周長(zhǎng)，這是周長(zhǎng)在數(shù)學(xué)內(nèi)容中最本質(zhì)的思想內(nèi)核。整體原理告訴人們:不僅應(yīng)注意發(fā)揮各部分的功能，更重要的是要發(fā)揮各部分相互聯(lián)系形成結(jié)構(gòu)的新功能。不難看出，把零散線段之和視為一個(gè)整體結(jié)構(gòu)要素去解決問(wèn)題，讓學(xué)生體悟到“一覽眾山小”的整體觀，使問(wèn)題解決朝著擺脫常規(guī)模式的羈絆、化難為易的方向邁進(jìn)。把握數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，弄清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，通盤(pán)考慮解決問(wèn)題的要素，才有可能突破解決問(wèn)題的常規(guī)方法。10米（圖1）案例5:在審題時(shí)，從整體著眼去觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，從而制定出合理的解題方案10米（圖1）張大爺用籬笆圍一塊直角梯形菜地，其中一面靠墻（圖1），籬笆全長(zhǎng)40米，高10米。這塊菜地的面積是多少平方米？分析：許多學(xué)生解決此題時(shí)，拘泥于求梯形面積，需要先找到梯形的上底和下底及高，梯形的上底和下底不知道而無(wú)從下手，梯形的上底和下底就成了遮住學(xué)生眼睛的那片葉子。其實(shí)，如果我們從整體出發(fā)，梯形的上下底與高的和是40米，而高是10米，那么上下底的和就是：40－10=30（米），這樣梯形的面積就可以這樣算：30×10÷2=150（平方米）。當(dāng)然，此題還有另一種整體思考方法：兩個(gè)這樣的直角梯形正好可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是40×2=80（米），寬是10米則長(zhǎng)是：80÷2－10=30（米）；長(zhǎng)方形的面積是：30×10=300（平方米），那么，這個(gè)梯形的面積就是：300÷2=150（平方米）。整體觀察解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于能夠正確的找出問(wèn)題題設(shè)與所求之間的內(nèi)在聯(lián)系,并利用這些聯(lián)系,找到解題的關(guān)鍵,從而正確的解題.整體思想是體現(xiàn)數(shù)學(xué)辯證思維特性的一種數(shù)學(xué)觀念。應(yīng)用整體思想在解決問(wèn)題時(shí)，通常需要將處理的問(wèn)題或問(wèn)題的某個(gè)局部看成一個(gè)整體，通過(guò)對(duì)這個(gè)整體的形式、結(jié)構(gòu)、特征，以及問(wèn)題的條件和欲求的結(jié)論在這個(gè)整體中的地位和作用的分析研究，以達(dá)到問(wèn)題得以解決的目的。這種處理問(wèn)題的思維方法，往往可使學(xué)生站得高，看得遠(yuǎn)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)處理問(wèn)題的途徑。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，注重整體思想的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力有著積極的意義。為此，在實(shí)際教學(xué)中，我們應(yīng)注意有目的有計(jì)劃地結(jié)合解題，逐步培養(yǎng)學(xué)生的整體意識(shí)，以達(dá)到提高解題能力的目的。【參考文獻(xiàn)】1、《利用整體思想巧解題》作者:吳讓賢學(xué)術(shù)期刊《發(fā)明與創(chuàng)新（學(xué)生版）》2006年第6期2、《利用整體思想解決復(fù)