2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 平面向量 專項訓(xùn)練(解析版)

平面向量

目錄一覽

@2023真題展現(xiàn)

考向一平面向量的數(shù)量枳的運算

考向二平面向量的夾角

②真題考查解讀

③近年真題對比

考向一平面向量的數(shù)量積的運算

考向二平面向量的模長

考向二兩個向量的垂直問題

考向四兩個向量的平行（共線）問題

④W題規(guī)律解密

⑤名校模擬探源

⑥易錯易混速記

考向一平面向量的數(shù)量積的運算

1.（2023?全國乙卷文數(shù)第6題）正方形/BCD的邊長是2,E是的中點，則記.而=（）

A.75B.3C.25/5D.5

【答案】B

C_?——ULUuum.uunuum

【詳解】方法一：以“氏/。1為基底向量，可知,可=卜。卜2,/8.4。=0,

uunuiruuniumuunuunuiruuniULUuun

則EC=EB+BC=1AB+4D,ED=EA+HD=,

uunuun/iULUuun、（imuuun\iumuun

——初+心=―1+4=3.

4

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，

則E（1,0）,C（2,2）,。（0,2）,可得EC=（1,2）/。=（—1,2）,

uunuun

所以EC?磯）=-1+4=3;

方法三：由題意可得：ED=EC=y[5,CD=2,

DE2+CE2-DC25+5-43

在KDE中,由余弦定理可得cos/D￡C=

2DECE2%\/5Xy/55

iuii|Uuni3

EC\\ED\COSZDEC=4義竟義《=3.故選:B.

2.（2023?全國乙卷理數(shù)第12題）已知。。的半徑為1,直線產(chǎn)/與。。相切于點/,直線P8與。。交于

B,C兩點，。為BC的中點，若1P。|=&,則游.而的最大值為（）

1+V21+2瓶

A?-----------￡）.--------------

22

C.1+72D.2+72

【答案】A

【詳解】如圖所示，=尸|=JE,則由題意可知:44尸0=45。，

由勾股定理可得PA=xjOP2-OA2=1

O

A

兀

當(dāng)點4。位于直線尸。異側(cè)時，設(shè)/。尸。=&。*匕，

PA

則：PAPD=\\\P^\cosla4-^-=lx、5cosacosa+ZL

I4

1+cos2a1._1J2.f.7兀1

=6cosa—cosa-—sma=cos2a-sinacos01=----------sin2a=—--sin2a--

2222224

7

71717171

葉則-—<2a-—<—

44-4

rr

當(dāng)點4。位于直線R9同側(cè)時，^ZOPC=a,0<a<-,

則：PAPD=1"I?IPD|cosa--=1x>/2cosacosa--=72cosa--cosa+——sina

1+cos2a1..1>J2.(兀、

=COS2CC+sinacosa=-------+—sin2a=—+—sm2a+一

222214)

八兀I1兀C兀兀

0<a<—,貝1—K2a+—W—

4442

.,.當(dāng)2a+g=1時，力.po有最大值上回.綜上可得，取.9的最大值為上Z.故選：A.

4222

考向二平面向量的夾角

1.（2023?全國甲卷文數(shù)第3題）已知向量a=（3,l）,b=（2,2）,則cos（a+6,a-?=（）

\I

J17

Ac.好

-17~vi~5

【答案】B

【詳解】因為a=(3,1),6=(2,2),所以a+b=(5,3),a-6=(1,-1),

貝I_]|Q+4=,52+32=,卜一4=S+l=V2,t+譏一6)=5xl+3x(-l)=2,

-―--C+J.C—b)2

=巫.故選：B.

所以costa+b,a-b\=；—=—=——=

歷/、/\a+bn^a-b\734x7217

2.（2023,全國甲卷理數(shù)第4題）已知向量a,b,c滿足|。|=忖=1,卜|=。，且a+6+c=o,則cos（a-c,6-c〉=

()

422

A，-5B--5C-5

【答案】D

【詳解】因為a+5+"=6,所以！+(=」，

即c?2+方2+2a?=C2,即1+1+=2,所以a=0.

如圖，設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,

由題知,04=。8=1,OC=TEROAB是等腰直角三角形，

AB邊上的高。。=立,40=巫，

22

所以05=00+00=、粒+立=不，tanN/C￡>=^=',cosN/C￡>=2,

2233JI0

4

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1=2x—1=弓.故選:D.

真題考查解讀

【命題意圖】

【考查要點】

【得分要點】

1近年真題對比￡

考向一平面向量的數(shù)量積的運算

一、單選題一一一一一一一一

1.（2022?全國乙卷理數(shù)第3題）已知向量滿足|〃|=1,|6|=百,|a—26|=3,則〃力=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【詳解】解：2bl2=|q|2-4〃山+4忖2,

又??[Q|=1,|Z）|=、8|。一2b|=3,

???9=1—4Z-6+4x3=13—4日電,

，Q?%=1故選：C.

二、填空題

1.（2022?全國甲卷理數(shù)第13題）設(shè)向量a,6的夾角的余弦值為:，且口=1,1=3,則Qa+6）6=

【答案】11

【詳解】解：設(shè)a與6的夾角為。，因為a與6的夾角的余弦值為（，即cos0=§,

又「=1,p|=3,所以a-6=卜卜區(qū)卜0$0=1x3x;=1,

所以Qa+6）6=2q.6+62=24力+忖2=2x1+3?=11.故答案為：11.

考向二平面向量的模長

一、單選題

__rr

1.（2022?全國乙卷文數(shù)第3題）已知向量0=（2,1）,6=（-2,4）,貝|卜一々（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【詳解】因為"6=（2,1）-（-2,4）=（4,-3）,所以卜-4=,42+（-3>=5.故選:D

一、填空題______

1.（2021?全國甲卷文數(shù)第13題）若向量滿足卜]=小-6|=5,a方=1,則忖=.

【答案】30

【詳解】■.,p-Z）|=5

卜—=a2+b2-2a-b=9+|z>|2-2=25；.口=3^5.故答案為：3yj2-

考向三兩個向量的垂直問題

二、填空題_

1.（2022?全國甲卷文數(shù)第13題）已知向量￡=（%,3）力=（1,入+1）.若展,晨貝ij〃z=.

3

【答案】

__33

【詳解】由題意知：=加+3（機+1）=0,解得機=-].故答案為：一“

2.（2021?全國乙卷理數(shù)第14題）已知向量。=（1,3）,6=（3,4）,若（"焉），6,貝狀=.

3

【答案】-

【詳解】因為"枇=（1,3）-九（3,4）=（1-3九,3-4九），所以由'-九6），6可得，

3（1-31）+4（3-41）=0,解得X=|.故答案為：

3.（2021?全國甲卷理數(shù)第14題）已知向量a=（3,D]=（l,0）,c=a+焉.若…,貝心=.

【答案】-行.

【詳解】-a=（3,l）,b=（1,0）,;.c=a+妨=（3+匕1）,

'''alc,.-.a-c=3（3+^）+lxl=0,解得左=-￡,故答案為：

考向四兩個向量的平行（共線）問題

一、填空題__

1.（2021?全國乙卷文數(shù)第13題）已知向量°=（2,5）,6=（九,4）,若：〃，，則九=.

Q

【答案】-

OQ

【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4-九x5=0,解方程可得：入=1.故答案為：

命題規(guī)律解密

名校模擬探源

一、單選題7X

1.（2023?四川瀘州三模）已知向量］［滿足篇=一2,|&|=1,則1-2。=（）

A.-4B.-2C.0D.4

【答案】A

【詳解】由已知，^a-2b）-b=a-b-2b2=-2-2xh=-4.故選：A.

2.（2023?河南?襄城三模）已知向量Z=（2,l）,6=（x,2）,若0+36）〃匕-方），則實數(shù)x=（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【詳解】a+36=（2+3x,7）,a-6=（2-x,-l）,

因為，+3b）〃C-b）,所以（2+3x）x（-l）=7x（2-x）,解得x=4.故選：B

3.（2023?廣東廣州三模）已知向量a=（3,4）,1=（4,加），且卜+方卜卜一目，則慟=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【詳解】???兩邊平方得,

展開整理得...Q.b=0.

/.^-6=3x4+4m=0,解得加=-3|/?|=,42+（一3?=5故選：C

4.（2023?山東濰坊?三模）已知平面向量:與，的夾角是60。，且同=2,6=（1,2）,則。

A.8+2/B.4-4C.8-6D.4+26

【答案】C

【詳解】由6=（1,2）可得卜卜喬，

因為平面向量0與6的夾角是60。，且同=2,所以1（24）=2M2_〃0=2卜『-|tz|.|ft|cos60°=8-5/5

故選：C

5.（2023?人大附中三模）已知向量。=（1,2%=（3尸），；；與a+6共線，則,一小（）

A.6B.20C.2耶D.5

【答案】C

【詳解】由題意知，a+6=(4,2+x)

又〃〃(〃+/?),所以1x(2+x)=2x4,所以1=6,

所以1=(3,6),所以U=(—2,—4),所以&=J(—2)2+(—4)2=2逐.故選:C

6.(2023?河北衡水三模)已知向量°,人滿足口|=2忖=2,G-6)t+6)=8,則a與6的夾角為(

【答案】C

【詳解】因為t-OG。+方)=2|砰_件=8.又同=2忖=2,所以鼠6=一1.

所以005的,與=麗=-；,因為04口耳4兀，所以「與「的夾角為等.故選：C

7.(2023?遼寧?校聯(lián)考二模)已知向量"=(一2,1),.=(〃?,2),「+囚=口-6],則實數(shù)加的值為().

A.-1B.--C.-D.1

22

【答案】D

【詳解】解：因為向量。=(一2,1),6=(%,2),

所以Q+b=(-2+m,3),a-b=(-2-m,-l)9

又因為卜+6卜卜一々，所以J(—2+加＞+32=J(—2—加＞+(—1￡,解得加=1,故選：D

一一一_rr

8.(2023?湖南長沙三模)已知平面向量D滿足止2,口=3且:與"的夾角為60。，貝?一4

()

A.2B.百C.aD.1

【答案】D

【詳解】因為平面向量M滿足忖=2,M=J5,且:與人6的夾角為60。,

貝I]cos<a,a-b

4Cos<a,b>

\ja2-2a-b+b2=1.

故選：D

9.(2023?河南鄭州?三模)若向量〃、b滿足卜卜利二卜+闿，則向量I與向量Q—b的夾角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

［詳解］|?|=|^|=|?+^|,所以1+61=(a+6)2二時+2a?b+2+卅,又a-6=*Wcos?,6),所以

0力=一；件，

|a-Z)|=J(a-b)2=-2a-/>+|/?|123=>/T|a|,

尸碼,COS也4-萬;,

1

又b.(a-b)=b?a-b2=-3卜什一|同,

所以回q2cos9,4_4=_|_同，cosib,a-b^=

又0。4僅,a-6'）4180。，所以9a叫=150。，故選：D.

10.（2023?湖南長沙三模）已知向量0=（2,1）,b=（-1,3）,則向量a在b方向上的投影向量為

)

1717

A.i—bB.-j—bC.

M屈

【答案】c

【詳解】因為向量:=(2,1),b=(-1,3),

——a,bb—2+371

所以向量a在6方向上的投影向量為下「丹=不丁6=mz6,故選：C

11.（2023?河南?襄城三模）已知等腰梯形/BCD中，AB//DC,48=2OC=2/。=2,3C的中點為E,

貝加=（）

1—k5—1—k5—

A.-DB+-ACB.—DB+-AC

3336

1-1—、2—k5—k

C.-DB+-ACD.-DB+-AC

3236

【答案】B

【詳解】■：AB=DB-DA=DB-(DC+CA)=DB-DC-CA=DB-^AB-CA,

■,-7B=1)B-CA,,-,AB=-DB+-AC,...薪=上心+就)=卑后+2方+1*=1后+?

23322^33J236

12.（2023?河南安陽三模）已知正方形N8C。的邊長為1,。為正方形的中心，E是N8的中點，則=

【答案】C

【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點，4。所在直線為X軸，了軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則。（0,1）,

嗎，0），0（*）,所以加=4-1）,而=（；,-；）,所以蘇.茄=；+；=[

13.（2023?河南安陽三模）已知菱形4BCD的邊長為1,cos/A4D=g,。為菱形的中心，￡是線段上

的動點，則。的最小值為（）

111

A.1B.—C.—D.一

236

【答案】C

【詳解】設(shè)/￡=九/。，其中OWXWl,

由平面向量數(shù)量積的定義可得瓦.石=|網(wǎng)石網(wǎng)/8/。=；,

DE=AE-AD=kAB-AD,

1——?1

因為。為菱形48C。的中心，則。。=一DB=_

22

-AAB-TD-TB-TD+TD^

=512——Q+=+，因此，?！?￡）。的最小值為:?故選：C.

、填空題

14.（2023?上海黃浦三模）已知平面向量°=（加,1）,6=（2,2）,若；〃，，則加=—.

【答案】1

【詳解】由°=（加,1）,6=（2,2）,，a1b,可得2加一2x1=0,解之得加=1.故答案為：1

15.（2023?河南開封三模）已知向量°=（%,-1）,3=（1,3）,若（a-b），b,貝ij："=.

【答案】13

—?—>——

【詳解】''a=（m,-l）,6=（1,3）,〃一6=（冽一1,一4）,

———

又「（a—6）_L6,=〃?-1-12=0,解得"?=13.故答案為：13

16.（2023?四川內(nèi)江三模）已知|a|=4,且￡工（￡+2.），貝底工=.

【答案】-8

—*—?-?［,'］:

【詳解】因為|a|=4,a_L（a+26）,因此〃+26）=0,即42+2a?/）=（）,即a=-5^2=-8,

所以=—8.故答案為：一8

17.（2023?四川南充二模）已知:"為單位向量，且滿足任一回卜、后，貝"2a+q=.

【答案】75

【詳解】6為單位向量，且滿足卜―>/分|=4，所以。2-2，元+5Zn=6,

即1一24。）+5=6,解得a-6=0,所以+0=J4a2+41.1+J2=有.故答案為:>/5.

18.（2023?河南新鄉(xiāng)三模）已知向量Z=（"5,3）,6=（2,-3）,且日二）貝打=.

【答案】16

【詳解】因為1力=。-7,6）,（a-b）lb,所以2（”7）-3X6=0,解得:16.故答案為：16.

19.（2023?河南駐馬店二模）若單位向量0,］滿足"［卜"，則向量"］夾角的余弦值為.

【答案】

4

【詳解】設(shè)向量a,6的夾角為0,因為|2。一6卜通，所以4/一4a-6+62=6.

—?—?11

又|］=W=1，所以4-4COS0+1=6,所以cosOn-4.故答案為：-不

20.（2023?新疆阿勒泰三模）已知平面向量￡》，滿足日|=3,|6|=2,貝|而+26|=.

【答案】5

【詳解】因為￡，人日|=3,|切=2,則02=0,所以口+2凡=>/?+&2+477=歷m=5.故答案為:5.

21.（2023?黑龍江哈爾濱三模）已知向量：=（2,1）,6=（2,x）,若］在：方向上的投影向量為:，則x的值

為.

【答案】1

【詳解】b在a方向上的投影向量為^COSOe,其中COS0=百一卜='為與“方向同向的單位向量,

八一a,bf一a?b14.v

cos3e=-p—-a=a=1；即/=i,解得：x=l.故答案為：1

HHH5

22.(2023?遼寧大連三模)已知平面向量Z=(l,2)]=(-2,1)]=(2,/),若0+6)，"，貝i]/=.

【答案】|

【詳解】5+6=(1,2)+(-2,1)=(-13),

因為t所以C+工=(-1,3).(2,。=-2+3/=0,解得].故答案為：|

23.(2023?四川雅安三模)已知向量￡與方的夾角為60。，且°=孚，忖=2,則+

【答案】2

【詳解】由”,得同=、口+3=1,則zC+b)=￡2+76=l+lx2x1=2.故答案為：2.

122JII\442

24.(2023?山東煙臺二模)已知向量1=(1,1),|1|=應(yīng)，。+26|=26,則展與「夾角的大小為___________.

【答案】■

4

【詳解】由“=(1,6),得卜卜2,

由卜+26卜2/，得(a+26)2=20,

即力+￡/+4%2=20，得4+4x2x&cosfa,6)+4x2=20,

所以cos@4=￥，又r㈤Jo,J所以他司=；,即:與I的夾角為:.故答案為：土

25.(2023?廣東廣州三模)在“BC中，已知AB=2,AC=6,NB4c=60。,BC,4C邊上兩條中線

AM,BN相交于點尸，則的余弦值為.

【答案】封衛(wèi)

182

【詳解】由已知得/MW即為向量與BN的夾角.

因為M、N分別是5C,ZC邊上的中點，所以拓=；G+/),BN=AN-AB=^AC-AB.

又因為AB-AC=2x6xcos600=6>所以-BN=-^AB^AC^-^—AC-AB\

1?1—1?—*1I111

=—AC2――AB2——AC-AB=—x62——x22-x6=一,

42442429

|=1JAB^AC^+2AB^AC=；,22+62+2x6=g

BN^AC2-AC-AB+AB2=gx62—6+22,

AM-BN11

所以cosZMPN=-------1二匹.故答案為：國

加以L4An/|.|W=_2_

182182

V13X<7

n兀/7171umuun

26.（2023?江蘇鹽城三模）在&48c中,AB=4,B=r，Ae,則N32C的取值范圍是

【答案】（0,12）

4_b4b

【詳解】根據(jù)正弦定理得即sin兀一1/+g.兀

S1I1—