甘肅省蘭州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)4月月考試題理含解析

PAGE17-甘肅省蘭州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)4月月考試題理（含解析）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.若復(fù)數(shù)的虛部小于0，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)可得，結(jié)合模長(zhǎng)關(guān)系列方程，依據(jù)虛部小于0即可得解【詳解】由，得，因?yàn)椋?又z的虛部小于0，所以，.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的概念辨析和模長(zhǎng)計(jì)算，依據(jù)復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算法則求解.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示．則函數(shù)在內(nèi)有幾個(gè)微小值點(diǎn)（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】干脆利用微小值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增，對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值是先負(fù)后正，再結(jié)合圖像即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)槲⑿≈迭c(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增，對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值是先負(fù)后正，由圖得：導(dǎo)函數(shù)值先負(fù)后正的點(diǎn)只有一個(gè)，故函數(shù)在內(nèi)微小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了微小值點(diǎn)的概念，需熟記微小值點(diǎn)的定義，屬于基礎(chǔ)題.3.下列事務(wù)A,B是獨(dú)立事務(wù)的是()A.一枚硬幣擲兩次,A=“第一次為正面對(duì)上”,B=“其次次為反面對(duì)上”B.袋中有兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球,不放回地摸兩球,A=“第一次摸到白球”,B=“其次次摸到白球”C.擲一枚骰子,A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,B=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D.A=“人能活到20歲”,B=“人能活到50歲”【答案】A【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事務(wù)的概念，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析解除，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，兩個(gè)事務(wù)發(fā)生，沒(méi)有關(guān)系，故是相互獨(dú)立事務(wù).對(duì)于B選項(xiàng)，事務(wù)發(fā)生時(shí)，影響到事務(wù)，故不是相互獨(dú)立事務(wù).對(duì)于C選項(xiàng)，由于投的是一個(gè)骰子，是對(duì)立事務(wù)，所以不是相互獨(dú)立事務(wù).對(duì)于D選項(xiàng)，能活到歲的，可能也能活到歲，故不是相互獨(dú)立事務(wù).綜上所述，本小題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查相互獨(dú)立事務(wù)的概念以及相互獨(dú)立事務(wù)的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由“”等式兩邊需同乘一個(gè)代數(shù)式，它是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】只需將和分別代入到原式中，得到以及，然后用后式除以前式，則可以得出結(jié)果.【詳解】由題意有，假設(shè)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，左邊右邊∴由數(shù)學(xué)歸納法可知上式成立∴明顯等式兩邊需同乘故選：D.【點(diǎn)睛】本題僅僅是考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用狀況，要求學(xué)生會(huì)對(duì)困難式子進(jìn)行變形，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)候能夠依據(jù)所設(shè)條件得出相關(guān)類似結(jié)論，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力要求較高，能具備相關(guān)推理思維，為中等難度題型.5.直線與曲線相切于點(diǎn),則的值為（）.A. B. C.15 D.45【答案】B【解析】【分析】先將點(diǎn)代入曲線中,解得,得出曲線方程,對(duì)曲線方程求導(dǎo),代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)得斜率,又因?yàn)榍悬c(diǎn)在切線上,最終將切點(diǎn)和斜率代入直線方程,即可求得的值.【詳解】解:因?yàn)榍€過(guò)點(diǎn),所以,所以,所以,所以,所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率.因此,曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討曲線上某點(diǎn)切線方程,直線的斜率等有關(guān)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn),屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)，則值為（）A.10 B.-10 C.-20 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，計(jì)算函數(shù)f（x）在x＝1處的導(dǎo)數(shù)即可．【詳解】函數(shù)f（x）＝2lnx+8x+1，所以f′（x）＝+8；所以＝-2＝-2f＝-2×(2+8）＝-20．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義及其應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7.位男生和位女生共位同學(xué)站成一排，位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A,(A共有種不同排法)，剩下一名女生記作B，將A,B插入到2名男生全排列后所成的3個(gè)空中的2個(gè)空中,故有種，本題選擇A選項(xiàng).8.設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)全部隨機(jī)變量的概率之和為1，列出方程，求解出的值，要求解的值，即求解，依據(jù)概率的定義可得.【詳解】解：∵隨機(jī)變量的分布列為，，解得，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了離散隨機(jī)變量的概率性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)，嫻熟運(yùn)用性質(zhì).9.將兩顆骰子各擲一次，設(shè)事務(wù)“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)不相同”，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則概率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由題意事務(wù)A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同}，包含的基本領(lǐng)件數(shù)是36-6=30至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)的狀況分二類，給兩個(gè)骰子編號(hào)，1號(hào)與2號(hào)，若1號(hào)是出現(xiàn)6點(diǎn)，2號(hào)沒(méi)有6點(diǎn)共五種2號(hào)是6點(diǎn)，一號(hào)不是6點(diǎn)有五種，若1號(hào)是出現(xiàn)6點(diǎn)，2號(hào)也是6點(diǎn)，有1種，故至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)的狀況是11種∴=10.設(shè)復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)，再依據(jù)所求式子為，從而求得結(jié)果．【詳解】解：復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），而，而，故，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題．11.已知函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，探討函數(shù)的單調(diào)性、極值，利用函數(shù)大致形態(tài)進(jìn)行求解即可．【詳解】,,,函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),上只有一個(gè)根，即只有一個(gè)正根，即只有一個(gè)正根，令，則由可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上遞增，在遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值也是函數(shù)的最大值為1，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)或時(shí)，與圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程只有一個(gè)根，故或，當(dāng)時(shí)，，可得，且，不是函數(shù)極值點(diǎn)，故舍去.所以故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，極值，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)推斷方程的根，屬于中檔題.12.已知為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于恒成立（為自然對(duì)數(shù)的底），則（）A. B.C. D.與大小不確定【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)條件可知，需構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，得出在上單調(diào)遞減，經(jīng)過(guò)運(yùn)算變形，從而推得結(jié)果.【詳解】由題意可知，對(duì)于恒成立，且為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，∴可構(gòu)造函數(shù)，在上可導(dǎo)∴對(duì)于恒成立∴在上單調(diào)遞減∴∴經(jīng)過(guò)運(yùn)算化簡(jiǎn)可知選C故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，以及函數(shù)的構(gòu)造，處理函數(shù)值的大小比較，要求學(xué)生對(duì)函數(shù)以及導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與形式特別熟識(shí)，才能形成構(gòu)造函數(shù)的思維，對(duì)學(xué)生要求較高，為中等難度題型.小記，當(dāng)，則可構(gòu)造函數(shù).二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上）13.若，則的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】可依據(jù)二項(xiàng)式綻開(kāi)公式，求出，其次就是將其看作多項(xiàng)式函數(shù)，代入，則，代，得，從而可求出答案.【詳解】由題意有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，故將，代入上式可知故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式定理的駕馭狀況，會(huì)將二項(xiàng)式看做多項(xiàng)式函數(shù)，能分清綻開(kāi)式中每一項(xiàng)的系數(shù)，會(huì)求二項(xiàng)式系數(shù)，會(huì)賦值法處理相關(guān)問(wèn)題，為簡(jiǎn)潔題.中第項(xiàng)為：.14.設(shè)隨機(jī)變量，則________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可得:【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布的概率公式,屬基礎(chǔ)題.15.將2名老師，4名學(xué)生分成兩個(gè)小組，分別支配到甲、乙兩地參與社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名老師2名學(xué)生組成，不同的支配方案共有______種【答案】12【解析】試題分析：第一步，為甲地選一名老師，有=2種選法；其次步，為甲地選兩個(gè)學(xué)生，有=6種選法；第三步，為乙地選1名老師和2名學(xué)生，有1種選法故不同的支配方案共有2×6×1=12種考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)潔計(jì)數(shù)問(wèn)題16.已知函數(shù)f（x），無(wú)論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）總是不單調(diào).則a的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，可知或時(shí)，，肯定存在增區(qū)間，若無(wú)論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）總是不單調(diào).，則不能為增函數(shù)求解.【詳解】對(duì)于函數(shù)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以肯定存在增區(qū)間，若無(wú)論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）總是不單調(diào).，則不能為增函數(shù)，所以，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.已知復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，（），設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z.（1）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出，z是純虛數(shù)，虛部不為0，實(shí)部為0，即可求解；（2）依據(jù)的值，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)到坐標(biāo)，依據(jù)已知列出不等式，即可求出結(jié)論.【詳解】點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，，（1）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，，解得，；（2）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第四象限，，即，.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法、幾何意義、復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.18.袋中裝有10個(gè)除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中隨意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是.（1）求白球的個(gè)數(shù)；（2）從袋中隨意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.【答案】（1）5個(gè)；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）設(shè)白球的個(gè)數(shù)為x，則黑球的個(gè)數(shù)為10﹣x，記“從袋中隨意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事務(wù)A，則兩個(gè)都是黑球與事務(wù)A為對(duì)立事務(wù)，由此能求出白球的個(gè)數(shù)；（2）隨機(jī)變量X的取值可能為：0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．【詳解】（1）設(shè)白球的個(gè)數(shù)為x，則黑球的個(gè)數(shù)為10﹣x，記“從袋中隨意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事務(wù)A，則,解得.故白球有5個(gè).（2）X聽(tīng)從以10，5，3為參數(shù)的超幾何分布，.于是可得其分布列為:【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列,超幾何分布，求出離散型隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．19.國(guó)內(nèi)某汽車品牌一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用表示，據(jù)統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量的概率分布如下：0123（1）求的值；（2）若每個(gè)月被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響，求該汽車品牌在五個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴3次的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由概率和為1可干脆求出，從而可補(bǔ)全上述表格；（2）由題意可知，將該汽車品牌在五個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴3次分為三種狀況分別求其概率，最終求和，可得其概率.【詳解】（1）由概率分布的性質(zhì)有，解答，的概率分布為0123（2）設(shè)事務(wù)表示“五個(gè)月內(nèi)共被投訴3次”，事務(wù)表示“五個(gè)月內(nèi)有三個(gè)月被投訴1次，另外兩個(gè)月被投訴0次”，事務(wù)表示“五個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴2次，另外一個(gè)月被投訴1次，還有三個(gè)月被投訴0次”，事務(wù)表示“五個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴3次，另外四個(gè)月被投訴0次”，則由事務(wù)的獨(dú)立性得，，所以．故該企業(yè)在這五個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴3次的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了概率和為“1”，以及隨機(jī)事務(wù)的古典概型，要求學(xué)生會(huì)求相互獨(dú)立事務(wù)的概率問(wèn)題，考查了學(xué)生的邏輯思維，數(shù)據(jù)分析實(shí)力，為簡(jiǎn)潔題20.在的綻開(kāi)式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，（1）求的值；（2）求綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）求綻開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù).【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的定義求得的值；（2）依據(jù)通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）在二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得含的項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】解：（1）因?yàn)榍?項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，且前三項(xiàng)系數(shù)為，所以，即，所以（舍去）或.（2）因?yàn)?，所以綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)，即.（3）通項(xiàng)公式：由，，可得含的項(xiàng)的系數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．21.（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)6分，（Ⅱ）小問(wèn)6分）一家公司支配生產(chǎn)某種小型產(chǎn)品的月固定成本為萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件須要再投入萬(wàn)元.設(shè)該公司一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)該小型產(chǎn)品萬(wàn)件并全部銷售完，每萬(wàn)件的銷售收入為萬(wàn)元，且每萬(wàn)件國(guó)家賜予補(bǔ)助萬(wàn)元.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是一個(gè)常數(shù).）（Ⅰ）寫(xiě)出月利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于月產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）當(dāng)月生產(chǎn)量在萬(wàn)件時(shí)，求該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的月利潤(rùn)最大值（萬(wàn)元）及此時(shí)的月生產(chǎn)量值（萬(wàn)件）.（注：月利潤(rùn)=月銷售收入+月國(guó)家補(bǔ)助-月總成本）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）月生產(chǎn)量在萬(wàn)件時(shí)，該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的月利潤(rùn)最大值為，此時(shí)的月生產(chǎn)量值為（萬(wàn)件）【解析】【分析】試題分析：（Ⅰ）依據(jù)題設(shè)條件：月利潤(rùn)=月銷售收入+月國(guó)家補(bǔ)助-月總成本，可得利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于月產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)推斷函數(shù)在的單調(diào)性并進(jìn)一步據(jù)此求出其最大值及最大值點(diǎn).試題解析：解：（Ⅰ）由于：月利潤(rùn)