2023年初中數(shù)學(xué)競賽天津賽區(qū)初賽試卷含答案

全國初中數(shù)學(xué)競賽天津賽區(qū)初賽試卷

一、選擇題

⑴若四個互不相等的正實數(shù)a,b,c,d滿足(*2_02。12)(產(chǎn)2_產(chǎn)2)=2012

(&2012-c2012)^2012-J2012)=2012,則(°。產(chǎn)-3)刈2的值為()

(A)-2012(2)—2011(C)2012(02011

⑵一種袋子中裝有4個相似的小球，它們分別標(biāo)有號碼1,2,3,4.搖勻后隨機取出一球，記下號碼后放回；再

將小球搖勻，并從袋中隨機取出一球，則第二次取出的球的號碼不不

不小于第一次取出的球的號碼的概率為()

⑶如圖，矩形紙片ABCD中，AB=3,AD=9,將其折疊，使點。與

點3重疊，得折痕砂，則EFa(長為。

⑴)坐

(A)73(B)2+(C)710

⑷在正就變形ABCDEFG卬中，若對角線鉆=2,則AB+AC的)值等于()

(A)也(B)2(C)-(D)-

22

⑸有〃個人報名參與甲、乙、丙、丁四項體育比賽活動，規(guī)定每人至少參與1項比賽，至多參與2項比賽,

但乙、丙兩項比賽不能同步兼報，若在所有的報名方式中，必存在一種方式至少有20個人報名，貝歷時

最小值等于()

(A)171(5)172(C)180(D)181

二、填空題

⑹若?-3=-2,則f-士時值為

yjxx

⑺若四條直線x=l,y=-Ly=3,y=fcv-3所圍成的凸四邊形的面積等于12,則k日勺值為.

⑻如圖，半徑為廠的O沿折線ABCDE作無滑動的I滾動，假如筋=3。=00=止=2萬r,

ZABC=ZCDE=150,ZBCD=120,那么，。自點A至點E轉(zhuǎn)動了周.

(9)如圖，已知△ABC中，。為3C中點，E,F為AB邊三等分點,AD分別交CE,CP于點M,N,則

AM\MN:ND等于,

(10)若平面內(nèi)有一正方形ABCD,〃是該平面內(nèi)任意點，則以4+'C時最小值為.

MB+MD

三、解答題

(11)已知拋物線y=x2+mx+n通過點(2,-1),且與x軸交于兩點A(a,0)B(b,0),若點P為該拋物線的頂點，求

使APAB面積最小時拋物線的解析式。

?如圖，分別以邊長1為的等邊三角形ABC的頂點為圓心，以其邊長為半徑作三個等圓，得交點D、E、F,

連接CF交.C于點G,以點E為圓心，EG長為半徑畫弧，交邊AB于點M,求AM時長。

?已知p與5P2-2同為質(zhì)數(shù),求p的(值。

?已知有關(guān)X的不等式組「；：：的解集中的整數(shù)恰好有2個,求實數(shù)a日勺取值范圍。

全國初中數(shù)學(xué)競賽天津賽區(qū)初賽試卷答案及詳解

1、答案：A?？蓪a(chǎn)2與那2看做方程。一刈2）（無一［刈2）=2012日勺兩個解，則（成戶（cd戶2化為

西尤2-3）助之，由于占％=c2012d2012一2012,因此原式=-2012

2、答案:D?？梢苑炙姆N狀況討論:若第一次抽出1號球，則第二次抽出任一球都可滿足條件,概率為1x1；

4

若第一次抽出2號球，則第二次抽出2,3,4號球可滿足規(guī)定，概率為1x3；若第一次抽出3號球，則

44

第二次抽出3,4號球可滿足規(guī)定，概率為（1x：9；若第一次抽出4號球，則第二次抽出4號球可滿足規(guī)

定，概率為4x1；加和得到最終概率為9

448

3、答案：Co由于3E=ED,AD=9,因此3E+AE=9,根據(jù)勾股定理得到AE?+452=鹿2,得到

AE=4,BE=5,易得BF=BE,過點E作EG_L于G,GF=5—4=1,EF=^EG1+FG2=A/10

4、答案：3。如圖，設(shè)O為正九邊形ABCDEFG小歐I中心，連結(jié)OE、,貝UZAOE=160,:.ZOEA=10,

又易得NOED=70,:.ZDEA=60,在AE上截取￡P(guān)=ED連結(jié)DP、PC,ZPDC=140-60=80,

1on_on

:.ZDPC=--------=50,ZCPA=yO,XZCAP=ZBAP-ZBAC=40,:.ACAP=r10,

:.AC^AP,XAB=DE=EP:.AE=AB+AC

5、答案：Bo對于一種人來說，他的報名方式有兩種：報一項或

兩項。報一項比賽的I方式有4種，報兩項比賽的方式有C；-1=5

種，每個人報名方式有9種，規(guī)定有20人相似，可以讓每一種方式均有19個人，然后只要任意一種

再加一種人即可。因此應(yīng)當(dāng)為“=19x9+1=172

7、答案：1或-2。無論左為正或負(fù)，圍成的圖形均為直角梯形或直角三角形，面積都等于中位線乘以高,

高為4,則中位線為3。中位線一定在y=l這條直線上，則可得到中點坐標(biāo)為(4,1)或(-2,1),則代入

y=fcc-3得至IJ4=1或一2

8、答案：4-oAB,BC、CD、DE的長度剛好為圓的一種周長，4段線段長度和為4倍周長，也就是圓

3

轉(zhuǎn)了4周，但通過點3從屆時3C,從與AB相切到與3C相切轉(zhuǎn)動了一種NABC補角的度數(shù)，同

理C、。兩點都要轉(zhuǎn)一種補角度數(shù)，總共轉(zhuǎn)了120,即1周長

3

9、答案：5:3:2。如圖，作尸D//3產(chǎn)，QE//BC,PD:BF=1:2,:.DN:NA=PD:AF=1:4,:.ND=^AD,

AQ:QD=QE:BD=AE:AB=1:3,AQ=^AD,QM=^QD=^x^AD=^AD,

：.AM=AQ+QM=-AD,:.AM:MN:ND=5:3:2

J?

10、答案：也。如圖，通過勾股定理易得入數(shù)+女于=川4+皿冗

2

AC2=+MC2-2MA.MC.cosZAMC,BD1=MB2+MD2-2AfB.A7D.cosABMD,

MA.MCcosZBMD

AC=BD.\MA.MC.cosZAMC=MB.MD.cosZBMD,

MB.MD-cosZAMC

MA2MC2+2MA.MC

M4+MCI+，^M^+MC2=MB2+MD2,因此當(dāng)色幺絲2最小時，這

VMB2+MD2+2MB.MDcosZAMC

個值最小，因此當(dāng)NBA0=9O,NAMC=0時最小，即點M與點A、C重疊時

11、由于、=無2+"a+”通過（2,-1）,代入得，n=-2m-5,|AB|=J療+8租+20,P點縱坐標(biāo)為

-^-m2-2m-5,“;川+8帆+20），當(dāng)〃z=Y時5足的最小，解析式為y=f-4x+3

12、如圖，過點E作EP_LAB,連結(jié)E4、EC,易得/XEAC為正三角形，因此EC//AB,又

CG±AB,:.EC±CG:.EM=EG=y/2NEAP=60,:.EP=—,AP=-,

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PM=y/EM2-EP2=—,:.AM=PM-AP=J^-

22

13、5p2-2=5（/?+1）（/?-1）+3,①當(dāng)p+l=3〃（〃N1）,即夕二3〃一1時，3|5（p+l）（p-l）+3,即

5P2-2為合數(shù)，不符合題意；②當(dāng)p—l=3〃（九21）,即p=3〃+l時，315（〃+1）（〃一1）+3,即5P之-2

為合數(shù)，不符合題意；③當(dāng)〃=3〃（〃22）時，p為合數(shù),不符合題意；此時〃只能取3,當(dāng)p=3時,

5P2—2=43為合數(shù)符合題意，因止匕p=3

14、

【解】原不等式組可化為|a+2根據(jù)題意，有"二<x<"+l..............5分

x>-------,2

2

滿足原不等式組的解集中的整數(shù)恰好有2個，只需

+（A為整數(shù)）即產(chǎn)一2“<2￡（女為整數(shù)）（*）

斤+2<a+l"+3,W+1W+2,

k+\<2k

只需關(guān)于整數(shù)上的不等式組L,；、有解...........................10分