第04講-數(shù)列求和-(精講)(解析版)-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)

精品資源值得珍藏第04講數(shù)列求和(精講）目錄第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：裂項(xiàng)相消求和法題型二：錯(cuò)位相減求和法題型三：分組求和法題型四：倒序相加求和法第四部分：高考真題感悟第一部分：知第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1.公式法(1)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式;(2)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式2.裂項(xiàng)相消求和法:裂項(xiàng)相消求和法就是把數(shù)列的各項(xiàng)變?yōu)閮身?xiàng)之差,使得相加求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消,前項(xiàng)和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和,從而求出數(shù)列的前項(xiàng)和.①②③④⑤3.錯(cuò)位相減求和法:錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．4.分組求和法:如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.5.倒序相加求和法:即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·福建·廈門一中高二階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，則的前2022項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】B解：由題得，所以的前2022項(xiàng)和為.故選：B2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為（

）A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－2【答案】D由題可知：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為所以即所以故故選：D3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B由于，故原式.4．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求和：.【答案】2076第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：裂項(xiàng)相消求和法例題1．（2022·浙江省淳安中學(xué)高二期中）數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】B解：記的前項(xiàng)和為，則；故選：B例題2．（2022·河南安陽·高二階段練習(xí)（理））已知是遞增的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)見解析.(1)設(shè)的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，因?yàn)槭沁f增，所以，故，所以.(2),所以，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，而，故.例題3．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學(xué)高二階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求、；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和，求滿足的最小正整數(shù)．【答案】(1)an＝4n﹣1，(2)19(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則，即，解得，故，(2)由（1）得，.故，令有，即，解得，故滿足滿足的最小正整數(shù)為19例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)證明見解析(1)由題意：，兩式相減得到，又，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，再由成等差數(shù)列得，得，即，則，的通項(xiàng)公式為.(2)由題意知，例題5．（2022·河南濮陽·高二期末（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知是，的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)當(dāng)時(shí)，，故，又，且，，滿足，故數(shù)列為公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為，(2)由題意得：，則，則例題6．（2022·海南華僑中學(xué)高二期中）設(shè)等比數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)解：設(shè)公比為，由，，所以，解得，，所以．(2)解：由（1）及，所以，所以因?yàn)椋磫握{(diào)遞增，所以，又，所以，即；題型二：錯(cuò)位相減求和法例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】B由，得，兩式相減得.所以.故選：B.例題32．（2022·青海玉樹·高三階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意得：，解得：，所以，由得：，所以，所以(2)，則①，②，兩式相減得：，所以例題3．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見解析(1)因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，因此(2)，，則，所以，兩式相減得，即，故.所以當(dāng)時(shí)，，所以．例題4．（2022·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)，；(2).(1)依題意，等比數(shù)列的公比，則有，因此，，由得，等差數(shù)列的公差，，所以數(shù)列、的通項(xiàng)公式分別為：，.(2)由（1）知，，則，于是得，兩式相減得：，所以.例題5．（2022·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，所以，，無解．當(dāng)時(shí)，，所以解得，或，（舍）．所以．(2)．所以①，則②，①－②得，．所以．題型三：分組求和法例題1．（2022·新疆克孜勒蘇·高一期中）數(shù)列，，，，．．．，，的前項(xiàng)和的值等于（

）A． B．C． D．【答案】A可得.故選：A.例題2．（2022·遼寧·沈陽市第五十六中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列{}中，，前和為，則為（

）A．-12 B．16 C．-10 D．12【答案】A解：因?yàn)?，所以，，，，故選：A例題3．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則_________.【答案】960由，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∴數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則，故答案為：960.例題4．（2022·遼寧·鞍山市華育高級中學(xué)高二期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，，，.(1)求、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，；又，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，.(2)由（1）得：；.例題5．（2022·湖北·安陸第一高中高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，，是與的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【答案】(1)，；(2).(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，依題意可知：，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，依題意可知：，又，所以，又，∴，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2)由（1）可知：所以.例題6．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）在等比數(shù)列中，分別是下表第一，第二，第三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行341第二行865第三行91216(1)寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，，，；(2).(1)由題意知：，，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以公比為2，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)∵，∴,題型四：倒序相加求和法例題1．（2022·江西·南城縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（文））德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子.在其年幼時(shí)，對的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B解：因?yàn)?，且，?又，兩式相加得：，解得，故選：B例題2．（2022·江西九江·高二期末（文））德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（

）A．96 B．97 C．98 D．99【答案】C令，，兩式相加得：，∴，故選:C．例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（

）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D因?yàn)楹瘮?shù)滿足，①，②，由①②可得，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項(xiàng)和為.故選：D.例題4．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高二期中）已知定義在上的函數(shù)，則___________.【答案】由，得，所以，設(shè),,由，得即，于是有，解得，所以.故答案為：.例題5．（2022·黑龍江·鶴崗一中高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，，，則______．【答案】∵，∴．∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，∴．設(shè)，①則，②①＋②，得，∴．故答案為：例題6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，求.【答案】1005.因?yàn)椋?，所?令，倒寫得.兩式相加得，故.例題7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.【答案】(1)(2)(3)(1)因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以.(2)因?yàn)?，所以，所?(3)由（1）知，可得，所以，①又因?yàn)?，②因?yàn)?，所以①②，得，所?第四部分：高考真題感悟第四部分：高考真題感悟1．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項(xiàng)公式；(2)∴2．設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.3．設(shè)數(shù)列滿足，．（1）計(jì)算，，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.（1）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即．證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立.那么時(shí)，也成立.則對任意的，都有成立；［方法二］：構(gòu)造法由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時(shí)減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項(xiàng)為3