湖北華師一附2024屆高三五月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含答案

湖北華師一附2024屆高三五月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷

+答案

2024屆高三年級五月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

時(shí)限：120分鐘滿分：150分命審題:高三數(shù)學(xué)備課組

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的.

1.已知A={%|-4<x<2},B={%|lg(x-1)<0}，則AHB=

A.{%|-4<%<2}B.{%|-4<%<2]

C.{%I1<%<2]D.{%|1<%<2]

2.函數(shù)/(%)=ln(ex+1)—2

A.是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增

B.是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減

C.是奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增

D.既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

3.如圖1,一個(gè)電路中有A,B,C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件正常工作的概率均為|，這個(gè)電路是通路的概率是

A.-B.-C.

圖1

4.已知數(shù)列{an)，則“an_2+an+2=2an(n>3,neN*)”是“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”的

A.充分不必要條件B必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知△ABC的三個(gè)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若3a=2b,B=2A，則cosB=

77-11

A.--B.—C.--D.-

161688

牝設(shè)喳線必=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F的直線l與拋物線在第一象限交于點(diǎn)4與y軸交于點(diǎn)C,若

而=而，則直線/的斜率為

A.—B.—C.2V2D.V3

33

1

7.若函數(shù)/(x)=sins%+V3cos<k)x(<?>0)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù)，且/(a)=l,/(b)=一1,b-a=兀,則

a>=

A.-B.-C.1D.2

33

8.已知△ABC是邊長為4V3的正三角形，點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|泰+價(jià)+而|=3,則

|而|的最小值是

A.1B.2C.3D.-

3

二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對

的得5分,部分選對的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖2,在正方體4BC0-4/iCi。中,E,F,M,N分別為棱441，的中點(diǎn)，點(diǎn)P是面B±C的中心，

則下列結(jié)論正確的是

A.E,F,M,P四點(diǎn)共面

B.平面PEF被正方體截得的截面是等腰梯形

C.EF//平面PMN

D.平面MEF1平面PMN

10.已知復(fù)數(shù)Z1，Z2滿足:Z1為純虛數(shù),怙2-1|=2|Z2-4|,則下列結(jié)論正確的是

2

A.zf=-kJB.3<\z2\<7

C.|zi-z2|的最小值為3D.|zi-Z2+3i|的最小值為3

11.已知函數(shù)fO)的定義域?yàn)镽，對Vx,yeR,f(x+y)-f(x-y)=2/(1-x)/(y)，且f(l)=l.f'M為/(x)

的導(dǎo)函數(shù)，則

為偶函數(shù)B./(2024)=0

C.f(l)+/(2)+…+0(2025)=0D.[/(%)]2+[/(I-%)]2=1

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,滿分15分.

12.已知圓雉曲線mx2+ny2=1的焦點(diǎn)在y軸上，且離心率為2,則；=.

2

13.已知矩形ABCD中48=2百,BC=2,以AC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的

幾何體的體積為.

14.一只口袋裝有形狀、大小完全相同的3只小球，其中紅球、黃球、黑球各1只.現(xiàn)從口袋中先后有放回地取

球2n次(九€N+)，且每次取1只球,X表示2n次取球中取到紅球的次數(shù),Y=[X，X為奇數(shù)，則丫的數(shù)學(xué)期望

lo,x為偶數(shù)

為(用n表示).

二、解答題:本題共5小題，共77分.

15.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)f(x)=y[xeax[x>0).

⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

⑵若函數(shù)/(%)有最大值I，求實(shí)數(shù)a的值.

16.(本小題滿分15分)

(1)假設(shè)變量x與變量丫的n對觀測數(shù)據(jù)為Qi，月),(x2,y2)-(xn,yn)，兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模型

牖在￡(e)=，請寫出參數(shù)b的最小二乘估計(jì)；

(2)為推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，國家出臺了系列政策舉措,對新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展帶來了巨大的推動(dòng)效

果。下表是某新能源汽車品牌從2019年到2023年新能源汽車的年銷量w(萬)，其中年份對應(yīng)的年份代碼t為

1-5.已知根據(jù)散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)判斷，它們之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,可以用線性回歸模型描述.

年份代碼t12345

銷量W(萬)49141825

令變量x=t-t,y=w_w，則變量x與變量y滿足一元線性回歸模型｛京胃J羨)=?，利用⑴中結(jié)論

求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并預(yù)測2025年該品牌新能源汽車的銷售量.'i'''

17.(本小題滿分15分)如圖3,在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD為菱形,PA1平面ABCD.AC與BD相交于點(diǎn)

E,點(diǎn)尸在PC上,EF1PC,AC=4a,BD=4,ET=2.

⑴證明：DF1平面PBC;

⑵若PA與平面BDF所成的角為a，平面PAD與平面PBC的夾角為夕，求a+3.

3

圖3

18.體小題滿分17分)已知圓E:(%+乃)+*=32,動(dòng)圓C與圓E相內(nèi)切，且經(jīng)過定點(diǎn)F(V6,0)

(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；

⑵若直線=x+t與(1)中軌跡交于不同的兩點(diǎn)A,B，記△OAB外接圓的圓心為M(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，平面

上是否存在兩定點(diǎn)C,D，使得||MC\-\MD||為定值，若存在,求出定點(diǎn)坐標(biāo)和定值，若不存在,請說明理由.

19.(本小題滿分17分)對于數(shù)列｛即｝，如果存在等差數(shù)列｛篇｝和等比數(shù)列｛4｝，使得an=bn+cn(neN*),則

稱數(shù)列｛an｝是“優(yōu)分解”的.

(1)證明：如果是等差數(shù)列，則｛即｝是“優(yōu)分解”的.

22

⑵記Aan=an+1-an,Aan=Aan+1-Aan(nEN*)，證明：如果數(shù)列｛即｝是“優(yōu)分解”的，則Aan=0(nEN*)

或數(shù)列｛存即｝是等比數(shù)列.

(3)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，如果｛斯｝和5｝都是“優(yōu)分解”的，并且的=3,a?=4,=6,求｛an)的通

項(xiàng)公式.

4

2024屆高三年級5月適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

選擇題與填空題詳解:

1.【答案】C

【解析】lg(x—l)<O,；.O<x—1<1,，1<X<2,;.5=(1,2),A5=(1,2),故正確選項(xiàng)為C

2.【答案】A

【解析】???/(%)的定義域?yàn)镽,f(-%)=+1)+1=+1)-x+1=ta(el+l)-j=/(%)

x

/(x)為偶函數(shù)；當(dāng)％>0時(shí)，/'(x)=—J—ge-l>0,/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增

2(炭+1)

故正確選項(xiàng)為A

3.【答案】B

【解析】???這個(gè)電路是通路，.?.原件A正常工作，且元件B,C至少有一個(gè)正常工作,

其概率為尸=工義1-(1-1)(1--)3

故正確選項(xiàng)為B

2228

4.【答案】B

【解析】先判斷充分性：。"_2+4+2=24，,。"+2-4=an-an-2,

令n=2k(keN*),則出口一。2&一%"2=…=。4一。2，；?數(shù)列｛4｝的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，

令n=2k-l(keN*),則出1一。21=。2*1一。2*-3=…=%一。1，；?數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，

但數(shù)列｛4｝不一定是等差數(shù)列，如：1,1,2,2,3,3,“%_2+4+2=24(”23,〃€"*)”不是“數(shù)

列｛%｝是等差數(shù)列”的充分條件；

1

再判斷必要性：若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則24=4_1+4+|=%一2；4+/；〃+2=4+字+券,

???24=4_2+4+2，二''4.2+%+2=⑦”523,〃€"*)''是"數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列”的必要條件；

綜上，“%_2+a“+2=2a"("23,〃eN*)”是“數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列”的必要不充分條件，故正確選項(xiàng)為B

5.【答案】D

【解析??；3a=2b,3sinA=2sinB,VB=2A,3sinA=2sin2A=4sinAcosA,Ae(0,萬),

3,3,1

；.sinA30,cosA=—,cosB=cos2A=2cos-A-l=2-(—)--1=—,故正確選項(xiàng)為D.

448

6.【答案】C

【解析】???赤=麗.?./為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AA垂直于y軸于點(diǎn)A,OF為MAC的中位線，

則AA=0,的坐標(biāo)為(p,、歷")，則直線/的斜率為左=§=20,故正確選項(xiàng)為C.

—p

2

7.【答案】A

(]/(x)=sincox+y/scoscox=2sin(6>x+—)，依題意，coa+—=—+2kji(kGZ)，cob+—=—+2k7i(keZ)

33636

,jr1

兩式相減得0(b-a)=§,；匕一。="，，0=§,故正確選項(xiàng)為A

8.【答案】C

【解析】(方法一)設(shè)AA5C的重心為G,則AP+BP+CPMAG+BG+CG+BGPMBGP,

?.?kP+BP+CP|=3,.?.點(diǎn)尸的軌跡是以G為圓心，1為半徑的圓，

|AP|的最小值是|AG|—1=3,故正確選項(xiàng)為C

(方法二)以AC所在直線為x軸，以AC中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則

A(-2A/3,0),5(0,6),0(273,0),設(shè)P(x,y),???卜「+即5+。,=3,.??點(diǎn)P的軌跡方程為

/+(丁—2)2=1,設(shè)圓心為G,由圓的性質(zhì)可知當(dāng)AP過圓心時(shí)?最小，最小值為IAP|—1=4-1=3,

故正確選項(xiàng)為C.

9.【答案】BD..

PN

【解析】易得經(jīng)過三點(diǎn)的平面為一個(gè)正六邊形，點(diǎn)P在平面外，/TT?

四點(diǎn)不共面，.?.選項(xiàng)A錯(cuò)誤；分別連接石,P和民C-貝I]E\/：------.

平面誨即平面G3E/，截面G3E/是等腰梯形，，選項(xiàng)B正確；分/'F/?

Ai8

2

別取5耳，eq的中點(diǎn)G,。，則平面PMN即為平面QGMN,所顯然不平行平面QGMN,.?.選項(xiàng)C

錯(cuò)誤，同時(shí)：加,政笆加,改九二七/欣,平面打河一:平面力沖上平面尸河可一二選項(xiàng)口正

確.綜上，正確選項(xiàng)為BD.

10.【答案】ABD

【解析】???Z］為純虛數(shù)，.?.設(shè)％=6期00),從=一,「，.?.選項(xiàng)A正確；

?.?|Z2-1|=2|Z2-4|,則Z2所對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以(5,0)為圓心，以2為半徑的圓，34,歸7,

...選項(xiàng)8正確；：21為純虛數(shù)，；.21對應(yīng)點(diǎn)在丁軸上(除去原點(diǎn))，二,1一22|的取值范圍為(3,+00),

—Z2］無最小值，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；：k-z2+3/］=@+3)，-Z2|,I，S+3),3H0)為純虛數(shù)或0,對

應(yīng)的點(diǎn)在y軸上(除去點(diǎn)(0,3))),.?.當(dāng)6=-3時(shí)R—Z2+3,取得最小值3,.?.選項(xiàng)D正確，故正確選

項(xiàng)為ABD.

11.【答案】BCD

【解析】令x=0,貝I/。)―/(—y)=2/(l)/(y)=2/(y),=;./(x)為奇函數(shù)，故選

項(xiàng)A不正確；

令X=y=0,則/(0)=0,令y=l,則/(x+l)_/(x_l)=2/(l_x)/(l)=2/(l_x),?.?/(%)為奇函

數(shù).?./(I—x)=—/(X—1).?./(X+1)=—y(x—的周期為4,??.y(2024)=/(0)=0,故選項(xiàng)

B正確；

??,/(%)為奇函數(shù)，，/(x)=—/(f),，/'(x)=/'(f)，，r(x)為偶函數(shù)；???/'(x+l)=—/'(xT)

/卜―1),??4'(為)的周期為4,且尸Q)+尸⑵+尸G)+尸⑷=o,

.??/⑴+/")+…+/(2025)=尸⑴,V一(九)為偶函數(shù)，.?./'(x—1)=/"—%),

(無+1)=—/”—九)，.?./'(%)關(guān)于(1,0)對稱，.-./,(1)=0,.-./,(1)+/,(2)++/,(2025)=0,

故選項(xiàng)C正確；

令x=l_y,則/⑴_/(l_2y)=2/⑴，即/⑴_/(l_2x)=2/2(x)①，令y=l-x,

則/(1)-心-1)=2尸(1-9，

由①+②得2/(x)+2/(l—x)=2/(l)—/(l—2x)—/(2x—l)=2*l)=2，r(x)+/(l—x)=l,

故選項(xiàng)D正確，故正確選項(xiàng)是BCD.

4答案】1

3

【解析】?.?圓錐曲線的離心率為2,???該圓錐曲線是雙曲線，將方程化成焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)形式

匚￡=1,則口=-4,.心」

1］_￡mn3

【解析】由題知X~B2〃,；)，.?./=(),1,0,3,0,2〃—1,0

=。C"22-1+3W22-3+…+(2〃—1)C；：T21

"TC姑,=—(<圖片+……+C雷2。

(2+1『"T=%2*1+Jt22-2+c*227++c雷2】+C娼2°

(2-1廣―邑/修+段""％+C雷吸Y>2°

CM-pa+C篙293+……+c^2'=^^-,.■.E(r)=^-^Y^=|+^r

四、解答題：

15.［解析］(1)/0)=」=(八+4&族=巖絲6=*>0).................................2分

2jx2y1x

1°當(dāng)。20時(shí)/'(x)>0,.?./(%)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增。.....................................4分

2°當(dāng)a<0時(shí)，xe(0,-」-)時(shí)，尸(尤)>0,；.f(x)單調(diào)遞增

2a

XG(一-L,+oo)時(shí)，f(x)<0,:./(%)單調(diào)遞減7分

2a

4

綜上，當(dāng)aNO時(shí)，/(x)的增區(qū)間是(0,+oo),當(dāng)a<0時(shí)，/(x)的增區(qū)間是(0,-----),減區(qū)間是(----,+°°)

2a2a

...................................................................................................................................................................8分

(2)由(1)知當(dāng)時(shí)，/(x)無最大值。...............................................9分

1Ir__11112?

當(dāng)〃<0時(shí)，/(x)max=/(一丁)=J一ke2=不，平方有----=—,解得4=__，：.a=__............13分

2aV2a22ae4ee

16.【解析】⑴Q=fe；=￡(%—如丫=-2如X+/片)=匕28；―2應(yīng).+￡y；

i=li=li=li=li=li=l

n

要使殘差平方和最小，當(dāng)且僅當(dāng)公=上一；.................................................5分

n

i=l

55

_,方(:-亍)(叱-刃)51

(2)x=t-T,y=w-w,由(1)知5=-^------=-.....--------------------=一=5.1,

zu-n210

i=li=l

??.y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=5.5,........................................................................................................10分

/.w-w=5.1（t-F）,T=3,w=14f/.w=5.1（t-7）+w=5.1t-1.3f

當(dāng)r=7,w=5.1x7—1.3=34.4（萬），

5分

因此，預(yù)計(jì)2025年該品牌新能源汽車的銷售量將達(dá)到34.4萬輛...........

17.【解析】（1）證明：-底面ABC。是菱形，.?.ACLBD,

丫平面或）u平面ABC。，:.PA±BD,

XVACPA=A,平面B4C,.PCu平面B4C,/.BD1PC,

2分

又EFLPC,PCmBDF,............................................................

??,Dbu平面3。廠，PC±DF,EF=ED=EB=2,AZDFB=90

5分

即DB,砥，..DEL平面PBC....................................................................

（2）（方法一）由（1）知PCJ_平面D3尸，延長P4,EE,相交于點(diǎn)G,

則NPGF即為P4與平面BDF所成的角

APGFAPCA,:.ZPGF=ZPCA=45=45.........................................9分

過P作/AD,作DH_U于點(diǎn)H,連接EH,。尸，平面

PBC,..DF1BC,BCAD,lAD,:.IBC

:.DFll,又?.DH_U,上平面DFH,上FH

5

圖3

.?.NDHF即為平面PBC與平面K4O的夾角￡,sin，=器=|^；,“=30,

a+J3—45+30=7515分

（方法二）以E為原點(diǎn)，以EA為x軸，EB為y軸，過點(diǎn)E且

平行外的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

A(2V2,0,0),C(-2V2,0,0),￡>(0,-2,0),F(-V2,0,近),

DF=(-V2,2,叵),AD=(-2A/2,-2,0)

EF±PC,EF=2,EC=2^2,:.ZACP=45,

PA=AC=4亞，:.ZAPC=45

PCI?平面皮與平面3D廠所成的角為（z=90-ZAPC=45.....................................................9分

DF_L平面PBC,.\DF是平面PBC的一個(gè)法向量，又平面R4D_L平面ABCD,

設(shè)”=(x,y,0)只需〃_LAD,則平面B4￡),n-AD=(%,_y,0)(-2\^2,-2,0)=-2\[lx-2y=0

令”=(一1,應(yīng),0),則cos￡=I",。尸?=班,.?.尸=30,;.a+尸=45+30=75................15分

\n\-\DF\73-2722

18.【詳解】（1）設(shè)圓￡的半徑為r,圓￡與動(dòng)圓C內(nèi)切于點(diǎn)。..一點(diǎn)尸在圓E內(nèi)部，二點(diǎn)C在圓E內(nèi)部.

|CE|+|CF|=|CE|+|CQ|=r=4A/2>\EF\=276,

22

.??點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其方程為±+±=1...................................................................5分

82

（2）（方法一）聯(lián)立y=x+f與橢圓方程，消y得5/+8笈+4/—8=0,

8/4/—8

設(shè)4(為%),3(%2，%)，則玉+%2=一1，xix2=---

的中垂線方程為：y——=--(x--),即、=--x+——F—@

2%2%2%2

同理可得OB的中垂線方程為:y=-三x+二+涯②

%2%2

由①②兩式可得一工工+義-+叢=一追兀+%-+%

%2yl2%2%2

AOAB外接圓圓心M的橫坐標(biāo)xM=々飛-"J'+（%-%）X%

2區(qū)％-玉為）

6

其中x2yx-xly2=x2（xi（x2+，）=t（x2一石）

xx

—%；%+（%—%）%%=2（i+%）—（%2+力+（冗2-石）（國+力（%2+0

22

=｛x^Xx-X1X2）+^（X2一玉2）+（々一%）（玉+力（12+%）

=（%—%）［玉%2+《12+斗）+（玉+%）（12+'）］

=（x2_玉）［2再%2+2%（12+石）+/］

_（%—X]）[2為々+2/（%+%）+/]_2玉%+2《％+石）+/_X]X,t_3t8

X=-------------------------------------------=-----------------------------=-------1-X+X,H---=------------

M291

2%（九2—』）2tt2105^

10分

又「AB的中垂線方程為y—號上=—（x—七三），即y=—X—

3/R33/8

?'?圓心M的縱坐標(biāo)為y——（----------）—t=-------1—,??13分

M105t5105%

*'?圓心M在雙曲線％?—y之—--上,15分

.??存在定點(diǎn)c（—芋,0）,。（竽,0）,使得||“。卜|初。||=|百（定值）......................17分

（方法二）設(shè)AQ4B外接圓方程為必+/+公+沖=0,聯(lián)立y=x+『與圓的方程消＞得

c2/c1\2cr[2/+d+e8/+ct4產(chǎn)—8

2x+（2/+d+e）%+1+e/=0,貝！J%+%=----------------——~,再々=———————

,,16/28/一165/日,3t163t16、人有、1尸位、

2%+d+e=—，t+et-----------，解倚d=—I------，c—----------，設(shè)圓心坐標(biāo)為y）,

5555t55t

ed3t83t8

則%=——=---------,V=------H——，.......................................................................................13分

2105t105t

4848