2024年高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)復(fù)習(xí)：不等式及線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

2024年高考數(shù)學(xué)必考學(xué)問(wèn)點(diǎn)3不等式及線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

1.（2024?上海）若a,AeR,且M>0,則下列不等式恒成立的是（）.

A.3+Z?2>2乃6B.a-\-b^2yf~ab

1,12b,a、

C.-+T>-/=D-L/2

ab7ab

答案：D[對(duì)于4當(dāng)a=6=l時(shí)滿(mǎn)意a6>0,但才+9=2M，所以/錯(cuò)；對(duì)于B、C：當(dāng)石=8=-1時(shí)滿(mǎn)意乃6>0,

但a+5V0,（+[<（）,而2，標(biāo)>0,jq>0,明顯B、C不對(duì)；對(duì)于D：當(dāng)助>0時(shí)，由基本不等式可得]ba

a1

=2.]

2.（2024?遼寧）若x￡[0,+8）,則下列不等式恒成立的是（）.

1/111

A.eWl+x+VB.i-<1~-x+~x2

y[l+x24

cos#

C.D.ln(l+jr)^x~~x

o

答案：C[正確命題要證明，錯(cuò)誤命題只需舉一個(gè)反例即可.如4因?yàn)閑，>l+3+32,故/不恒成立；同理,當(dāng)

1

2

十-￡

,故B不恒成立；因?yàn)閨cos2=—sinx+x20(x￡[0,+°°)),且x=0時(shí),

y=cosx+-x—l=0所以y=cos才+與一120恒成立，所以C對(duì)；當(dāng)x=4時(shí)，ln（l+jr）<x~-x,故D不恒成立.]

ZfZo

(x+2介2,

3.（2024?山東）設(shè)變量x,P滿(mǎn)意約束條件2x+j<4,則目標(biāo)函數(shù)z=3x—p的取值范圍是（）.

\Ax~—

33

A.6B.5'T

一3

C.D.-6,-

乙

答案：A[

作出不等式組所表示的區(qū)域如圖，由z=3x—p得，y=3x—z,平移直線(xiàn)y=3x,由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)￡（2,

0）時(shí)，直線(xiàn)尸3x—z的截距最小，止匕時(shí)z最大為z=3X2—0=6,當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)。點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)尸3x—z的截距最大，此

1

4x—y=—lfx=29333

時(shí)4最小，由解得《此時(shí)z=3x—y=~—3=-所以z=3x—y的取值范圍是一可，6.]

2x+y=4,22

)=3,

(xNO,

4.(2024?安徽)若x,p滿(mǎn)意約束條件x+2介3,則x—p的取值范圍是—

W+j<3,

記2=入一y,則y=x—z,所以z為直線(xiàn)y=x—z在p軸上的截距的相反數(shù)，畫(huà)出不等式組表示的可行域如圖中△

4回區(qū)域所示.結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(1,1)時(shí)，x—y取得最大值0,當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(0,3)時(shí)，x—p取得最小

值一3.

答案[-3,0]

本部分內(nèi)容高考主要考查以下幾方面：

(1)考查利用基本不等式求最值、證明不等式等，利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題.

(2)考查以線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值為重點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)的求解常結(jié)合其代數(shù)式的幾何意義(如斜率、截距、距離、面積

等)來(lái)求解.

(3)一元二次不等式常常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何相結(jié)合考查參數(shù)的取值范圍，以考查一元二次不等式的解

法為主，并兼顧二次方程的判別式、根的存在等.

不等式部分重點(diǎn)駕馭一元二次不等式的解法，特殊是含有字母參數(shù)的一元二次不等式的解法，基本不等式求最值,

二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，包括平面區(qū)域的形態(tài)推斷、面積以及與平面區(qū)域有關(guān)的最值問(wèn)題，簡(jiǎn)潔的線(xiàn)性

規(guī)劃模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.對(duì)不等式的深化復(fù)習(xí)要結(jié)合數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)進(jìn)行.

必備學(xué)問(wèn)

一元二次不等式

(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解結(jié)合二次函數(shù)的圖象得來(lái)，不要死記硬背，二次函數(shù)的圖象是

聯(lián)系“二次型”的紐帶.

(2)對(duì)含參數(shù)的不等式，難點(diǎn)在于對(duì)參數(shù)的恰當(dāng)分類(lèi)，關(guān)鍵是找到對(duì)參數(shù)進(jìn)行探討的緣由，確定好分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)(如最

高次系數(shù)、判別式、根相等)，層次清晰地求解.

(3)與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問(wèn)題.，通常轉(zhuǎn)化為根的分布問(wèn)題，求解時(shí)肯定要借助二次函數(shù)的圖象，一般考

慮四個(gè)方面：開(kāi)口方向、判別式的符號(hào)、對(duì)稱(chēng)軸的位置、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào).

基本不等式

(1)基本不等式a?+6222a6取等號(hào)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a=6；當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，空》舊(x>0,y>0)取等號(hào).

⑵幾個(gè)重要的不等式：①劭ba,6GR)；

c/一+1、.+6、2ab.、

②'-o~~T7（a>0,Zr?>0）；

\lz2Va-vb

③a+，22Q>0,當(dāng)a=l時(shí)等號(hào)成立）；

a

2（才+9）2（乃+Z?）"a,Z?￡R,當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）；

，一|引W|a±b\W|乃|十|引.

（3）最值問(wèn)題：設(shè)笛p都為正數(shù)，則有

2

①若x+y=s（和為定值），則x=y時(shí)，積盯取得最大值?；

②若xy=p（積為定值），則當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得最小值25.

比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法.要依據(jù)題設(shè)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選

擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟識(shí)各種證法中的推理思維，并駕馭相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn).

解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟

（1）確定線(xiàn)性約束條件；

（2）確定線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)；

（3）畫(huà)出可行域；

（4）利用線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)（直線(xiàn)）求出最優(yōu)解；

（5）據(jù)實(shí)際問(wèn)題的須要，適當(dāng)調(diào)整最優(yōu)解（如整數(shù)解等）.

必備方法

1.解一元二次不等式al+^x+cXKaWO）或aV+^x+cVCKaHO）,可利用一元二次方程、一元二次不等式和二

次函數(shù)間的關(guān)系.

2.運(yùn)用基本不等式以及與之相關(guān)的不等式求一元函數(shù)或者二元函數(shù)最值時(shí)，基本的技巧是創(chuàng)建運(yùn)用這些不等式的

條件，如各變數(shù)都是正數(shù)，某些變數(shù)之積或者之和為.常數(shù)等，解題中要依據(jù)這個(gè)原則對(duì)求解目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，使

之達(dá)到能夠運(yùn)用這些不等式求解最值的目的.在運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值、特殊是求二元函數(shù)最值時(shí)肯定要留意

等號(hào)成立的條件，盡量避開(kāi)二次運(yùn)用基本不等式.

3.平面區(qū)域的確定方法是“直線(xiàn)定界、特殊點(diǎn)定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示

的半平面的交集.線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)z=ax+6y中的z不是直線(xiàn)ax+"=z在y軸上的截距，把目標(biāo)函數(shù)化為〃=一羨x+楙可

知%是直線(xiàn)ax+"=z在y軸上的截距，要依據(jù)6的符號(hào)確定目標(biāo)函數(shù)在什么狀況下