高中導(dǎo)數(shù)經(jīng)典知識(shí)點(diǎn)及例題講解

§1.1變化率與導(dǎo)數(shù)

1.1.1變化率問(wèn)題

自學(xué)引導(dǎo)

1.通過(guò)實(shí)例分析，了解平均變化率的實(shí)際意義.

2.會(huì)求給定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的平均變化率.

課前熱身

1.函數(shù)f(x)在區(qū)間［%，蒞］上的平均變化率為乎=

2.平均變化率另一種表示形式：設(shè)/戶x—知?jiǎng)t手=,表示函

數(shù)y=F(x)從X。到x的平均變化率.

?-』

案TO。+/x)—A-O)

4Ax

名師講解

1.如何理解的含義

表示自變量x的改變量，即』x=X2—豆；/y表示函數(shù)值的改變量，即

/y=fix4—AAJ).

2.求平均變化率的步驟

求函數(shù)y=F(x)在［豆，x2］內(nèi)的平均變化率.

⑴先計(jì)算函數(shù)的增量/尸/UD-/U).

(2)計(jì)算自變量的增量/X=E—M

八一/pfX-fXi

(3)得平均變化率丁=---:-2----------.

力XX2-Xx

對(duì)平均變化率的認(rèn)識(shí)

函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)在某段區(qū)間上的變化趨勢(shì)，且區(qū)間長(zhǎng)度越

小，表現(xiàn)得越精確.如函數(shù)y=sinx在區(qū)間［0,口］上的平均變化率為0,而在

JI

sin——sinO一

［0,不］上的平均變化率為----------=-

在平均變化率的意義中，F(xiàn)(X2)—丹豆)的值可正、可負(fù)，也可以為零.但/X

x?X\0.

1

典例剖析

題型一求函數(shù)的平均變化率

例1一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其路程與時(shí)間大的關(guān)系是S=3大一/.

(1)求此物體的初速度；

⑵求t=0至U1=1的平均速度.

分析方=0時(shí)的速度即為初速度，求平均速度先求路程的改變量4S=S(1)

-5(0),再求時(shí)間改變量/t=l—0=1.求商弟就可以得到平均速度.

S3t~t2

解(1)由于『=^=3-

.?.當(dāng)2=0時(shí)，％=3,即為初速度.

(2)/S=S⑴一S(0)=3X1—12—0=2

4-1—0=1

—/S2

■=T7=T=2-

??.從t=0至Ut=l的平均速度為2.

誤區(qū)警示本題1不要認(rèn)為方=0時(shí)，S=0.所以初速度是零.

變式訓(xùn)練1已知函數(shù)F(x)=—f+x的圖像上一點(diǎn)(一1,—2)及鄰近一點(diǎn)

(一1+」X,—2+Ay),則()

/X

A.3B.3Ax—(A)2

C.3—{Ax)2D.3—x

解析/y=F(—1+/x)—A—1)

=—(-1+Ax)2-\-(—1+Ax)—(—2)

=—(4才)2+3Ax.

Ay—Ax2+3Ax.

/.~~"=—/x~\~3

Ax/x

答案D

題型二平均變化率的快慢比較

例2求正弦函數(shù)y=sinx在0到之間及可到丁之間的平均變化率.并比

O32

較大小.

分析用平均變化率的定義求出兩個(gè)區(qū)間上的平均變化率，再比較大小.

JI

解設(shè)y=sinx在0到三■之間的變化率為左，則

0

2

JI

sin——sinO八

b3

JIJI

L

JIJI

尸sinx在不到另之間的平均變化率為k,

O乙2

JIJI

sin——sin-1

32—

則k=~=-

2JIJIJI

236

32—3—1

?k\左一>0,

JIJIJI

:.k，k%

JI3JIJI

答：函數(shù)"=51般在°到至之間的平均變化率為互,在勺到了之間的平均變

32f332-^/3

化率為,日./

JIJIJI

JIJIJI

變式訓(xùn)練2試比較余弦函數(shù)p=cosx在0到《■之間和不■到丁之間的平均變

o。乙

化率的大小.

兀八

――71..COS3-COSO

解設(shè)函數(shù)y=cosx在0至叼之間的平均變化率是ki,則ki=~

3-0

3

2n,

7T7T

函數(shù)y=cosx在1到/之間的平均變化率是k2,

JIJI

COS——cos-

3

則k=~-

2JIJIJI

~2~~3

,：k「k產(chǎn)一六3

印，

?\左>42,

JIJIJI

函數(shù)y=cosx在0到？之間的平均變化率大于在R到3之間的平均變化

O。乙

率.

題型三平均變化率的應(yīng)用

例3已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(%)=/+21+3,求物體在亡=1到亡=1

十4力這段時(shí)間內(nèi)的平均速度.

3

分析由物體運(yùn)動(dòng)方程一寫出位移變化量/s—w

解物體在/=1至U這段時(shí)間內(nèi)的位移增量

Js=s(l+^)-s(l)

=[(l+Jr)2+2(l+Jz)+3]-(l2+2X1+3)

=(4)2+4//.

物體在t=l到7=1+//這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為

/s⑷2+4/1,

獷At=4+4.

變式訓(xùn)練3—質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其位移s與時(shí)間大的關(guān)系為s(t)=/+l,

該質(zhì)點(diǎn)在[2,2+/打(/。0)上的平均速度不大于5,求/力的取值范圍.

解質(zhì)點(diǎn)在[2,2+/6上的平均速度為

—s2+/t—s2

v=-------------------

/t

[2+zlt2+1]-22+1

/t

44t+zlt2

Z7=4+21力

又yW5,.*.4+4tW5.

/t<l,又/分0,

/大的取值范圍為（0,1].

§1.1函數(shù)的單調(diào)性與極值

1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

自學(xué)引導(dǎo)

1.經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念建立的一些

實(shí)際背景.

2.了解瞬時(shí)變化率的含義，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù).

3.掌握函數(shù)/Xx)在某一點(diǎn)兩處的導(dǎo)數(shù)定義，并且會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求一些簡(jiǎn)

單函數(shù)在某一點(diǎn)荀處的導(dǎo)數(shù).

4

課前熱身

1.瞬時(shí)速度.

設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為S=S(t),如果一個(gè)物體在時(shí)刻力。時(shí)位于S"°),在時(shí)

刻io+/力這段時(shí)間內(nèi)，物體的位置增量是/S=S(io+/?—S(t°).那么位置

增量/S與時(shí)間增量/力的比，就是這段時(shí)間內(nèi)物體的,即；=

S左)+zlt-St0

當(dāng)這段時(shí)間很短，即/%很小時(shí)，這個(gè)平均速度就接近時(shí)刻大。的速度.」

力越小，y就越接近于時(shí)刻功的速度，當(dāng)［L*O時(shí)，這個(gè)平均速度的極限r(nóng)=lim

聾=lim$力。+/；.—5a就是物體在時(shí)刻布的速度即為

2.導(dǎo)數(shù)的概念.

設(shè)函數(shù)y=F(x)在區(qū)間(a,加上有定義，(a,6),當(dāng)/x無(wú)限趨近0時(shí),

比值手='吊+'：二’";無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)4這個(gè)常數(shù)/就是函數(shù)

AX/X

/1(X)在點(diǎn)X=a處的導(dǎo)數(shù)，記作F(X。)或/|x=Xo.用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為「(司)

L平均速度瞬時(shí)速度

Ao+/□)一尺0)

2.lim

名師講解

1.求瞬時(shí)速度的步驟

(1)求位移增量/S=S(t+S(t)；

——4S

(2)求平均速度r=—；

5

(4)若極限存在，則瞬時(shí)速度r=lim—

2.導(dǎo)數(shù)還可以如下定義

fAb+—fXQ

一般地,函數(shù)y=F(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是lim

0

=lim丁.我們稱它為函數(shù)尸/1(x)在x=x。處的導(dǎo)數(shù).記作/(芯)或/|x=

〃X

dx—0

兩，即f'(無(wú))=lim--=lim--------------------.

AxAx

dx—0dx—O

3.對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解

(1)“導(dǎo)數(shù)”是從現(xiàn)實(shí)生活中大量類似問(wèn)題里，撇開一些量的具體意義，單

純地抓住它們數(shù)量上的共性而提取出來(lái)的一個(gè)概念，所以我們應(yīng)很自然的理解這

個(gè)概念的提出與其實(shí)際意義.

(2)某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)在這點(diǎn)的變化率.某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念包含著兩層含義：

①lim弓上存在，則稱/'(x)在x=xo處可導(dǎo)并且導(dǎo)數(shù)即為極限值；②limq)

Ax4x

不存在，則稱F(x)在x=X。處不可導(dǎo).

(3)/x稱為自變量x的增量，zlx可取正值也可取負(fù)值，但不可以為0.

(4)令得zlx=X—Ao，于是

fX—fXQ

f'（吊）=lim-與定義中的/U)=lim

X—Xo

x一畫4L0

f兩+Ax一fXQ

?意義相同.

4.求函數(shù)y=F(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)的步驟

⑴求函數(shù)的增量：/y=F(x()+4x)—F(面)；

Ay_f苞+Ax—fx

⑵求平均變化率:0

4二/x

⑶取極限,得導(dǎo)數(shù)：￡(吊)=加生

0

典例剖析

題型一物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

例1以初速度%(口。)豎直上拋的物體，t秒時(shí)高度為S1)=%t-^gt2,

求物體在時(shí)刻大。處的瞬時(shí)速度.

分析先求出/s,再用定義求弟，當(dāng)/方一0時(shí)的極限值.

2

解：/S=詼(ta+/t)—gg(to+/t)—(Voto-jg玲=(vo—gto)/1

6

As1

???丁)=及—gG>—5g./力

r,As

當(dāng)/t->0時(shí)，乙己—Vo—gto.

故物體在時(shí)刻io處的瞬時(shí)速度為V-gtQ.

規(guī)律技巧瞬時(shí)速度V是平均速度U在/1一0時(shí)的極限.因此，y=limy=lim

A—0At-0

/S

At,

變式訓(xùn)練1一作直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間大的關(guān)系是S=51—

求此物體在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度。

解；/s=5（2+/1）一（2+/2產(chǎn)一（5X2—2?）

=At-{Ae,

As.、

r=lim-r-=lim(1—At)=1.

At

A—0A—

???物體在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為1.

題型二求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

例2求函數(shù)y=5在x=l處的導(dǎo)數(shù).

分析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本方法.

解法1/尸?1+/x—1,

./yAx-1Ax

??/x/及/xy]l+Ax+1

1

[1+/x+1

Ay11

lim——=lim/:----

Jl+7^+12

1

-2-

??yX=1

解法2（先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)值）

\Ay=y]x+Ax—^x,

./yNx+/x—也

**AxAx

7

1

y/x+/x+#'

??yy]x+Ax+y[x24

??y\x=i-

規(guī)律技巧求函數(shù)尸F(xiàn)x在x=x0處的導(dǎo)數(shù)有兩種方法：一是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定

義；二是先求導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)數(shù)值.

變式訓(xùn)練2利用定義求函數(shù)尸x+'的導(dǎo)數(shù)，并據(jù)此求函數(shù)在k1處的導(dǎo)數(shù).解

X

.../y=(x+/x)+^^—(x+!)

生二L—i―,

Axxx+Ax

,Ay

/.y'=lim——

/x

=lim[l-----------------]

xx-rx

4矛一k0

,I1

??yIx=\=1—P=O.

=Ax——

xx+/x

題型三導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

例3某物體按照s(t)=3/+2t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，求自運(yùn)動(dòng)開始到

4s時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)的平均速度和4s時(shí)的瞬時(shí)速度.

分析解答本題，可先求自運(yùn)動(dòng)開始到作時(shí)的平均速度Mt)及函數(shù)值的增

量自變量的增量/得再利用公式求解即可.

_st4

解自運(yùn)動(dòng)開始到ts時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)的平均速度V(t)=――=3t+2+~,

_4

故前4秒物體的平均速度為r(t)=3X4+2+-=15.

由于/s=3(t~\~/t)2+2(t~\~/力)+4—(3方?+2方+4)

=(2+61)/1+3(/t)29

As

.??下~^=2+6匕+3/t.

8

./s

/.limN^=2+6%.

ALO

/.4s時(shí)物體的瞬時(shí)速度為2+6X4=26.

規(guī)律技巧導(dǎo)數(shù)的物理意義：

1若已知位移S與時(shí)間力的函數(shù)關(guān)系s=st,則在右時(shí)刻的瞬時(shí)

速度V=s'to;

2若已知速度y與時(shí)間力的函數(shù)關(guān)系r=rt,則在花時(shí)刻的瞬時(shí)

加速度a=v't0.

變式訓(xùn)練3豎直上拋一小球，其位移與時(shí)間的關(guān)系為力1)=1002—巴

試求小球何時(shí)瞬時(shí)速度為0(產(chǎn)9.8).

解小球的運(yùn)動(dòng)方程為h{t}=100L

/./h=[100(1+/1)一]g(t+At)2}—(100力

Ah

=lim--=100—

At^O

/口100100,、

令A(yù)100—g亡=0,得t=---=丁^?10.2(s).

g9.8

因此，小球被上拋10.2s時(shí)速度變?yōu)?.

L：g(/力2.

100At—gtA

例4已知質(zhì)點(diǎn)〃按規(guī)律s=a/+3(單位：cm)做直線運(yùn)動(dòng)，且質(zhì)點(diǎn)〃在大

=2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8cm/s,求a的值.

分析這是一道逆向思維的題目，知導(dǎo)數(shù)s'|厘=8,求系數(shù)a,先對(duì)s求

導(dǎo)，可得含a的方程.解出a即可.

解zls=a(2+/0*+3—(a?22+3)

=4a?At+a(zlt)2

As

lim2^=1im(4a+a?At)=4a.

A-A—0

依題意有4a=8,.\a=2.

變式訓(xùn)練4已知_f(x)=ax+4且尸(1)=2,求實(shí)數(shù)a的值.

解zly=Al+^x)—AD

=a(l+Ax)+b-(a+Z?)

=aAx.

9

Ay

/LO4LO

又f（1）=2,a=2.

§1.1函數(shù)的單調(diào)性與極值

1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

自學(xué)引導(dǎo)

1.通過(guò)函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

2.會(huì)求函數(shù)在點(diǎn)（xo,刈）處的切線方程.

課前熱身

1.幾何意義：F（x）在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)/（X。）即為/1（X）所表示的曲線在x=

Xo處的切線的斜率，即A=F（Xo）—1im

f吊+Ax-fXQ

??過(guò)點(diǎn)a,a為））的切線方程為

Ax

2.物理意義：如果把函數(shù)看作是物體的運(yùn)動(dòng)方程（或叫位移公式），

那么導(dǎo)數(shù)/（m）表示運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻6的速度，即在吊的.即vx.=f'

Ay

（吊）=lim——.

/x

3.如果/"（x）在開區(qū)間（a,加內(nèi)每一點(diǎn)x的導(dǎo)數(shù)都存在，那么稱f（x）在區(qū)間

（a,加內(nèi)可導(dǎo).這樣對(duì)開區(qū)間（a,6）內(nèi)每一個(gè)值x,都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)/

（x）,于是在區(qū)間（a,而內(nèi)/（x）構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)

y=F（x）的,記為,簡(jiǎn)稱為,今后，如不特別指明某

一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)數(shù)就是指求導(dǎo)函數(shù).

1.y—AAo）=f'（Ao）（X-Xo）

較

2.瞬時(shí)速度

13.導(dǎo)函數(shù)f'（x）（或/八/）導(dǎo)數(shù)

10

名師講解

1.“函數(shù)/1（十）在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)”三者之間的區(qū)別與聯(lián)

系：

“函數(shù)f（x）在點(diǎn)而處的導(dǎo)數(shù)”是一個(gè)數(shù)值；“導(dǎo)函數(shù)”簡(jiǎn)稱“導(dǎo)數(shù)”，是一

個(gè)函數(shù).所以求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般是先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算這

點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值.

2.可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程.由于函數(shù)丁=/5）在十=位處的導(dǎo)數(shù),

表示曲線在點(diǎn)月（孫/U））處的切線的斜率.因此，曲線y=f（x）在點(diǎn)PU;/U））

處的切線方程可如下求得：

⑴求出FU）,則/（就就是點(diǎn)夕（如FG））處的切線的斜率.

（2）代入直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為

y—AAo）=f'（Ao）（X-Ao）.

如果曲線y=F（x）在點(diǎn)PU,H荀））處的切線平行于y軸時(shí)（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存

在），切線方程為X=X0.

典例剖析

題型一求曲線上某點(diǎn)處的切線方程

例1已知曲線C-.y=x.

（1）求曲線。上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程；

（2）第⑴小題中的切線與曲線。是否還有其他的公共點(diǎn).

分析先求出函數(shù)在x=l處的導(dǎo)數(shù)，即切線的斜率，然后寫出切線

方程，最后列方程看交點(diǎn)個(gè)數(shù).

解（1）將x=1代入曲線。的方程得y=L

...切點(diǎn)尸（1,1）.

,Ay

??丁=lim――

0

x+Ax3-x

=lim------:-------

/x

3xAx~\-3xAx2+Ax3

=lim------------;-------------

/x

=lim[3y+3x/x+（4x）1=3x,

O

=

y'IA'=l3.

??.過(guò)夕點(diǎn)的切線方程為y—1=3（X—1）,

即3x—y—2=0.

尸3X~1+1

⑵由＜可得

尸_X3

11

(^―1)(/+x—2)=0,

解得苞=1,涇=—2,

從而求得公共點(diǎn)為/（1,1）或/（一2,-8）.

說(shuō)明切線與曲線。的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另外的公共點(diǎn).

規(guī)律技巧先求出函數(shù)y=Fx在萬(wàn)=質(zhì)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在該點(diǎn)處的切線

斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式便可求出切線方程.

變式訓(xùn)練1求雙曲線y=:在點(diǎn)（；，2）處的切線的斜率，并寫出切線方程.

…1

解

y=~X,

11

Ayx+AxX

/.k=lim—-=lim------;------

—11

=1im2?4-=一—2.

x-rxAxx

dx—0

.?.當(dāng)x=；時(shí)，A=—4,...切線斜率為N=-4.

切線方程為y—2=—4（x—；）,

即4^+y—4=0.

題型二求過(guò)某點(diǎn)的切線方程

例2求拋物線過(guò)點(diǎn)（,6）的切線方程.

分析點(diǎn)份，6）不在拋物線上，先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線的斜率，利用等

量關(guān)系，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后寫出切線方程.

解設(shè)此切線在拋物線上的切點(diǎn)為（兩，言），則

,,兩+Ax2一岔/,、

y|x=Xo=lim---------------------=lim（2茍+/3）=2荀,

〃x

ZLO

￡一6

―^=2荀，即芯一5苞+6=0,解得

5

XL]

吊=2,或吊=3.

12

即切線經(jīng)過(guò)拋物線尸系上的點(diǎn)(2,4),(3,9).

故切線方程分別為

y—4=4(^—2),y—9=6(jr—3),

即4x—或6x—y—'9=0為所求的切線方程.

規(guī)律技巧求切線方程時(shí)，注意兩種說(shuō)法：一是在某點(diǎn)處的切線方程，此時(shí)點(diǎn)

在曲線上，且以此點(diǎn)為切點(diǎn)；二是過(guò)某點(diǎn)的切線方程，如本例，此時(shí)求解時(shí)，首

先要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解.

17

變式訓(xùn)練2求拋物線/=不^過(guò)點(diǎn)(4,/的切線方程.

解設(shè)切線在拋物線上的切點(diǎn)為(苞，；點(diǎn)，

1,212

%茍+/x-

??|x^~XQ—1imT

〃x

,11.1

=lim(-Ao+-/x)=-Ao.

dx—0

12_z

.F。4]

,,Xo-4=2X°,

即岔一8不)+7=0,

解得荀=7,或苞=1,

即切線過(guò)拋物線上的點(diǎn)(7,￥)，(1,；),

故切線方程分別為

497,、-11,、

y-T=](x—7),或y—i=](x—1),

化簡(jiǎn)得14x—4y—'49=0,或2x—4y—1=0,

此即所求的切線方程.

題型三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用

例3求曲線尸X?在點(diǎn)⑶9)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積.

分析由題設(shè)知切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形為直角三角形，故需求出切線

方程及其在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形面積公式計(jì)算.

解zly=(3+zlx)2-32

=64x+{Ax)11,

Ay

:.f⑶=lim2一=lim(6+Ax)=6.

/x

/L04L0

13

???點(diǎn)⑶9)處的切線方程為y—9=6(x—3),

即尸6X一9.

切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(5,0),(0,-9).

??.切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為

1327

5=2X2X9="

變式訓(xùn)練3在曲線y=系上求一點(diǎn)P，使過(guò)點(diǎn)尸的切線與直線y=4x—5平行.

解設(shè)以孫就，

則f'U)=lim

Ax

x-\-AX2-XQ/,、

=lim----Q----------=lim(2吊+Ax)=2x.

/xQ

4L0

由題意可得

2為=4,.\x0=2.

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,4).

§1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

1.2.1幾種常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

自學(xué)引導(dǎo)

1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，會(huì)求函數(shù)/=小尸X,y=x,y=x,y=~,/=胃的

X

導(dǎo)數(shù).

2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的

導(dǎo)數(shù).

課前熱身

1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

(1)F(x)=cf'(x)=________

(2)F(x)=x"(〃GQ)f'(x)=________

(3)f{x}=sinxf'(x)=________

(4)f{x)=cosxf'(x)=________

(5)f(x)=af'(x)=________

14

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

(6)f(x)=e"f'(x)=________

(7)F(x)=logaxf'(x)=________

(8)f(x)=lnxf'(x)=________

2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.

(1)[/(A)±g(x)]'=

(2)[F(X)?g(x)]'=

l.(l)O

(2)nxnl

⑶cos%

(4)-siiix

答

(5)/lna(a>0)

案

⑹e"

1-

⑺加產(chǎn)①且。ND

齪

2.(1)/(x)±g'(x)

答(2)/(x)g(x)+?g,(x)

案(x)g(x)—7(x)g'(x)

(g(x)WO)

[ga)]2

15

名師講解

(3)公式中〃GQ,但對(duì)于公式也成立.

(4)特別注意〃為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，求導(dǎo)不要搞錯(cuò).如

2.兩函數(shù)和差的求導(dǎo)法則的推廣

(1)"(X)土g(x)r-f(X)±g'co

此法則可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形.[f；(x)土石(X)±…±￡(x)r=

(x)土五'(X)±",±￡/(x).

(2)[af(x)±6g(x)「=af'(x)±bg'(x)(a,6為常數(shù)).

3.兩函數(shù)商的求導(dǎo)法則

fX1f'XgX-fXg'

(g(x)WO),

|_gX」gX

1g'x

當(dāng)f(x)=1時(shí)，則有------'=---2-----(g(x)wo).

|_gx」gx

這是一個(gè)函數(shù)倒數(shù)的求導(dǎo)法則.

4.求導(dǎo)運(yùn)算的技巧

在求導(dǎo)數(shù)中，有些函數(shù)表示形式很復(fù)雜，直接求導(dǎo)比較困難，但經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整

理，有可能很簡(jiǎn)單，這時(shí)再求導(dǎo)可能很簡(jiǎn)便，也就是說(shuō)，先把復(fù)雜式子化簡(jiǎn)后再

求導(dǎo)，減少運(yùn)算量.

題型一求導(dǎo)函數(shù)

例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=x12；

(2)y=A;

X

(3)y=工.

分析這三個(gè)小題都可歸為/類，用公式8”=〃x"T完成.

典例剖析

解(1)/=(x“”=12/T=12X”.

⑵/=(5=(尸”-L

16

變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

⑴/1(￡)=10：

(2)F(x)=log2x；

⑶g(t)=e1

解⑴F(x)=(10?=10vlnl0.

(2)f'(x)=(log4)'=—

xln2

(3)g,(t)=(e'),=e1

題型二求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

例2⑴求函數(shù)尸a，,在點(diǎn)尸(3,f(3))處的導(dǎo)數(shù);

(2)求函數(shù)y=lnx在點(diǎn)0(5,ln5)處的導(dǎo)數(shù).

分析先按求導(dǎo)公式求出導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值.

解⑴?.?尸a",

/.y'=(/)f=alna,

則L=3=a3lna.

(2)Vy=In^-,/.y'—(Injv)'=-.

x

則_/L=5=1.

o

規(guī)律技巧求函數(shù)在某定點(diǎn)點(diǎn)在函數(shù)曲線上的導(dǎo)數(shù)，一般過(guò)程是：①先求導(dǎo)

函數(shù)；②把定點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)值.

變式訓(xùn)練2求下列函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

(l)y=logax,x=2；

JI

(2)y=cosx,jr=—；

(3)y=2x+^/x,x=l；

JI

(4)p=sinx,A-=—

解(1)Vy=loga^,：.y'=^—.

xLna

則y'=

I^=29zl-|na.

⑵?.?_/=cosx,y'=—sinx

,,JIJI\2

則/I_sinY=-2,

17

(3)*/y-2%3+&,y-+—x

119

則/L=I=6+o-=—o

(4)?.?y=sinx,/.y'=cosx

JIJI1

則y'I=cos—=-

題型三利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)

例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=x?sinx+cosx；

/、Inx

(2)y=-7；

x十1

(3)f(x)=(/+1)(2T+8^—5)；

分析對(duì)于（1）、（2）可以利用公式直接求導(dǎo)，（3）、（4）先化簡(jiǎn)再求導(dǎo).

解(l)yz=(*sinx+cos^)'

=(*sinx)'+(COSA)F

=2xsinx+/cosx—sinx

=(2^-1)sin^+^cosx

/、，/Inx、,

⑵「R

~x+1-Inx1—lnjr+-「

xxx—xlnx+1

=x+12-=Hi2=*x+12

⑶??"(x)=(T+1)(2X+8T-5)

=2x+8y—5^~\-2x+8x—5

f(x)=(2f+8/—5f+2系+8x—5)，

=10y+32系-15/+4x+8.

1+^/^2+221+x_____

1一xxx1一x

44'x—4x

"5)==—2)，

規(guī)律技巧運(yùn)用求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式求可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一定要先分析函數(shù)P

=Hx）的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)于直接求導(dǎo)很繁瑣的，一定要先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo).

18

變式訓(xùn)練3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）尸tanx；

,、1,1

⑵尸F(xiàn)中；

XX

（3）y=l+sin-cos-；

x

(4)y-----2X

x+1

—/、sinx

解⑴尸tanx=其嬴,

sinx)/sinxcosx一sinxcosx

??y2

cosxCOSX

cos2x+sin/1

22?

COSXCOSX

2

(2)Vj

x

2-21-x2

??y2?

Xx2X

XX1

(3)Vy=1+sin-cos-=1+-sin^,

(l+；sinx)’1

??y-COST.

V

⑷一E"3

x+1-X

2,ln2

x+12?

i+r^-2^2-

題型四求切線方程

例4求過(guò)點(diǎn)（1,—1）的曲線y=f—2x的切線方程.

分析點(diǎn)（1,—1）雖然在曲線上，但它不一定是切點(diǎn)，故應(yīng)先求切點(diǎn).

解設(shè)以孫先）為切點(diǎn)，則切線的斜率為/（為）=3/—2,故切線方程為

p-K=（3^—2）（X—XQ）,

即y~（五一2兩）=（3^0—2）（x—xo）,

又知切線過(guò)點(diǎn)（1,—1）代入上述方程，

得一］一（摩一2五）=（3岔一2）（1一茍）,

解得芯=1,或茍=一也

19

17

，切點(diǎn)為(1,—1)或(一J,?).

Zo

故所求的切線方程為y+1=x—1,

-75/,1、

或y—§=—，

即x—y—2=0,或5^+4y—1=0.

規(guī)律技巧1在求曲線的切線方程時(shí)，注意兩個(gè)“說(shuō)法”：求曲線在點(diǎn)

產(chǎn)處的切線方程和求曲線過(guò)點(diǎn)刀的切線方程.在點(diǎn)尸處的切線，一定是以點(diǎn)P為

切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)夕的切線，不論點(diǎn)夕在不在曲線上，點(diǎn)刀不一定是切點(diǎn).

2求過(guò)點(diǎn)尸的曲線的切線方程的步驟為：先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為孫先

,然后寫出切線方程y—%=/芯x—而，代入點(diǎn)夕的坐標(biāo)，求出

Ao,y0,再寫出切線方程.

變式訓(xùn)練4已知曲線3x,過(guò)點(diǎn)(0,16)作曲線的切線，求曲線的切線方

程.

解設(shè)切點(diǎn)為(X,%),則切線的斜率

k=y'lx=Xi=34—3,

???切線方程為尸(3/—3)x+16.

又切點(diǎn)在切線上，

.?.%=(3^—3)Xi+16.

A?—3AI=(3A?—3)XI+16,

解得Ai=-2.

切線方程為尸9x+16,

即9x—y+16=0

§1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

1.2.2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

自學(xué)引導(dǎo)

能利用出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單的復(fù)合

函數(shù)(僅限于形如Hax+加)的導(dǎo)數(shù).

課前熱身

1.復(fù)合函數(shù)的概念.

一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=F(u)和u=g(x),如果通過(guò)變量u,y可以表示成

x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，記作

20

2.復(fù)合函數(shù)尸F(xiàn)(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=F(u),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系

為.即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

答1.y=Au)u=g(x)y=f(g{x))

案2.y'*=/“-u',

名師講解

L求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是處理好以下幾個(gè)環(huán)節(jié)

(1)中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)；

(2)關(guān)鍵是正確分析出復(fù)合過(guò)程；

(3)一般從最外層開始，由外及里，一層層地求導(dǎo)；

(4)善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體；

(5)最后結(jié)果要把中間變量換成自變量的函數(shù).

典例剖析

2.求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法步驟

(1)分解復(fù)合函數(shù)為基本初等函數(shù)，適當(dāng)選擇中間變量；

(2)求每一層基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

(3)每層函數(shù)求導(dǎo)后，需把中間變量轉(zhuǎn)化為自變量的函數(shù).

題型一復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法

例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=(l-3x)4；

(2))/=cosx2；

兀

(3)尸sin(2L1)；

(4)y=dl+f.

分析注意中間變量的選取，分層求導(dǎo).

21

解(1)令”=1—3x9則y=-匕

ti

1-

.".yu=4M5,u'x=—3.

f—512

--yx=yuUX=12M=(］一3兀)5.

(2)令M=%2,則丁=8$小

?*yfr=y'u'U1為=sinw>2x

=-2xsinx2.

?兀I

(3)令M=2X-則y=sinM,

??y1x=y'wit'x=cosw,2

71

=2cos(2x—2).

1

c2

(4)令"=l+f,則y=",

1

,,,1-2

??y.x=yu'Ux=~^u-lx

2x

規(guī)律技巧求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，對(duì)于分式型的可化

為嘉的形式求導(dǎo)，關(guān)鍵選好中間變量.最后將中間變量代回到原自變量的函數(shù).

變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

,、1

⑴尸l+3x5；

c兀

(2)y=sin(Y——)；

0

(3)y=ln(lnx)；

2

⑷尸"

解⑴令u=l+3x,則y