2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷二（解析版）

高考全真模擬卷二（新高考卷）

數(shù)學(xué)

考試時間：120分鐘；試卷滿分：150分

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1.已知集合A={x|2'<4},8=1小/T斤41},貝B=（）

A.（0,2）B.[1,2）C.[12]D.（0,1）

【答案】B

【分析】化簡集合A和B,即可得出AnB的取值范圍.

【詳解】解：由題意

在4=局2'<4},8=W1]中，A=[x\x<2],B=[x\l<x<2\

：.AcB={;r|14x<2}故選：B.

2.若i（2-z）=l,貝!|z+z=（）

A.1B.2C,3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)Z,即可求解作答.

111.（一訃

【詳解】由i（2-z）=l得：2-Z-，即Z=2—=2-「=2+i,則j2-i,

111,（—1）

所以z+1=（2+i）+（2-i）=4.故選：D

3.定義區(qū)表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[0』=。，[L8]=l,卜1,1]=-2.若數(shù)列{叫的通項公式為

??=^^eN*）,前"項和為S"，則滿足不等式S.W93的〃的最大值為（）

A.32B.33C.34D.35

【答案】B

【分析】根據(jù)因表示不超過x的最大整數(shù)，分別計算1<n<5f6<n<10,16<〃<20,21<n<25,

26<?<30,31W35時，。”的值，從而可求得結(jié)果

九一

【詳解】因為4=[-1,

所以當(dāng),〃eN*時，%=。；

當(dāng)6W〃V10,〃eN*時,??=!；

當(dāng)11V“V15,〃eN*時，4=2；

當(dāng)164〃<20,〃eN*時，%=3;

當(dāng)21V/V25,“eN*時，4=4;

當(dāng)26<〃<30,〃eN*時，%=5;

當(dāng)31V〃V35,“eN*時，a?=6.

又因為5x(0+l+2+3+5)+3x6=93，所以-=33,故選：B.

4.已知平面向量”(1,3),人=(-3,4),"=(7,2),則下列結(jié)論正確的是()

A.a-b=-15B.卜+b+c"石

C.6與a的夾角為鈍角D.q+6與c垂直

【答案】D

【分析】對于A直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算判斷；對于B利用向量模的公式來計算判斷；對于C通過

計算(a+與。的正負(fù)來判斷；對于D通過計算(。+切。的值來判斷.

【詳解】對于A：a-b=-3+12=9,A錯誤；

對于B:卜+6+4=|(5,9)|=，25+81=標(biāo),B錯誤；

/\/\\a+b\-a

對于C：(?+^).?=(-2,7).(1,3)=-2+21=19,則cos(a+6,a)=，故a+匕與。的夾角不為鈍角，

C錯誤；

對于D:(?+fo).c=(-2,7)-(7,2)=-14+14=0，則+6)，c,D正確；故選：D.

5.現(xiàn)有5張卡片，其中有2張印有“立”字,其余3張分別印有“德”、“樹”、“人”.將這5張卡片隨機排成

一行，則恰有連續(xù)4張卡片從左往右依次為“立”、“德”、“樹二“人”的概率為()

A.—B.—C.—D.—

60302010

【答案】B

【分析】將這5張卡片隨機排成一行共有10x6=60種方法，恰有連續(xù)4張卡片從左往右依次為“立”、“德二

“樹”、“人”的情況有2種方法，再由古典概型可得答案.

【詳解】將這5張卡片隨機排成一行，分兩步進(jìn)行：

首先選兩個位置為“立"，共有C=1。種方法；

其次另外三個位置，將“德”、“樹”、“人”全排列，共有A；=6種方法，

所以將這5張卡片隨機排成一行，共有10x6=60種方法，

恰有連續(xù)4張卡片從左往右依次為“立”、“德”、“樹”、“人”的情況有：

“立”、“立二“德”、“樹”、“人”；“立”、“德二“樹”、“人”、“立”，共兩種，

21

所以恰有連續(xù)4張卡片從左往右依次為“立”、“德”、“樹”、“人”的概率為壽=正，

oU3U

故選：B.

6,設(shè)甲：3sinacos(a+;0)=sin(2cr+P),乙:tan(a+#)=2tan。,則甲是乙的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】B

【分析】利用角的變換2e+A=(a+0+a，結(jié)合三角恒等變換及充分、必要條件的概念進(jìn)行判斷即可.

【詳解】當(dāng)3sinacos(a+/?)=sin(2a+6)時，即

sin(2cr+尸)=sin[(cr+/7)+2]=sin(6z+/3)cosa+cos(o+p)sina=3sinacos(a+p),

貝(jsin(a+/?)cosa=2sinacos(a+/?),

當(dāng)cos(a+p)cosaw。時，兩邊都除以cos(a+￡)cosa,

_sin(a+￡)2sina/八、八

得---------=------gntan(or+8)=2tana.

付cosQ+尸)cosa，即、-

當(dāng)cos(cr+/3)cosa=0時，不能得出tan(^z+尸)=2tana,

所以，由甲不一定推出乙.

ac、-.sin(a+￡)2sincr

當(dāng)tan(a+#)=2tana時，即醞77ro

兩邊都乘以cos(a+/?)cosa，得sin(a+/7)cosa=2sinacos(a+p),

兩邊都加上cos(a+0sincr/^sin(a+/7)cosa+cos(a+/7)sina=3sinacos(a+A),即

sin(2a+￡)=3sinacos(a+4).

所以，由乙可推出甲?所以，甲是乙的必要非充分條件.故選：B.

7.已知某圓錐的軸截面是頂角為120。的等腰三角形，母線長為4,過圓錐軸的中點作與底面平行的截面,

則截面與底面之間的幾何體的外接球的表面積為（）

A.64兀B.96KC.112KD.144TI

【答案】C

【分析】作出圓錐的軸截面，知截面與底面之間的幾何體為圓臺，然后求出圓臺的高與底面半徑，討論球

心在圓臺兩底面之間與圓臺兩底面在球心同側(cè)這兩種情況，利用勾股定理建立方程求出球的半徑，從而由

球的表面積公式求得結(jié)果.

【詳解】第一步：確定截面與底面之間的幾何體的結(jié)構(gòu)特征如圖，

H

等腰三角形SAB是圓錐的軸截面，SE是圓錐的軸，截面圓、底面圓的半徑之比為1:2.

設(shè)截面圓、底面圓的半徑分別為r,2rf

因為軸截面是頂角為120。的等腰三角形，母線長為4,且由題意知截面與底面之間的部分為圓臺，

所以圓臺的高為2-1=1,r=g,2r=2g.

第二步：求外接球的半徑

易知球心在直線SE上，設(shè)圓臺外接球的半徑為R,球心到圓臺下底面的距離為x,

女=/+(2石y

若球心在圓臺兩底面之間，如圖點M的位置，則2/L,2，無解；

R2=(l-x)~+(石)

爐=/+僅

若圓臺兩底面在球心同側(cè)，則球心在如圖點O的位置，

R2=(1+域+(南

解得x=4，則R=2A/7,

第三步：求外接球的表面積。則該圓臺外接球的表面積為4成2=112兀.故選：C.

【點睛】求解外接球問題的關(guān)鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據(jù)不外乎球心的兩個特性：一

是球心到球面上各點的距離都等于半徑；二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面(球的截面圓性質(zhì))，由

此出發(fā)或利用一些特殊模型即可確定外接球的球心.

x,0<x<1勺

8.設(shè)是定義在R上且周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<2時，/?=2—x,l<x<2'q

g(x)=/(x)+/(x+l),則函數(shù)y=g(x)的最大值為()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】求得g(x)在［-2,2］上的解析式，結(jié)合周期性以及圖象求得g(x)的最大值.

【詳解】依題意，〃尤)是定義在R上且周期為4的奇函數(shù)，

所以g(x+4)=/(x+4)+/(x+l+4)=〃x)+〃x+l)=g(x),

所以g⑺是周期為4的周期函數(shù).

當(dāng)一lVx<0時，0<-x<l,f(x)=-f(-J：)=-(-x)=x.

當(dāng)一2Vx<—1時，1<—x<2,f(.X)=—f(--^)=—(2+x)=-x—1.

—X—2,—2Wx<—1

x,-l<x<0

所以/(》)=

x,0<x<1

2-x,l<x<2

-(x+l)-2,-2<x+l<-l

x+1,—1Wx+1<c0

所以/(x+D=

x+l,O<x+l<l

2-(x+l),l<x+l<2

—x—3,—3<x<一2

x+1,—2?x<—1

x+1,-1<x<0

—x+1,0<xV1

當(dāng)1<%W2時，2<x+lV3,-2<(x+l)-4<-l,

/(x+l)=/(x+l—4)=/(X—3)=—(X_3)_2=T+1,

x+1,—2Wx<-1

x+1,-1<x<0

所以/(x+D=

-x+1,0<x<1

-x+1,1<x<2

-1,-2<x<-1

2x+l,-l<J;<0

所以g(無)="x)+〃尤+1)=<

1,0<X<1

-2x+3,1<x<2

畫出g(X)在區(qū)間［-2,2］上的圖象如下圖所示，

結(jié)合g(x)的周期性可知g(x)的最大值為1.故選：A

【點睛】本小題主要的難點在于求g（x）的解析式，采用的是結(jié)合函數(shù)的周期性、奇偶性來進(jìn)行求解.利用函

數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，要注意取值范圍，還要注意結(jié)合奇偶性的定義.要合并兩個函數(shù)，要注意自變

量對應(yīng)的范圍要相同.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）

9.已知函數(shù)/（x）=sinox+cosau（0＞。）圖象的最小正周期是"，貝（］（）

A.的圖象關(guān)于點）寸稱

B.將的圖象向左平移7個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于了軸對稱

O

c.“X）在o,j上的值域為

D./（元）在一2,0上單調(diào)遞增

【答案】ABD

【分析】利用賦值角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出。，即可得到函數(shù)的解析式，由正弦

函數(shù)的對稱性可判斷A；由函數(shù)圖象的平移變換，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B;根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)

的性質(zhì)直接求解可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性通過解不等式可判斷D.

【詳解】解：因為/(%)=sinGx+c°SGx=0sin[Ox+f

27r

函數(shù)的最小正周期是"、：.T=兀=一，

CD

60=2,/(x)=^2sin^2x+—f

W=sin〔2xg+dsin〃=。，“⑺關(guān)于住，。［對稱，故A正確.

/［尤+/J=7Isin（2尤+|^=0cos2x,二/［尤+?］關(guān)于＞軸對稱，故B正確.

當(dāng)時，有042x0,則+,所以一5Wsin，x+?）V1,

,故C錯誤.

.TC_TCTC371

由于解得—一4二

34■rrjrTC

所以“X）的一個單調(diào)增區(qū)間為一三言，而-1，0￡，

???“X）在-?，0上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD

10.已知拋物線C:x2=2py（p＞0）的焦點F到準(zhǔn)線的距離為4,過尸的直線與拋物線交于A臺兩點，〃為

線段AB的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為尸-2

B.^3AF=FB,則直線48的傾斜角為30

C.若|AB|=16,則點M到x軸的距離為8

D.4|AF|+|BF|..18

【答案】AD

【分析】根據(jù)拋物線的圖象與幾何性質(zhì)，拋物線焦點弦性質(zhì)逐個解決即可.其中對于D,

）BF）

41,4司,+忸,司一,2（z咻,州,+,1明,j/的1+忸1"一21/5++4?即|AF|＞18.

【詳解】對于A,易知。=4,從而準(zhǔn)線方程為、=-2,故A正確；

對于B,如圖分別過A3

兩點作準(zhǔn)線）=-2的垂線，垂足分別為A，耳，過A點作8瓦的垂線垂足為點

由于3AF=EB,不妨設(shè)依尸|=『，則|皮1=3f,

由拋物線的定義易知：.\BB\=3t,\BH\=2t,

在直角ABH中，ZBAH=30,

此時A3的傾斜角為30,

根據(jù)拋物線的對稱性可知，A3的傾斜角為30或150，故B錯誤；

對于C,

點M

2'2

由拋物線的定義知，|詼|+忸尸|=X+2+%+2=16,

所以有％+%=12,

所以M到，軸距離咤匹=6，故C錯誤；

1121

對于D,由拋物線定義知的+國=5=5，

所以4|盟+即=2（4|盟+網(wǎng)）島+向卜2卜需+瑞卜8,

11.如圖，在正方體ABCD-A4GA中，以下結(jié)論正確的是（）

B.與C_L平面A5Q

D.直線82與平面ABCD所成角的正弦值為?

C.異面直線2,與2C所成的角為60°

【答案】ABD

【分析】根據(jù)正方體的特征和性質(zhì)，線面平行、線面垂直的判定、異面直線所成的角和直線與平面所成的

角，逐項進(jìn)行分析即可求解?

【詳解】對于A:在正方體ABCD-ABCQ中，A用〃AB，又A與（Z平面AB，，ABu平面”2,所以A型/

平面"A,故A正確；

對于B：連接4。，

易知AOLAR,AQ瓦C,所以,因為平面8CC4,B（u平面8CC4,所以AB,4c,

又AAcAB=A，所以4C,平面AB?,故B正確；

對于C：易知直線用。，平面ABD一所以B.C18。，所以異面直線BD「與BiC所成的角為90。，故C錯誤;

對于D：連接BD,

易知，平面ABCD所以直線股與平面ABCD所成的角力功皿，設(shè)正方體的棱長為1則叫=6,

1_73,所以直線B?與平面ABCD所成角的正弦值為辛，故D正確.故

在中，sin/DBD]=

3=T

選：ABD.

12.已知集合卜,+ax+b=0,a>0］有且僅有兩個子集，則下面正確的是（）

A.a2-b2<4

21,

B.a2+->4

b

C.若不等式尤2+ax—Z?<0的解集為（玉,％2）,貝（］玉%2>°

D,若不等式12+QX+"vc的解集為（%,％2），且|大一九2|=4，則c=4

【答案】ABD

【分析】根據(jù)集合舊f+分+人=0,々>0｝子集的個數(shù)列方程，求得。，6的關(guān)系式，對A,利用二次函數(shù)性質(zhì)

可判斷；對B,利用基本不等式可判斷；對CD,利用不等式的解集及韋達(dá)定理可判斷?

【詳解】由于集合｛尤忖~^ax+b=O,a>。｝有且僅有兩個子集，所以A=a2-4b=0,a2=4b,

由于。>0，所以

A,a2-b2=4b-b2=-^-2^+4<4,^b=2,a=2y［2時等號成立，故A正確.

B,+、鼠［=4,當(dāng)且僅當(dāng)==0時等號成立，故B正確.

bb\bb2

Cf不等式爐+ax-b<0的解集為（X，尤2）i玉々=<0,故C錯俁.

D,不等式尤2+4尤+6<。的解集為（外,工2）,即不等式-c<0的解集為（玉,9）,且|%-%|=4,則

xx+x2=-a,占尤2=b-c,

22

則W-x,|=（%,+々）~-4-X（X2=a-4（Z?-c）=4c=16,.'.c=4,故D正確,故選:ABD

第H卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（10Q2）,若p（ll<X<12）=0」，則p（x<8）+尸（10<X<n）=

【答案】0.4

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性進(jìn)行求解.

【詳解】由題可知：P（8<X<9）=2P（ll<X<12）=0.1,

P（10<X<ll）=P（9<X<10）,

所以P（X<8）+P（10<X<ll）=P（X<8）+P（9<X<10））=0.5-P（8<X<9）=0.4.

故答案為：04

14.過點。,0)作曲線y=e兇的兩條切線，則這兩條切線的斜率之和為.

【答案】e2T

【分析】考慮》>。與XV。時，設(shè)出切點坐標(biāo)，求出相應(yīng)的切線方程，將。，0)代入，得到相應(yīng)的斜率，相

加得到答案.

【詳解】x>0時，y=e',設(shè)切點,

則歹=e'*=e為，切線(：廣爐="(xf)過(1,0),

二.一e'二d(1—石)，.二玉=2,左1=e?,

X2

XV0時，y=e-*,切點(孫ef),y'=-e^,k2=-e-,

切線4：y-ef=-「(彳-々)過(1,0)=--(1-9)，

2

.-.x2=0,k2=-l,故K+e=e2-l.故答案為：e-l.

15.若關(guān)于x的方程工7=履+2只有一個實數(shù)根，則實數(shù)4的取值范圍是______.

【答案】(e,-l)u{0}u(l,y)

【分析】畫出函數(shù)y=的圖象，利用函數(shù)與方程思想根據(jù)方程只有一個實數(shù)根可知y=丘+2與

y=A/4^7的圖像只有一個交點，利用數(shù)形結(jié)合即可求得實數(shù)k的取值范圍.

【詳解】由題意可知，令/(x)=y="T，，整理可得/+產(chǎn)=4(/0),

所以，〃x)="37表示的圖象是以(。，0)為圓心，半徑廠=2的上半圓，如下圖中實線部分所示；

同時根據(jù)y=履+2可得，直線恒過(0,2),

由“關(guān)于x的方程斤7=kx+2只有一個實數(shù)根''可得>=履+2與>=的圖像只有一個交點，

所以y=爪+2的圖象應(yīng)在y=尤+2繞點(0,2)沿逆時針旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)=-尤+2的區(qū)域內(nèi)；

根據(jù)直線斜率的幾何意義可得左e(l,1)；

當(dāng)％=0時，直線），=履+2表示為y=2,如圖中細(xì)虛線所示，此時兩圖象相切于點（0,2）,滿足題意；

綜上可得，上=0或丘（1,小,

所以實數(shù)k的取值范圍是故答案為：（—,-1）“0}31,笆）

22

16.已知橢圓。：彳+%=1（。＞6＞0）的左、右焦點分別為片，K，點P&,%）,Q（一加f）在橢圓C上，

ab

其中%＞0,X＞0,若|P0=2|O閶，I辟12g，則橢圓c的離心率的取值范圍為.

【答案】（―,73-1]

2

【分析】設(shè)「片=仙PF.=m,由已知得到場的范圍，再由橢圓的定義得到n,m間的關(guān)系，代入、換元，

n

求出e的范圍.

【詳解】設(shè)「片="，P6=m,由玉＞0,%＞。，知根,

因為P,Q在橢圓C上，|尸。|=2|0閶，

所以四邊形咫。鳥為矩形，QF\=PF]；

4QF、布_V3mi

由正之彳，可Z得B*《一＜1，

U尸i33n

由橢圓的定義可得〃z+〃=2a,n2+m2=4c2①，

平方相減可得7切=2（片一。2）②，

22

4c2m+nmn

由①②得=—i—

2(/—2)mnnm

、

mnm包1

—G

nmn3

所以f=v+'2,竽，即2<丫24竽,

u(3J2(a-c]3

所以c2<c2w￥(/—02),

所以Le2<e2V專(1一/),所以;<e2<4-2出，解得曰<小6-1.

(應(yīng)r-1

故答案為：千，6-1.

四、解答題(本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.已知數(shù)列｛風(fēng)｝中，4=8,且滿足-=5%-23.

⑴證明：數(shù)列｛%-3〃｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若々=〃(％-3"),求數(shù)列｛2｝的前〃項和二

【答案】⑴證明見解析；。,=3"+5"

5+(……

"16

【分析】(1)等號兩邊同時減去3用，用定義即可證明；

(2)用錯位相減法即可求解?

【詳解】(1).=5%-23,.“向-3向=54-53=5&-3")

數(shù)列｛。-3"｝是以％-?=5為首項，以5為公比的等比數(shù)列.

°“一3"=5x5"T=5",a“=3"+5"

(2)a“=3"+5".?.d="(a“-3")=〃x5",

Sn=+6,+4+—+6”即S“=lx51+2x5~+3x5*+…+〃x5"(T),

5S?=1X52+2X53+3X54+.-+HX5,,+1@,

由①-②得：

-4S?=1X5'+1X52+1X53+~.+1X5"-HX5"+1,

5+（4n-l）x5"+1

-4S一〃x5向，化簡得：S,=

1-516

18.記ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,acos^-Aj=/7sin（A+C）+（c-Z?）sin（7i-C）.

⑴求A；

⑵若AD是角A的平分線且AD=A/3，求"C的最小值.

【答案】（l）A=j

（2）4

【分析】（1）利用正弦定理角化邊，再結(jié)合余弦定理求解；（2）利用與ACD的面積之和等于ASC的

面積可得6+。=歷，再用基本不等式即可求解.

【詳解】（1）由題意，得asinA=Z7sin3+（c-b）sinC,

由正弦定理，得/=從+（。-6）c=b2+c2-be.

121

，目Ab+c-abe1

由余弦XE理，伯cosA=------=——=—.

2bc2bc2

又Ae（O㈤，所以A甘.

（2）因為△ABD與ACD的面積之和等于ABC的面積，

且AD為角A的平分線，

由（1）知，，所以gAsi*+：&si吟=；6csi吟，所以b+c=6c.

又X［等］2,當(dāng)且僅當(dāng)，即6=c=2時取等號，

I2J［b+c=bc

所以b+cj等J,即S+c）2"S+c）,所以6+c24,所以6+c的最小值為4.

19.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量表得如下頻數(shù)分布

表：

質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

頻數(shù)62638228

(1)在下表中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;

頻率

組距

0.040

0.038

0.036

0.034

0.032

0.030

0.028_|------------r-----------TT7------------1

0.026

0.024

0.022

0.020

0.018

0.016

0.014

0.012

0.010

0.008

0.006I----------rT--------T

0.004

0.0021______1

(T75~85~95105115125

質(zhì)量指標(biāo)值

(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

⑶已知在這些數(shù)據(jù)中，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間「5,105)內(nèi)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為94,方差為40,所

有這10。件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為100,方差為202,求質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間[105,125]內(nèi)的產(chǎn)品的質(zhì)量

指標(biāo)值的方差.

【答案】⑴答案見解析

⑵平均數(shù)為100,方差為104.

(3)300

【分析】(1)計算每組頻率，從而畫出頻率分布直方圖；

(2)由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)，方差的求法求解即可；

30

(3)先計算區(qū)間[105,125)內(nèi)的平均數(shù)5以及￡片，再由方差公式求解.

Z=1

【詳解】(1)由題意可知，分組[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125],對應(yīng)的頻率分別為

0,06,0,26,0.38,0.22,0.08.

則頻率分布直方圖如下圖所示：

頻率

0.040

0.038

0.036

0.034

0.032

0.030

0.028

0.026

0.024

0.022

0.020

0.018

0.016

0.014

0.012

0.010

0.008

0.006

0.004

0.002

758595105115125質(zhì)量指標(biāo)值

(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為

=80x0.06+90x0.26+100x0.38+110x0.22+120x0.08=100.

質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為

=(1OO-8O)2XO.O6+(1OO-9O)2XO.26+(1OO-1OO)2XO.38+(1OO-11O)2XO.22+(1OO-12O)2XO.O8=104

(3)由題，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間［75,105)內(nèi)的產(chǎn)品有70件，

設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值分別為和馬，，毛。，則平均數(shù)為元=94,方差為s；=40,

質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間［105,125)內(nèi)的產(chǎn)品有30件，

設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值分別為M，%，，%,則平均數(shù)為了，方差為學(xué),

設(shè)這10。件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為z=W0,

方差為￥=202,則|1。0彳=70丁+303，

17070

所以y=114,又因為《=布2玉2一/，貝！|Z尤；=62132。，

/U/=11=1

-1/7030>30130

又因為￥=誨—,則￡城=398880,所以S；=—￡才-V=300

1UUIi=ii=iJi=inui=l

20.如圖，在四棱錐P-ABC。中，AB//CD,AB±BC,BC=CD=PA=PD=^AB=2,PC=2若，E

為AB的中點.

p

⑴證明：8￡>J_平面AP￡);

(2)求平面APO和平面CEP的夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

【分析】(1)已知條件求出AB,BD,AD的長度，勾股定理證得mLAD,

取AD的中點O,連接OP,OC,有PO_L"),得PO,勾股定理證得PO_LOC,從而尸。上平面ABCD,

福BD1OP,所以人平面APD.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求相關(guān)點的坐標(biāo)，求相關(guān)向量的坐標(biāo)，求平面APD和平面CEP的一個法向量,

利用向量夾角公式求平面APD和平面CEP的夾角的余弦值

【詳解】(1)在直角梯形ABCD中，易得AB=4,BD=2?,AD=2^2,

:.AD2+BD2=AB-,/.BD±AD.

取AD的中點O,連接OP,OC,易得PO±AD,PO=4i,如圖所示，

在4CDO中，易得OC=JCD?+DO?-2CD-DOcos135。=M,

又PC=2百，:.OC12+PO2=PC2,PO1OC,

又PO_LAD,ADOC=O,AD,OCu平面ABCD，二POJL平面ABCD,

BDu平面ABCD,.".BD1OP,

又BD_LAD,ADr\OP=O,AD,OPu平面APD，二BD_L平面APD.

（2）如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA,DB所在直線分別為x,y軸，過點D且與PO平行的直線為z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，

則D（0,0,0）,A（2A/2,0,0）,B（0,2也0）,網(wǎng)也在0）,尸（衣0,0）,C（-應(yīng)，/,0）,

...CP=（2A/2,-A/2,A/2）,CE=（20,0,0）,

LU

???BD,平面APD，，平面APD的一個法向量為%=（0,1,0）.設(shè)平面CEP的法向量為n2={x,y,z）,

n,CP=Q|2缶-0+缶=0

得I取y=i,得&=（。/，1）,

n2-CE=02yf2x=0

1V2

cosrk.n,=---二——

1.1x722

二平面APD和平面CEP的夾角的余弦值為4.

【點睛】方法點撥

利用向量法求二面角的方法主要有兩種：（1）分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個

平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的范圍；（2）分別在二面角的

兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

22

21已知4也分別為雙曲線C：T-2=l（穌0,b>0）的左、右焦點點尸（刈在C上目?|-|尸閭=2".

ab

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)點P關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為Q,不過點尸且斜率為!的直線與。相交于M,N兩點，直線與QN

交于點。(見，%),求表的值.

22

【答案】⑴--3=1

62

(2)1

-91,

------1

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義的應(yīng)用列方程組/b-,解得。與。即可得出答案；

2a=2瓜

(2)設(shè)〃(和％),N(w，%),直線MN的方程為y=gx+〃?Wr。)，聯(lián)立方程消去y得

2

1/-2mx-3m2-6=0,根據(jù)韋達(dá)定理得出%+%=3m,根據(jù)已知得出△=12療+16>0,由題意知，

9^71(13777

2(-3,-1)，當(dāng)直線PM,QN的斜率均存在時，設(shè)出方程聯(lián)立得毛=-二7T,%=-+--%——-,

即可比出答案，當(dāng)直線PM的斜率不存在時，易求%=3,%=3,所以?=1,當(dāng)直線QN的斜率不存在

xo

時，易求不=-3,%=-3,所以F=1,綜上，即可得出答案.

2-=i

【詳解】(1)由題意可知,?2b2,

2a=2A/6

解得4=#?b=6?

22

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：9-1=1.

62

(2)設(shè)m(%,%),以尤2，%),直線MN的方程為>=；%+制加wo),

.1

y=—x+m

32

由《得一f一2mx-3m之一6二0,

尤y3

------=1

[62

直線MN與C相交于M,N兩點，

/.A=(-2m)-4x—^-3m2_6j=12m2+16>0，貝[|玉+兀2=3根.

由題意知，。(-3,-1),當(dāng)直線PM,QN的斜率均存在時，

11

1—x,+m-111—+m+11

,%-1Q11m,y+1Q21m

k——±________—?______ib--J/9—±_____________________——I______________

-

KpM~~0一Q—o十o”N~oo一0十,o

xx-3%—33%一3x2+3x2+33x2+3

所以直線PM的方程為y-l=-+--尤-3),

(3x,-3)

直線QN的方程為y+l=可+/三(X+3).

、D人？十。J

兩方程聯(lián)立得，/=_:/=---------,顯然%*0,

xl—x2—oxl—x2—o

.??Tn1m3mx,——61mx——612(x,—3)

所以型=_+----+----X-i-Z—=-+-------+，2_+4__Z=1

x03X1-3%一39m3占一33(%一3)33(^-3)*

當(dāng)直線PM的斜率不存在時易求得直線PM的方程為i=3直線QN的方程為尸3+1則%=3,%=3,

所以4.

Ao

2

當(dāng)直線QN的斜率不存在時，易求得直線QN的方程為x=-3,直線PM的方程為y=,則%=-3,

%=—3,所以平=1.

Ao

綜上，皆=1.

40