7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列第七章隨機(jī)變量及其分布人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第三冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

現(xiàn)實(shí)世界中有各種各樣的隨機(jī)現(xiàn)象,它們的復(fù)雜性差異很大.從隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間看,有的包含有限個(gè)樣本點(diǎn),有的包含可列無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn),有的包含不可列無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn).定義于不同樣本空間上的隨機(jī)變量,最基本的有離散型和連續(xù)型兩類.本學(xué)習(xí)單元我們只研究有限個(gè)或可以一一列舉的離散型隨機(jī)變量及其分布列.通過(guò)創(chuàng)設(shè)具體的隨機(jī)試驗(yàn)情境,引導(dǎo)學(xué)生歸納試驗(yàn)中的數(shù)值指標(biāo)(變量)的共同特征,領(lǐng)悟隨機(jī)變量是樣本空間到實(shí)數(shù)集的映射,用分布列描述隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律,理解利用隨機(jī)變量可以更好地刻畫隨機(jī)現(xiàn)象.具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下圖所示:學(xué)習(xí)單元2

離散型隨機(jī)變量及其分布列

在此知識(shí)明線的學(xué)習(xí)過(guò)程中,進(jìn)一步感悟概率論研究隨機(jī)現(xiàn)象的基本方法.首先建立隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間,構(gòu)建概率模型,計(jì)算或估計(jì)隨機(jī)事件的概率,利用事件的關(guān)系和概率的性質(zhì),解決更復(fù)雜概率計(jì)算問(wèn)題;然后在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步抽象,引入隨機(jī)變量的概念,借助數(shù)學(xué)工具和方法系統(tǒng)、全面地研究隨機(jī)變量取值的概率分布及數(shù)字特征,為決策提供依據(jù).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.借助教材實(shí)例,了解離散型隨機(jī)變量及其分布列.(數(shù)學(xué)抽象)2.了解離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)、兩點(diǎn)分布的概念.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.會(huì)求簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

離散型隨機(jī)變量1.定義:一般地,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω,都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),我們稱X為

.可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量,我們稱之為離散型隨機(jī)變量.

取值個(gè)數(shù)可能是無(wú)限的,但是能一一列舉2.表示:通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量,例如X,Y,Z;用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值,例如x,y,z.隨機(jī)變量

名師點(diǎn)睛1.所謂隨機(jī)變量,就是隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是人為建立起來(lái),但又是客觀存在的.2.隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可用數(shù)量來(lái)表示,有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不是數(shù)量,但可以將它數(shù)量化,如拋一枚硬幣,所有可能的結(jié)果是“正面向上”“反面向上”,在數(shù)學(xué)中可以用“1”代表正面向上,用“0”代表反面向上.微思考1.離散型隨機(jī)變量的取值可以是什么?2.隨機(jī)變量和函數(shù)有類似的地方嗎?提示

離散型隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè),也可以是無(wú)限可列個(gè).提示

隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,隨機(jī)變量把樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng),函數(shù)把實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng),由隨機(jī)變量的定義知,樣本點(diǎn)ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量,樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域.知識(shí)點(diǎn)2

概率分布列1.分布列一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個(gè)值xi的概率

,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡(jiǎn)稱

,分布列的表格表示如下:

Xx1x2…xnPp1p2…pnP(X=xi)=pi分布列

名師點(diǎn)睛對(duì)分布列的理解應(yīng)注意的問(wèn)題(1)離散型隨機(jī)變量的分布列描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象,與函數(shù)的表示法一樣,離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用表格、等式P(X=xi)=pi和圖象表示.(2)離散型隨機(jī)變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也能清楚地看到取每一個(gè)值的概率的大小,從而反映了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布狀況,是進(jìn)一步研究隨機(jī)變量數(shù)字特征的基礎(chǔ).2.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(1)pi

0,i=1,2,…,n;

(2)p1+p2+…+pn=1.可通過(guò)此條性質(zhì)檢驗(yàn)求出的分布列是否正確≥名師點(diǎn)睛對(duì)分布列性質(zhì)的理解(1)離散型隨機(jī)變量的兩條性質(zhì)是檢驗(yàn)一個(gè)分布列是否正確的重要依據(jù),尤其是要看它們的概率之和是否等于1.可利用這兩條性質(zhì)求出分布列中的未知數(shù).(2)離散型隨機(jī)變量各個(gè)可能的取值表示的事件是互斥的,故離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.微思考1.離散型隨機(jī)變量分布列中隨機(jī)變量的取值是否可以取一部分?2.離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件有何特點(diǎn)?提示

離散型隨機(jī)變量的取值不可以取一部分,要把所有可能的結(jié)果都要列舉完,以保證概率之和為1.提示

離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的.知識(shí)點(diǎn)3

兩點(diǎn)分布對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用A表示“成功”,表示“失敗”,定義

如果P(A)=p,則P()=

,那么X的分布列如下表所示.

X01P1-pp我們稱X服從

或

.

1-p兩點(diǎn)分布

0—1分布

微思考舉例說(shuō)明發(fā)生在大家身邊的符合“兩點(diǎn)分布”的隨機(jī)事件.提示

如每次考試及格與不及格;拋一次硬幣出現(xiàn)正面、反面等.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問(wèn)題1求隨機(jī)事件的概率時(shí),為何需要為隨機(jī)試驗(yàn)建立樣本空間,有什么作用?其中蘊(yùn)含了怎樣的思想?問(wèn)題2類比函數(shù)在數(shù)集與數(shù)集之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系,如果我們?cè)陔S機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與實(shí)數(shù)集之間建立某種對(duì)應(yīng),將會(huì)有什么效果?問(wèn)題3若隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與數(shù)值有關(guān)系,容易直接與實(shí)數(shù)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系,若隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與數(shù)值無(wú)關(guān)系,可否轉(zhuǎn)化成建立對(duì)應(yīng)關(guān)系?問(wèn)題4隨機(jī)試驗(yàn)中,隨機(jī)變量有什么特征?探究點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的概念問(wèn)題5什么是離散型隨機(jī)變量?如何表示?【例1】

下列變量是離散型隨機(jī)變量的是

.(填序號(hào))

①下期某闖關(guān)節(jié)目中過(guò)關(guān)的人數(shù);②某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差;③在鄭州至武漢的電氣化鐵道線上,每隔50m有一電線鐵塔,從鄭州至武漢的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進(jìn)行編號(hào),其中某一電線鐵塔的編號(hào);④水位監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化,該水位站所測(cè)水位.①③

解析

①是離散型隨機(jī)變量.因?yàn)檫^(guò)關(guān)人數(shù)可以一一列出.②不是離散型隨機(jī)變量.因?yàn)閷?shí)際測(cè)量值與規(guī)定值之間的差值無(wú)法一一列出.③是離散型隨機(jī)變量.因?yàn)殡娋€鐵塔為有限個(gè),其編號(hào)可以一一列出.④不是離散型隨機(jī)變量.因?yàn)樗辉?0,29]這一范圍內(nèi)變化,水位值不能按一定次序一一列出.規(guī)律方法

判定離散型隨機(jī)變量判斷變量的取值是不是有限個(gè)或能否一一列舉出來(lái).若能,則是離散型隨機(jī)變量;否則,不是離散型隨機(jī)變量.問(wèn)題6離散型隨機(jī)變量的不同取值表示什么含義?這種取值對(duì)于樣本點(diǎn)的研究有何好處?【例2】

寫出下列隨機(jī)變量可能的取值,并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.(1)某學(xué)生從學(xué)校回家要經(jīng)過(guò)3個(gè)紅綠燈路口,他可能遇到紅燈的次數(shù)Y;(2)從含有10件次品的100件產(chǎn)品中任取4件,取到次品的件數(shù)X.解

(1)Y可能的取值為0,1,2,3,Y=0表示遇到紅燈的次數(shù)為0;Y=1表示遇到紅燈的次數(shù)為1;Y=2表示遇到紅燈的次數(shù)為2;Y=3表示遇到紅燈的次數(shù)為3.(2)X可能的取值為0,1,2,3,4.X=0表示取出0件次品;X=1表示取出1件次品;X=2表示取出2件次品;X=3表示取出3件次品;X=4表示取出4件次品.規(guī)律方法

離散型隨機(jī)變量的取值離散型隨機(jī)變量的取值代表了隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果,不能遺漏.探究點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列與性質(zhì)問(wèn)題7什么是離散型隨機(jī)變量的分布列?有何規(guī)范?【例3】

某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層?？?若該電梯在底層載有5位乘客,且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為,用X表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列.解

由題意知,X表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù),則X的可能取值為0,1,2,3,4,5.由古典概型的概率公式得∴X的分布列為

規(guī)律方法

求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟(1)找出隨機(jī)變量X的所有可能的取值xi(i=1,2,…,n),并確定X=xi的意義;(2)借助概率知識(shí)求出隨機(jī)變量X取每一個(gè)值時(shí)的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n);(3)列成表格的形式.問(wèn)題8離散型隨機(jī)變量的分布列具有什么性質(zhì)?這種性質(zhì)對(duì)于運(yùn)算有何作用?【例4】

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01234P0.20.10.10.3m求2X+1的分布列.解

由分布列的性質(zhì)知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.當(dāng)X=0,1,2,3,4時(shí),2X+1=1,3,5,7,9,故2X+1的分布列為2X+113579P0.20.10.10.30.3規(guī)律方法

1.利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值,此時(shí)要注意檢驗(yàn),以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù).2.求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率時(shí),根據(jù)分布列,將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率相加即可,其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.探究點(diǎn)三兩點(diǎn)分布問(wèn)題9兩點(diǎn)分布是最特殊的離散型隨機(jī)變量分布列,特殊之處有哪些?有何性質(zhì)?【例5】

一個(gè)袋中裝有除顏色外其他都相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球.(1)從中任意摸出1個(gè)球,用0表示摸出白球,用1表示摸出紅球,即(2)從中任意摸出兩個(gè)球,用Y=0表示“兩個(gè)球全是白球”,用Y=1表示“兩個(gè)球不全是白球”,求Y的分布列.規(guī)律方法

1.兩點(diǎn)分布的特點(diǎn)(1)兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)結(jié)果,且兩個(gè)結(jié)果是對(duì)立的.(2)由對(duì)立事件的概率求法可知P(X=0)+P(X=1)=1.2.解答此類問(wèn)題時(shí)要充分利用兩點(diǎn)分布的特點(diǎn),并對(duì)應(yīng)其性質(zhì)特點(diǎn)對(duì)問(wèn)題的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)隨機(jī)變量的概念、分類;(2)離散型隨機(jī)變量的概念;(3)離散型隨機(jī)變量的分布列的概念及其性質(zhì);(4)兩點(diǎn)分布.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):(1)隨機(jī)變量的取值不明確導(dǎo)致分布列求解錯(cuò)誤;(2)易忘記結(jié)合分布列的性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn).學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12345678910111213A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.一串鑰匙有6把,只有一把能打開鎖,依次試驗(yàn),打不開的扔掉,直到找到能開鎖的鑰匙為止,則試驗(yàn)次數(shù)X的最大可能取值為(

)A.6 B.5 C.4 D.2B解析

由于是逐次試驗(yàn),可能前5次都打不開鎖,那么剩余鑰匙一定能打開鎖,則試驗(yàn)次數(shù)X的最大可能取值為5.故選B.123456789101112132.袋中有大小相同的5個(gè)球,分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼,現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球,設(shè)兩個(gè)球的號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X,則X所有可能取值的個(gè)數(shù)是(

)A.5 B.9 C.10 D.25B解析

X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9個(gè).123456789101112133.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為

X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為(

)A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51C解析

P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79.123456789101112134.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表.若離散型隨機(jī)變量Y=2X+1,則P(Y≥5)=(

)A123456789101112135.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表,則實(shí)數(shù)c為(

)X01P9c2-c3-8cA12345678910111213ABC12345678910111213123456789101112137.袋中有4個(gè)紅球、3個(gè)黑球,從袋中任取4個(gè)球,取到1個(gè)紅球得1分,取到1個(gè)黑球得3分,記得分為隨機(jī)變量ξ,則P(ξ≤6)=

.

123456789101112138.袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為,現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止,每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的,用Y表示取球終止所需要的取球次數(shù).(1)求袋中所有的白球的個(gè)數(shù);(2)求Y的分布列.12345678910111213解

(1)設(shè)袋中有n個(gè)白球,解得n=3或n=-2(舍去).故袋中所有的白球的個(gè)數(shù)為3.1234567891011121312345678910111213B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.袋中裝有大小和顏色均相同的5個(gè)乒乓球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,現(xiàn)從中任意抽取2個(gè),設(shè)兩個(gè)球上的數(shù)字之積為X,則X所有可能取值的個(gè)數(shù)是(

)A.6 B.7 C.10 D.25C1234567891011121310.(多選題)已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示,其中a,b,c成等差數(shù)列,則(

)X-101PabcBD123456789101112131234567891011121311.若隨機(jī)變量X的分布列如表所示:則a2+b2的最小值為

.

1234567891011121312.盒中有大小顏色相同的6個(gè)乒乓球,其中4個(gè)球未使用過(guò)(稱之為新球),2個(gè)球使用過(guò)(稱之為舊球).每局比賽從盒中隨機(jī)取2個(gè)球作為比賽用球,該局比賽結(jié)束后放回盒中.使用過(guò)的球即成為舊球.(1)求一局比賽后盒中恰有3個(gè)新球的概率;(2)設(shè)兩局比賽后盒中新球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列.12345678910111213解

(1)因?yàn)橐痪直荣惡蠛兄星∮?個(gè)新球,則本局比賽取到了一個(gè)舊球,一個(gè)新球,則一局比賽后盒中恰有3個(gè)新球的概率為(2)設(shè)第一局取到兩個(gè)舊球?yàn)槭录﨎1,取到一個(gè)舊球,一個(gè)新球?yàn)槭录﨏1,取到兩個(gè)新球?yàn)槭录嗀1,第二局取到兩個(gè)舊球?yàn)槭录﨎2,取到一個(gè)舊球,一個(gè)新球?yàn)槭录﨏2,取到兩個(gè)新球?yàn)槭录嗀2,則兩局比賽后新球的個(gè)數(shù)可能為0,1,2,3,4.12345678910111213P(X=2)=P(B1A2)+P(C1C2)+P(A1B