2025版高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)課前預(yù)備案第七章立體幾何與空間向量第五節(jié)空間向量及其應(yīng)用

第五節(jié)空間向量及其應(yīng)用必備知識1.向量共線與向量共面定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使________．(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使________________．2．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得________________．3．空間向量的數(shù)量積(1)兩向量的夾角①已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA＝a，OB＝b，則________叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．②范圍：0≤〈a，b〉≤π.(2)兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積：a·b＝________________．4．空間向量的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b____________________共線a＝λb(b≠0，λ∈R)____________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)____________________模aa夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a5.直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得OP＝λa.把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥平面α，取直線l的方向向量a，稱向量a為平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．6．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)l1∥l2u1∥u2??λ∈R，使得____________l1⊥l2u1⊥u2?u1·u2＝0?____________直線l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為n＝(a2，b2，c2)l∥α(l?α)u⊥n?u·n＝0?______________l⊥αu∥n??λ∈R，使得u＝λn?________n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)分別是平面α，β的法向量α∥βn1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2?________α⊥βn1⊥n2?n1·n2＝0?____________【常用結(jié)論】1．三點(diǎn)共線：在平面中A，B，C三點(diǎn)共線?OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)．2．四點(diǎn)共面：在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面?OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點(diǎn)．夯實(shí)基礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面．()(2)對于非零向量b，由a·b＝b·c，得a＝c.()(3)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．()(4)若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有AB+2．(教材改編)若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量是()A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}3．(教材改編)已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，則x＝________．4．(易錯(cuò))已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ＝()A．9 B．－9C．－3 D．35．(易錯(cuò))在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝14A1C1，AE＝xAA1＋y第五節(jié)空間向量及其應(yīng)用必備知識1．a(chǎn)＝λbp＝xa＋yb2．p＝xa＋yb＋zc3．(1)①∠AOB(2)|a||b|cos〈a，b〉4．a(chǎn)1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝06．(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)a1a2＋b1b2＋c1c2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)a1a2＋b1b2＋c1c2＝0夯實(shí)基礎(chǔ)1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：A：因?yàn)?a＋b)＋(a－b)＝2a，所以a，a＋b，a－b共面，不能構(gòu)成基底，排除A；B：因?yàn)?a＋b)－(a－b)＝2b，所以b，a＋b，a－b共面，不能構(gòu)成基底，排除B；D：因?yàn)閍＋2b＝32(a＋b)－12(a－b)，所以a＋b，a－b，a＋2C：若c，a＋b，a－b共面，則c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b，則a，b，c共面，與{a，b，c}為空間向量的一組基底相矛盾，故c，a＋b，a－b可以構(gòu)成空間向量的一組基底，C正確．故選C．答案：C3．解析：∵a∥b，∴-42＝2-1＝x2，答案：－44．解析：∵a，b，c三向量共面，∴存在實(shí)數(shù)m，n，使得c＝ma＋nb，∴7=2m-n，6=m+