專題11 導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊同步教學(xué)設(shè)計(jì) (人教B版2019)

專題11導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊同步教學(xué)設(shè)計(jì)(人教B版2019)課題：科目：班級：課時：計(jì)劃1課時教師：單位：一、教材分析《專題11導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題》選自2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊（人教B版2019），本章節(jié)內(nèi)容以導(dǎo)數(shù)為載體，深入探討雙變量問題。通過研究雙變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，使學(xué)生掌握處理雙變量問題的方法與技巧。本章與課本緊密相關(guān)，強(qiáng)化了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像、實(shí)際應(yīng)用等方面的聯(lián)系，旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的實(shí)踐能力。教學(xué)內(nèi)容覆蓋了雙變量函數(shù)的求導(dǎo)法則、雙變量函數(shù)的極值問題以及實(shí)際應(yīng)用案例，符合高中三年級學(xué)生的知識深度，為高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)《專題11導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題》圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象能力。通過本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具分析雙變量函數(shù)的性質(zhì)，提高邏輯推理能力；能構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際生活中的雙變量問題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；同時，在探索雙變量導(dǎo)數(shù)的過程中，鍛煉學(xué)生抽象思維，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。此外，通過問題探討與合作學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識和團(tuán)隊(duì)合作精神，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和全面發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。三、學(xué)情分析本節(jié)課面向的是高中三年級的學(xué)生，他們在前兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，已經(jīng)積累了扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，掌握了導(dǎo)數(shù)的基本概念和運(yùn)算規(guī)則。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生對雙變量問題的處理能力有待提高。在知識層面，學(xué)生對單變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用較為熟練，但對于雙變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用尚處于初級階段。在能力方面，學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力已有一定基礎(chǔ)，但解決雙變量問題時，可能存在分析不夠全面、邏輯不夠嚴(yán)密的情況。素質(zhì)方面，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和合作交流意識參差不齊，對課程學(xué)習(xí)有一定影響。此外，部分學(xué)生可能存在對復(fù)雜問題缺乏耐心和信心的行為習(xí)慣，這將影響他們對雙變量導(dǎo)數(shù)問題的深入理解和掌握。因此，本節(jié)課將從實(shí)際出發(fā)，結(jié)合課本內(nèi)容，通過啟發(fā)式教學(xué)和小組合作，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們解決雙變量導(dǎo)數(shù)問題的綜合能力。四、教學(xué)資源1.硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備、黑板、白板、教學(xué)模型。

2.軟件資源：PPT教學(xué)課件、數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）、課堂管理系統(tǒng)。

3.課程平臺：學(xué)校局域網(wǎng)教學(xué)平臺、數(shù)字化教室。

4.信息化資源：電子教材、在線題庫、教學(xué)視頻、虛擬實(shí)驗(yàn)室。

5.教學(xué)手段：講授法、問題探究法、小組合作學(xué)習(xí)、案例教學(xué)法、互動式教學(xué)。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

利用多媒體展示實(shí)際生活中與雙變量相關(guān)的現(xiàn)象，如氣溫與海拔的關(guān)系、投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系等。通過創(chuàng)設(shè)情境，提出問題：“這些現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)模型是怎樣的？如何用數(shù)學(xué)工具來描述和分析它們？”激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。

2.講授新課（15分鐘）

（1）回顧單變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念，引導(dǎo)學(xué)生思考雙變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如何定義。

（2）講解雙變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念，通過具體例子演示偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

（3）探討雙變量函數(shù)的極值問題，引導(dǎo)學(xué)生掌握求解極值的方法。

（4）結(jié)合實(shí)際案例，講解雙變量導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

3.鞏固練習(xí)（10分鐘）

（1）發(fā)放練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成，鞏固雙變量導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用。

（2）組織學(xué)生分組討論，分享解題思路，互相學(xué)習(xí)。

（3）針對學(xué)生存在的問題，進(jìn)行有針對性的講解和指導(dǎo)。

4.課堂提問（5分鐘）

針對本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，設(shè)計(jì)不同難度的問題，進(jìn)行課堂提問。

（1）簡單問題：考查學(xué)生對雙變量導(dǎo)數(shù)概念的理解。

（2）中等難度問題：考查學(xué)生對雙變量函數(shù)極值問題的求解方法。

（3）較難問題：探討雙變量導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

5.師生互動環(huán)節(jié)（5分鐘）

針對學(xué)生解答中的疑問，進(jìn)行解答和指導(dǎo)。同時，鼓勵學(xué)生提出自己的觀點(diǎn)和疑問，進(jìn)行課堂討論。

（1）教師解答學(xué)生的疑問，引導(dǎo)學(xué)生找到解決問題的方法。

（2）學(xué)生分享自己的解題經(jīng)驗(yàn)，互相學(xué)習(xí)。

（3）針對學(xué)生的疑問，組織課堂討論，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維。

6.教學(xué)創(chuàng)新（5分鐘）

利用數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）進(jìn)行動態(tài)演示，讓學(xué)生更直觀地理解雙變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和極值問題。

7.核心素養(yǎng)能力拓展（5分鐘）

結(jié)合實(shí)際案例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用雙變量導(dǎo)數(shù)知識解決實(shí)際問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象能力。

8.總結(jié)與布置作業(yè)（5分鐘）

（1）總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)雙變量導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

（2）布置作業(yè)：針對本節(jié)課的知識點(diǎn)，設(shè)計(jì)不同難度的題目，鞏固學(xué)生對雙變量導(dǎo)數(shù)的理解和掌握。

本教學(xué)過程設(shè)計(jì)緊扣實(shí)際教學(xué)需求，注重師生互動，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng)能力。在45分鐘的課堂中，教師通過導(dǎo)入、講解、鞏固練習(xí)、課堂提問、師生互動等環(huán)節(jié)，確保學(xué)生理解和掌握雙變量導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識。同時，注重教學(xué)創(chuàng)新，運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件和實(shí)際案例，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象能力。六、拓展與延伸1.拓展閱讀材料

-與雙變量導(dǎo)數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)歷史資料，了解導(dǎo)數(shù)的發(fā)展過程和科學(xué)家們的研究成果。

-收集現(xiàn)實(shí)生活中的雙變量問題案例，如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)化問題、物理學(xué)中的運(yùn)動軌跡問題等。

-閱讀數(shù)學(xué)研究論文或相關(guān)書籍，了解雙變量導(dǎo)數(shù)在科學(xué)研究中的應(yīng)用。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究

-探究雙變量函數(shù)的泰勒展開，了解如何用多項(xiàng)式近似表示雙變量函數(shù)。

-研究雙變量函數(shù)的隱函數(shù)求導(dǎo)法，掌握隱函數(shù)求導(dǎo)的一般步驟。

-嘗試解決一些復(fù)雜的雙變量優(yōu)化問題，如約束條件下的最值問題。

-結(jié)合實(shí)際案例，運(yùn)用所學(xué)的雙變量導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，解決實(shí)際問題。

學(xué)生可以通過以下方式進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-利用學(xué)校圖書館、在線學(xué)術(shù)資源等途徑查找相關(guān)資料。

-與同學(xué)組成學(xué)習(xí)小組，共同討論和解決問題，互相學(xué)習(xí)。

-向教師請教，獲取指導(dǎo)和建議，提高自主學(xué)習(xí)效率。

-結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)身邊的雙變量問題，嘗試用所學(xué)知識解決。七、重點(diǎn)題型整理題型一：雙變量函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

例題：設(shè)函數(shù)z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5，求?z/?x和?z/?y。

答案：?z/?x=2x-2，?z/?y=2y-4。

題型二：雙變量函數(shù)的極值問題

例題：求函數(shù)z=f(x,y)=x^2+y^2-4x-8y+24的極值。

答案：極小值z=8，當(dāng)x=2，y=4時取得。

題型三：雙變量函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

例題：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，其成本分別為C(A)=3x+4y+1000和C(B)=2x+3y+800，其中x和y分別為生產(chǎn)A和B產(chǎn)品的數(shù)量。求在總成本C=C(A)+C(B)最小時，生產(chǎn)A和B產(chǎn)品的數(shù)量。

答案：當(dāng)x=100，y=200時，總成本C取得最小值。

題型四：雙變量導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)求導(dǎo)法

例題：已知隱函數(shù)方程x^2+y^2=16，求?y/?x。

答案：?y/?x=-x/y。

題型五：雙變量函數(shù)的泰勒展開

例題：對函數(shù)f(x,y)=e^(-x^2-y^2)進(jìn)行泰勒展開，保留前兩項(xiàng)。

答案：f(x,y)≈1-(x^2+y^2)。

1.對于雙變量函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生通過具體例子理解偏導(dǎo)數(shù)的定義，并掌握計(jì)算方法。

2.在解決雙變量函數(shù)的極值問題時，強(qiáng)調(diào)求解步驟，包括求偏導(dǎo)數(shù)、解方程組等，并解釋極值的意義。

3.通過實(shí)際問題案例，讓學(xué)生體會雙變量函數(shù)在生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

4.在雙變量導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)求導(dǎo)法中，講解隱函數(shù)求導(dǎo)的一般步驟，并通過多個例題鞏固學(xué)生的掌握程度。

5.對于雙變量函數(shù)的泰勒展開，介紹泰勒展開的概念和計(jì)算方法，并通過實(shí)際例題展示其應(yīng)用。八、教學(xué)反思與總結(jié)在本次教學(xué)過程中，我采用了情境導(dǎo)入、案例教學(xué)、小組合作等多種教學(xué)方法和策略，旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的核心素養(yǎng)能力?；仡櫿麄€教學(xué)過程，我認(rèn)為在以下方面取得了一定的成效：

1.教學(xué)方法：通過情境導(dǎo)入，成功吸引了學(xué)生的注意力，使他們能夠快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。在講授新課過程中，結(jié)合具體案例進(jìn)行分析，有助于學(xué)生更好地理解雙變量導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)。同時，小組合作學(xué)習(xí)讓學(xué)生在討論交流中互相學(xué)習(xí)，提高了他們的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

2.教學(xué)策略：針對不同層次的學(xué)生，我設(shè)置了不同難度的練習(xí)題，使他們在鞏固基礎(chǔ)知識的同時，也能挑戰(zhàn)自我，提高解題能力。此外，利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行動態(tài)演示，讓學(xué)生更直觀地理解雙變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，提高了教學(xué)效果。

然而，在教學(xué)過程中，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題和不足：

1.課堂提問環(huán)節(jié)，部分學(xué)生對問題的回答不夠積極，可能是因?yàn)樗麄儗﹄p變量導(dǎo)數(shù)的概念理解不夠深入，需要我在今后的教學(xué)中加強(qiáng)引導(dǎo)和講解。

2.在小組合作學(xué)習(xí)過程中，部分學(xué)生過于依賴同伴，缺乏獨(dú)立思考。針對這一問題，我將在今后的教學(xué)中加強(qiáng)對學(xué)生的引導(dǎo)，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力。

教學(xué)總結(jié)：

1.學(xué)生在知識方面，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對雙變量導(dǎo)數(shù)的概念、計(jì)算方法和應(yīng)用有了更深入的了解，解題能力得到提高。

2.在技能方面，學(xué)生掌握了雙變量函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、極值問題的求解以及泰勒展開等，為今后的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

3.在情感態(tài)度方面，學(xué)生表現(xiàn)出較高的學(xué)習(xí)興趣和積極性，課堂氛圍良好。

針對教學(xué)中存在的問題和不足，我提出以下改進(jìn)措施和建議：

1.加強(qiáng)課堂互動，鼓勵學(xué)生積極參與課堂討論，提高他們的思考能力和表達(dá)能力。

2.在小組合作學(xué)習(xí)中，注重培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，避免過度依賴同伴。

3.針對學(xué)生的個體差異，設(shè)計(jì)更具針對性的教學(xué)活動，使每個學(xué)生都能在課堂上得到充分的發(fā)展。

4.不斷更新教學(xué)方法和手段，結(jié)合現(xiàn)代教育技術(shù)，提高教學(xué)質(zhì)量。作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.雙變量函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：計(jì)算給定函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并解釋其幾何意義。

2.雙變量函數(shù)的極值問題：求解給定函數(shù)的極值，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。

3.雙變量函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用：解決實(shí)際生活中的雙變量問題，如最優(yōu)化問題等。

4.雙變量導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)求導(dǎo)法：求解給定隱函數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，并解釋其物理意義。

5.雙變量函數(shù)的泰勒展開：對給定函數(shù)進(jìn)行泰勒展開，并分析其近似效果。

作業(yè)反饋：

1.及時批改學(xué)生的作業(yè)，并給出詳細(xì)的反饋意見，指出學(xué)生在計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)時可能出現(xiàn)的錯誤，并給出改進(jìn)建議。

2.針對學(xué)生在求解極值問題時可能出現(xiàn)的錯誤，進(jìn)行有針對性的講解和指導(dǎo)，幫助學(xué)生掌握求解方法。

3.對學(xué)生解決實(shí)際問題的作業(yè)進(jìn)行評價，指出其在數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象方面的優(yōu)點(diǎn)和不足，并提出改進(jìn)建議。

4.對學(xué)生在求解隱函數(shù)求導(dǎo)問題時的錯誤進(jìn)行糾正，并指導(dǎo)他們掌握求解隱函數(shù)求導(dǎo)的一般步驟。

5.對學(xué)生進(jìn)行泰勒展開的作業(yè)進(jìn)行評價，指出其在近似計(jì)算和誤差分析方面的優(yōu)點(diǎn)和不足，并提出改進(jìn)建議。板書設(shè)計(jì)1.課程標(biāo)題：雙變量導(dǎo)數(shù)問題

2.課程重點(diǎn)：

-偏導(dǎo)數(shù)概念與計(jì)算

-極值問題求解

-實(shí)際應(yīng)用案例分析

3.偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算步驟：

-確定函數(shù)關(guān)系

-求偏導(dǎo)數(shù)

-解釋幾何意義

4.