2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二開學(xué)摸底測(cè)試卷 數(shù)學(xué)09含答案（人教A版2019）

2024新高二開學(xué)摸底考試卷01數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試范圍：人教A版20194．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期末）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·吉林延邊·階段練習(xí)）有一組樣本數(shù)據(jù)：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，則這組樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是（

）A．11 B．12 C．16 D．173．（23-24高一下·福建三明·期末）從裝有3個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，下列事件中與事件“至少有一個(gè)黃球”互為對(duì)立的是（

）A．都是藍(lán)球 B．都是黃球 C．恰有一個(gè)藍(lán)球 D．至少有一個(gè)藍(lán)球4．（2024·山東青島·二模）已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二上·安徽蕪湖·期中）已知向量在基底下的坐標(biāo)是，則在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·廣東湛江·期末）如圖，已知四棱，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱長相等且為4，E為CD的中點(diǎn)，則異面直線CM與AE所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．（23-24高一下·廣東佛山·期末）某學(xué)校興趣學(xué)習(xí)小組從全年級(jí)抽查了部分男生和部分女生的期中考試數(shù)學(xué)成績，并算得這部分同學(xué)的平均分以及男生和女生各自的平均分，且男女生的平均分不相等，由于記錄員的疏忽把人數(shù)弄丟了，則據(jù)此可確定的是（

）A．這部分同學(xué)是高分人數(shù)多還是低分人數(shù)多B．這部分同學(xué)是男生多還是女生多C．這部分同學(xué)的總?cè)藬?shù)D．全年級(jí)是男生多還是女生多8．（23-24高一下·山西大同·期末）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·期末）體育教學(xué)是學(xué)校開展素質(zhì)教育不可缺少的重要內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的發(fā)展有著不可忽視的重要作用.某校為了培養(yǎng)學(xué)生的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和進(jìn)取精神，舉行籃球定點(diǎn)投籃比賽.甲、乙兩名同學(xué)每次各自投10個(gè)球，每人8次機(jī)會(huì)，每次投籃投中個(gè)數(shù)記錄如下：同學(xué)第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲（投中個(gè)數(shù)）67564389乙（投中個(gè)數(shù)）84676575記甲、乙兩名同學(xué)每次投籃投中個(gè)數(shù)的平均數(shù)分別為、，方差分別為、.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．10．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（

）A．存在點(diǎn)Q，使得 B．存在點(diǎn)Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為11．（23-24高一下·云南昆明·期末）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設(shè)“第一次骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，“第二次骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，“兩次骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次骰子點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，則（

）A．C與D互為對(duì)立事件 B．A與D相互獨(dú)立C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（23-24高一下·安徽·期末）文以載道，數(shù)以忘憂，本學(xué)期某校學(xué)生組織數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)答（滿分），并從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績?yōu)闃颖?，分成，得到如圖所示頻率分布直方圖：估計(jì)該校高二學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為.13．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在棱長為2的正方體中，動(dòng)點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，當(dāng)?shù)捏w積最小時(shí)，與平面所成角的正弦值是．14．（23-24高一下·吉林延邊·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，的面積為，記的面積為，，設(shè)，，若存在常數(shù)，使成立，則的值為

四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）（23-24高一下·四川雅安·期末）已知向量，．(1)若與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(2)已知O，A，B，C為平面內(nèi)四點(diǎn)，且，，．若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值．16．（本題滿分15分）（23-24高一下·湖南長沙·期末）對(duì)800名參加競(jìng)賽選拔學(xué)生的成績作統(tǒng)計(jì)（滿分：100分），將數(shù)據(jù)分成五組，從左到右依次記為，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這800名學(xué)生成績的眾數(shù)和平均數(shù)（求平均數(shù)時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)現(xiàn)從以上各組中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人.若分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差分別為78分和，第三組的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差分別為72分和1，求第四組的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差.17．（本題滿分15分）（23-24高一下·湖南郴州·期末）隨著科技的發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)也隨之成熟，網(wǎng)絡(luò)安全也涉及到一個(gè)國家經(jīng)濟(jì)，金融，政治等安全．為提高中學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)安全意識(shí)和信息技術(shù)能力，某中學(xué)組織了一次信息技術(shù)創(chuàng)新比賽，參賽選手兩人為一組，需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)獨(dú)自對(duì)兩份不同的加密文件進(jìn)行解密，每份文件只有一次解密機(jī)會(huì)．已知甲每次解開密碼的概率為，乙每次解開密碼的概率為，每次是否解開密碼也互不影響．設(shè)，，，(1)已知概率，（i）求的值．（ii）求甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率．(2)若，求甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率最小值．18．（本題滿分17分）（23-24高二下·四川涼山·期末）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，平面，，，．(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得∥平面？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（本題滿分17分）（23-24高一下·河北衡水·期末）對(duì)于平面向量，定義“變換”：，其中表示中較大的一個(gè)數(shù)，表示中較小的一個(gè)數(shù).若，則.記.(1)若，求及；(2)已知，將經(jīng)過次變換后，最小，求的最小值；(3)證明：對(duì)任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使得.新高二開學(xué)摸底考試卷01數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試范圍：人教A版20194．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．題號(hào)12345678答案BDAAADBA二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．題號(hào)91011答案BDBDABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．/13．14四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）（23-24高一下·四川雅安·期末）已知向量，．(1)若與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(2)已知O，A，B，C為平面內(nèi)四點(diǎn)，且，，．若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量坐標(biāo)線性運(yùn)算結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算，列出方程求解即可；（2）由向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算表示，，再由共線定理解出實(shí)數(shù)m的值．【詳解】（1），則，因?yàn)榕c垂直，所以，解得．（2），，，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以．所以，解得．16．（本題滿分15分）（23-24高一下·湖南長沙·期末）對(duì)800名參加競(jìng)賽選拔學(xué)生的成績作統(tǒng)計(jì)（滿分：100分），將數(shù)據(jù)分成五組，從左到右依次記為，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這800名學(xué)生成績的眾數(shù)和平均數(shù)（求平均數(shù)時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)現(xiàn)從以上各組中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人.若分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差分別為78分和，第三組的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差分別為72分和1，求第四組的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差.【答案】(1)眾數(shù)為；平均數(shù)為(2)平均數(shù)為；方差為【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的眾數(shù)和平均數(shù)的定義和計(jì)算方法，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生為10人，分別為，得到，設(shè)第三組分別為，得到，設(shè)第四組分別為，其平均數(shù)和方差為，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖的眾數(shù)的定義，可得這800名學(xué)生成績的眾數(shù)為，這800名學(xué)生成績的的平均數(shù)為：（分）.（2）解：根據(jù)題意，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人，各段抽取的人生分別為：12人，16人，6人，4人和2人，其中分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生為10人，分別為，其中平均成績與方差分別為，則，設(shè)第三組學(xué)生實(shí)際成績分別為，其平均數(shù)和方差為，則，設(shè)第四組學(xué)生實(shí)際成績分別為，其平均數(shù)和方差為，由，可得，由，可得，解得，所以第四組的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)為與方差為.17．（本題滿分15分）（23-24高一下·湖南郴州·期末）隨著科技的發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)也隨之成熟，網(wǎng)絡(luò)安全也涉及到一個(gè)國家經(jīng)濟(jì)，金融，政治等安全．為提高中學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)安全意識(shí)和信息技術(shù)能力，某中學(xué)組織了一次信息技術(shù)創(chuàng)新比賽，參賽選手兩人為一組，需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)獨(dú)自對(duì)兩份不同的加密文件進(jìn)行解密，每份文件只有一次解密機(jī)會(huì)．已知甲每次解開密碼的概率為，乙每次解開密碼的概率為，每次是否解開密碼也互不影響．設(shè)，，，(1)已知概率，（i）求的值．（ii）求甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率．(2)若，求甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率最小值．【答案】(1)（i）；（ii）；(2).【分析】（1）（i）根據(jù)獨(dú)立性性質(zhì)建立方程，即可求解；（ii）由（i）知：，設(shè)“甲乙兩人兩次一共解開密碼3次的事件”，則，再根據(jù)互斥加法公式和獨(dú)立性乘法公式即可求解；（2）由可得，從而求得，再利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】（1）（i）由題知，解得：，（ii）由（i）知：，設(shè)“甲乙兩人兩次一共解開密碼3次的事件”，則與互斥，與與分別相互獨(dú)立，所以，因此，甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率為．（2）由題知：，，設(shè)“甲乙兩人兩次一共解開密碼3次的事件”，則與互斥，與與分別相互獨(dú)立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，．故甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率最小值為.18．（本題滿分17分）（23-24高二下·四川涼山·期末）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，平面，，，．(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得∥平面？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，使得∥平面.【分析】（1）連接交于點(diǎn)，則由四邊形為菱形，得，由平面，得，再利用線面垂直的判定定理可結(jié)論；（2）由題意可證得兩兩垂直，則以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面；?）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，假設(shè)存在點(diǎn)，使得∥平面，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，由，得，此時(shí)與重合，平面，所以存在點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，使得∥平面.19．（本題滿分17分）（23-24高一下·河北衡水·期末）對(duì)于平面向量，定義“變換”：，其中表示中較大的一個(gè)數(shù)，表示中較小的一個(gè)數(shù).若，則.記.(1)若，求及；(2)已知，將經(jīng)過次變換后，最小，求的最小值；(3)證明：對(duì)任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使得.【答案】(1)(2)1349.(3)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)已知的新定義求出，從而可求出及；（2）根據(jù)求出，從而可求出，進(jìn)而可得且，則可求出的最小值；（3）分，，和四種情況討論即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所?（2）因?yàn)椋曰蛩?，?由題意可得，，，根據(jù)規(guī)律可得且，由且可得的最大值為674，所以，所以，此后進(jìn)入循環(huán).所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以最小時(shí)，的最小值為1349.（3）證明：當(dāng)時(shí)，顯然存在，使得.當(dāng)時(shí)，，即，存在，使得.同理，當(dāng)時(shí)，存在，使得.當(dāng)時(shí)，若，則，存在，使得.若，設(shè).假設(shè)對(duì)任意，則均不為0.因?yàn)椋?若，則，若，則，所以，所以，即.因?yàn)?，所以，所以，與矛盾，故假設(shè)不正確，即存在，使得.綜上，對(duì)于任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查平面向量的新定義，解題的關(guān)鍵是對(duì)平面向量新定義的正確理解，根據(jù)新定義求解，考查分析問題的能力、理解能力和計(jì)算能力，屬于難題.新高二開學(xué)摸底考試卷01數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試范圍：人教A版20194．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期末）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由可得，所以.故選：B2．（23-24高一下·吉林延邊·階段練習(xí)）有一組樣本數(shù)據(jù)：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，則這組樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是（

）A．11 B．12 C．16 D．17【答案】D【分析】將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列，結(jié)合上四分位數(shù)的定義可求得這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù).【詳解】將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，因?yàn)樯纤姆治粩?shù)是第分位數(shù)，則，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為.故選：D.3．（23-24高一下·福建三明·期末）從裝有3個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，下列事件中與事件“至少有一個(gè)黃球”互為對(duì)立的是（

）A．都是藍(lán)球 B．都是黃球 C．恰有一個(gè)藍(lán)球 D．至少有一個(gè)藍(lán)球【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)立事件的意義判斷即可.【詳解】事件“至少有一個(gè)黃球”的對(duì)立事件是“沒有黃球”，即都是“都是藍(lán)球”，所以與事件“至少有一個(gè)黃球”互為對(duì)立的是“都是藍(lán)球”.故選：A4．（2024·山東青島·二模）已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用投影向量的定義直接求解即可.【詳解】依題意，，所以在上的投影向量為.故選：A5．（23-24高二上·安徽蕪湖·期中）已知向量在基底下的坐標(biāo)是，則在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量基本定理列方程組即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，所以，所以，所以在基底下的坐標(biāo)為.故選：A6．（23-24高一下·廣東湛江·期末）如圖，已知四棱，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱長相等且為4，E為CD的中點(diǎn)，則異面直線CM與AE所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取有中點(diǎn)，利用幾何法，結(jié)合余弦定理求出異面直線夾角的余弦.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，由E為CD的中點(diǎn)，得，，則是異面直線CM與AE所成的角或其補(bǔ)角，正方形中，，在中，，，，于是，所以異面直線CM與AE所成的角的余弦值為.故選：D7．（23-24高一下·廣東佛山·期末）某學(xué)校興趣學(xué)習(xí)小組從全年級(jí)抽查了部分男生和部分女生的期中考試數(shù)學(xué)成績，并算得這部分同學(xué)的平均分以及男生和女生各自的平均分，且男女生的平均分不相等，由于記錄員的疏忽把人數(shù)弄丟了，則據(jù)此可確定的是（

）A．這部分同學(xué)是高分人數(shù)多還是低分人數(shù)多B．這部分同學(xué)是男生多還是女生多C．這部分同學(xué)的總?cè)藬?shù)D．全年級(jí)是男生多還是女生多【答案】B【分析】根據(jù)平均數(shù)意義可判斷A；利用分層平均數(shù)公式可求出女生所占比例，可判斷BC；分析題中樣本的抽取方式可判斷D.【詳解】對(duì)于A，平均數(shù)描述平均水平，所以無法判斷高分和低分人數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)這部分同學(xué)的平均分為，其中有男生人，女生人，平均分分別為，根據(jù)分層平均數(shù)公式有，整理得，即，即根據(jù)兩個(gè)平均數(shù)可求出這部分同學(xué)中女生所占比例，故B正確；對(duì)于C，由B可知，只能求出男女生所占比例，無法確定總?cè)藬?shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)轭}干并沒有告訴這部分學(xué)生的抽取是否按照比例抽取，所以無法全年級(jí)是男生多還是女生多，D錯(cuò)誤.故選：B8．（23-24高一下·山西大同·期末）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式得到，進(jìn)而得到，然后利用正弦定理和三角恒等變換，由求解.【詳解】解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，由余弦定理得，即，由正弦定理得，又，所以，所以，又，，則，所以或，即或（舍去），則，所以解得，則．所以，，，即的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是得到，從而利用確定角B的范圍，由此得解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·期末）體育教學(xué)是學(xué)校開展素質(zhì)教育不可缺少的重要內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的發(fā)展有著不可忽視的重要作用.某校為了培養(yǎng)學(xué)生的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和進(jìn)取精神，舉行籃球定點(diǎn)投籃比賽.甲、乙兩名同學(xué)每次各自投10個(gè)球，每人8次機(jī)會(huì)，每次投籃投中個(gè)數(shù)記錄如下：同學(xué)第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲（投中個(gè)數(shù)）67564389乙（投中個(gè)數(shù)）84676575記甲、乙兩名同學(xué)每次投籃投中個(gè)數(shù)的平均數(shù)分別為、，方差分別為、.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的公式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，，，所以，，，所以.故選：BD10．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（

）A．存在點(diǎn)Q，使得 B．存在點(diǎn)Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，由推出平面，矛盾；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，證明出，，得到線面垂直，進(jìn)而當(dāng)Q為的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)平面，故B正確；C選項(xiàng)，假設(shè)體積為定值，得到平面，求出平面的法向量，證明出平面不成立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.【詳解】對(duì)于A，若，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，矛盾，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，因?yàn)椋?，故，，故，，因?yàn)椋矫?，故平面，?dāng)Q為的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)平面，故B正確．對(duì)于C，Q在線段上運(yùn)動(dòng)，若三棱錐的體積為定值，則平面，，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令得，故，故，故與不垂直，故平面不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，二面角即二面角，連接BP，DP，BD，由于為等邊三角形，則，，所以為所求二面角的平面角，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則的棱長為，故，，由余弦定理可得，二面角的余弦值為，故D正確．故選：BD11．（23-24高一下·云南昆明·期末）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設(shè)“第一次骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，“第二次骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，“兩次骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次骰子點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，則（

）A．C與D互為對(duì)立事件 B．A與D相互獨(dú)立C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)對(duì)立事件的定義即可求解A，利用列舉法，求解對(duì)應(yīng)事件包含的樣本點(diǎn)，即可根據(jù)古典概型的概率公式求解CD，結(jié)合獨(dú)立事件的定義即可求解B.【詳解】對(duì)于A,事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，且并起來是全部的樣本空間，故互為對(duì)立事件，A正確；對(duì)于B，拋擲一枚骰子兩次的樣本點(diǎn)數(shù)共36種，事件A的樣本點(diǎn)為共18種，事件的樣本點(diǎn)為,共有18種，事件的樣本點(diǎn)為共有9種，所以,由于，故相互獨(dú)立，B正確，對(duì)于C，事件的樣本點(diǎn)為共9種，故,C正確，對(duì)于D，事件的樣本點(diǎn)為共27種，故，故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（23-24高一下·安徽·期末）文以載道，數(shù)以忘憂，本學(xué)期某校學(xué)生組織數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)答（滿分），并從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績?yōu)闃颖荆殖?，得到如圖所示頻率分布直方圖：估計(jì)該校高二學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為.【答案】/【分析】由頻率分布直方圖的面積和為求出，再根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式求解即可.【詳解】由頻率分布直方圖的面積和為得，解得，所以該校高二學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為.故答案為：.13．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在棱長為2的正方體中，動(dòng)點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，當(dāng)?shù)捏w積最小時(shí)，與平面所成角的正弦值是．【答案】【分析】設(shè)，結(jié)合等積法，可求出當(dāng)?shù)捏w積最小時(shí)，，分別是所在棱的中點(diǎn)；法一，根據(jù)，可求出點(diǎn)到平面的距離為，結(jié)合直線與平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求解.【詳解】設(shè)，則．由等體積法，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以當(dāng)?shù)捏w積最小時(shí)，，分別是所在棱的中點(diǎn)．方法一

易知，，．由余弦定理，得，所以，所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．根據(jù)，得，解得．所以與平面所成角的正弦值為．方法二以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，得，，則．設(shè)與平面所成的角為，則．故答案為：14．（23-24高一下·吉林延邊·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，的面積為，記的面積為，，設(shè)，，若存在常數(shù)，使成立，則的值為

【答案】【分析】利用余弦定理及三角形面積公式，求得的值，得的大小，再設(shè)，利用正弦定理得關(guān)于的代數(shù)式，解出，利用三角形面積公式，求出的值.【詳解】在中，由余弦定理，，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所?設(shè)，則，，，在中，由正弦定理，，在中，由正弦定理，，兩式作商，得，即，因?yàn)椋?，，，，假設(shè)，所以，解得.故答案為：四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）（23-24高一下·四川雅安·期末）已知向量，．(1)若與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(2)已知O，A，B，C為平面內(nèi)四點(diǎn)，且，，．若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量坐標(biāo)線性運(yùn)算結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算，列出方程求解即可；（2）由向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算表示，，再由共線定理解出實(shí)數(shù)m的值．【詳解】（1），則，因?yàn)榕c垂直，所以，解得．（2），，，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以．所以，解得．16．（本題滿分15分）（23-24高一下·湖南長沙·期末）對(duì)800名參加競(jìng)賽選拔學(xué)生的成績作統(tǒng)計(jì)（滿分：100分），將數(shù)據(jù)分成五組，從左到右依次記為，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這800名學(xué)生成績的眾數(shù)和平均數(shù)（求平均數(shù)時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)現(xiàn)從以上各組中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人.若分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差分別為78分和，第三組的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差分別為72分和1，求第四組的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差.【答案】(1)眾數(shù)為；平均數(shù)為(2)平均數(shù)為；方差為【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的眾數(shù)和平均數(shù)的定義和計(jì)算方法，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生為10人，分別為，得到，設(shè)第三組分別為，得到，設(shè)第四組分別為，其平均數(shù)和方差為，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖的眾數(shù)的定義，可得這800名學(xué)生成績的眾數(shù)為，這800名學(xué)生成績的的平均數(shù)為：（分）.（2）解：根據(jù)題意，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人，各段抽取的人生分別為：12人，16人，6人，4人和2人，其中分?jǐn)?shù)在區(qū)間的學(xué)生為10人，分別為，其中平均成績與方差分別為，則，設(shè)第三組學(xué)生實(shí)際成績分別為，其平均數(shù)和方差為，則，設(shè)第四組學(xué)生實(shí)際成績分別為，其平均數(shù)和方差為，由，可得，由，可得，解得，所以第四組的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)為與方差為.17．（本題滿分15分）（23-24高一下·湖南郴州·期末）隨著科技的發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)也隨之成熟，網(wǎng)絡(luò)安全也涉及到一個(gè)國家經(jīng)濟(jì)，金融，政治等安全．為提高中學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)安全意識(shí)和信息技術(shù)能力，某中學(xué)組織了一次信息技術(shù)創(chuàng)新比賽，參賽選手兩人為一組，需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)獨(dú)自對(duì)兩份不同的加密文件進(jìn)行解密，每份文件只有一次解密機(jī)會(huì)．已知甲每次解開密碼的概率為，乙每次解開密碼的概率為，每次是否解開密碼也互不影響．設(shè)，，，(1)已知概率，（i）求的值．（ii）求甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率．(2)若，求甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率最小值．【答案】(1)（i）；（ii）；(2).【分析】（1）（i）根據(jù)獨(dú)立性性質(zhì)建立方程，即可求解；（ii）由（i）知：，設(shè)“甲乙兩人兩次一共解開密碼3次的事件”，則，